一阶偏微分方程是只和未知數的一階導數有關的偏微分方程，其型式如下 F ( x 1 , … , x n , u , u x 1 , … u x n ) = 0. {\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{n},u,u_{x_{1}},\ldots u_{x_{n}})=0.\...

一些有效的解析法解偏微分方程方法： 通过分离变量法减少偏微分方程中的变量，将一个偏微分方程分解成若干个常微分方程。 沿着一阶偏微分方程的特征线，偏微分方程简化为一个常微分方程。沿着特征线求出对应常微分方程的解就可以得到偏微分方程的解。 利用积分法，将偏微分方程变换为可分离的偏微分方程，方便求解。一般为傅里叶变换分析。...

在数学分析中，常微分方程（英語：ordinary differential equation，簡稱ODE）是未知函数只含有一个自变量的微分方程。对于微积分的基本概念，请参见微积分、微分学、积分学等条目。 很多科学问题都可以表示为常微分方程，例如根据牛顿第二运动定律，物体在力的作用下的位移 s {\displaystyle...

（其中y為應變數）為二階微分方程，其解為贝塞尔函数。 偏微分方程（PDE）是指一微分方程的未知數是多個自變數的函數，且方程式中有未知數對自變數的偏微分。偏微分方程的階數定義類似常微分方程，但更細分為橢圓型、雙曲線型及拋物線型的偏微分方程，尤其在二階偏微分方程中上述的分類更是重要。有些偏微分方程...

method），是一种一阶数值方法，用以对给定初值的常微分方程求解。 欧拉方法是常微分方程數值方法中最基本的显式方法；是一阶的方法，意味着其局部截断误差正比于步长的平方，并且其全局截断误差正比于步长。 考虑计算這樣的一个未知曲線的形状：它具有给定的起点并且满足一个给定的微分方程。 这里，所谓“微分方程...

偏微分方程数值方法是数值分析的一个分支，研究如何得到偏微分方程(PDE) 的数值解。 一般来说，对于双曲型方程、 抛物型方程或椭圆方程都有专门的数值方法。   在这种方法中，函数由它们在某些网格点处的值表示，并通过这些值的差分来近似导数。 有限元法 (FEM)是一种数值技术，用于寻找微分方程...

可用于计算这种近似值，另一种方法是用微积分技术得到解的级数展开表达。 常微分方程出现于物理学、化学、生物学、经济学等学科中。此外，偏微分方程数值方法中的一部分将偏微分方程转为常微分方程，然后可用本文所述方法求解。 一阶微分方程是有如下形式的初值问题（IVP）： 其中f是函数 f : [ t 0 ,...

可分離變數的偏微分方程（PDE）是指一種偏微分方程，在求解時可以用分離變數法分離為一組階數較低的微分方程。這一般是因為偏微分方程滿足某種形式或是對稱。因此可以利用求解一組較簡單的偏微分方程來求解原問題，若可以簡化為一維的問題，甚至可以用變成常微分方程。 分離變數法最常見的形式是其解可以假設為幾個函...

微分方程。当f不是零函数时，所有的解构成一个仿射空间，由对应的齐次方程的解空间加上一个特解得到。这样的方程称为非齐次线性微分方程。线性微分方程可以是常微分方程，也可以是偏微分方程。 线性微分方程是一类特殊的微分方程。一个线性微分方程...

数学中的特征线法是求解偏微分方程的一种方法，适用于准线性偏微分方程的求解。只要初始值不是沿着特征线给定，即可通过特征线法获得偏微分方程的精确解。 其基本思想是通过把双曲线型的准线性偏微分方程转化为两组常微分方程，再对常微分方程进行求解。两组常微分方程中的一组用于定义特征线，另一组用以描述解沿给定特征线变化。...

数学中，粘性解是20世纪80年代早期由皮埃爾-路易·利翁和Michael G. Crandall作为对偏微分方程（PDE）经典解的扩展而引入的。粘性解在PDE的许多应用中作为解是非常自然的，例如优化控制中的一阶偏微分方程（哈密顿-雅可比-贝尔曼方程），微分对策中（Hamilton–Jacobi–Isaacs...

非线性偏微分方程的在物理学、气动力学、流体力学、大气物理、海洋物理、爆炸物理、化学、生理学、生物学、生态学等领域都有重要的应用。非线性偏微分方程的研究，是当前微分方程研究的中心。求解非线性偏微分方程比求解线性偏微分方程，难度大的多，大多数非线性偏微分方程只能依靠数值解法。但多年来数学家们发现了一些行...

偏微分方程结合在一起。使用费曼－卡茨公式可以通过将某些抛物型偏微分方程的解写成随机过程的条件期望的方式，从而将求此类微分方程的数值解转化为模拟随机过程的路径。反过来，此一类随机过程的期望可以通过确定性的计算（偏微分方程求解）得到。考虑偏微分方程： ∂ u ∂ t + μ (...

{\displaystyle V=V(x,t)} I = I ( x , t ) {\displaystyle I=I(x,t)} 方程本身包含一组对偶一阶偏微分方程。第一个方程表明感生电压是与通过电缆电感的电流的时间变化率相关的，而与之类似，第二个方程表明由电缆电容带来的电流是与电压的时间变化率有关的。...

一阶非线性偏微分方程，方程式之解描述了系统的行为。与哈密顿运动方程的不同之处在于 HJE 是一个偏微分方程，每个变量对应于一个坐标，而哈密顿方程是一个一阶线性方程组，每两个方程对应于一个坐标。HJE 可以漂亮地解析一些重要问题，例如开普勒问题。 HJE 是唯一能夠將粒子運動表達為波動的一種力學表述。因此，HJE...

problem）在数学中是指，在一区域内的超曲面上给定特定初始条件的情况下求偏微分方程的解。柯西问题由初值问题推广而来，与边值问题相对。该问题以法国数学家奥古斯丁·路易·柯西的名字命名。 假定偏微分方程定义在Rn上，有一(n-1)维的光滑流形S ⊂ Rn（S称为柯西曲面）。那么柯西问题是指求偏微分方程的解u，满足 u...

1950年2月2日卒于慕尼黑。 卡拉西奥多里在数学上有多方面的贡献。他发展了变分法，把光滑曲线的理论推广到有角曲线上，特别提出解曲线场的概念。他重新研究变分法与一阶偏微分方程的关系，并应用于解拉格朗日问题。在函数论方面 ，研究函数值分布论，简化了在单位圆上单连通域的保形变换的主要定理，给出了边界对应的理论。在测度论...

數學上，分離變數法是一種解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用這方法，可以藉代數來將方程式重新編排，讓方程式的一部分只含有一個變數，而剩餘部分則跟此變數無關。這樣，隔離出的兩個部分的值，都分別等於常數，而兩個部分的值的代數和等於零。 假若，一個常微分方程可以寫為 d d x f ( x ) = g...

parameters），也称为常数變換法，是求解非齐次线性常微分方程的一种通用方法。 对于一阶非齐次线性微分方程，通常可以通过积分因子或待定系数以相当少的努力找到解，尽管这些方法利用涉及猜测的启发式方法并且不适用于所有非齐次线性微分方程。 参数的变化也扩展到线性偏微分方程，特别是线性演化方程的非齐次问题，如热方程、波动方程和振动板方程。...

其中U为E中的一个开集，I是 R {\displaystyle \mathbb {R} } 中的一个区间。考虑以下的一阶非线性微分方程： 如果f关于t连续，并在U中满足利普希茨条件，也就是说， 那么对于任一给定的初始条件： x ( t 0 ) = x 0 {\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}...

適用在某個特定的邊界條件上。例如，在描述一個圓管內一維層流的暫態時，我們可以把非線性的納維-斯托克斯方程簡化成一個線性偏微分方程；這時候尺度分析提供了兩個特定的邊界條件：一維和層流。 其他分析非線性偏微分方程的方法還有特徵線法，以及上述分析常微分方程時常用的方法。...

考虑一阶波动方程. ∂ u ∂ t + ∂ u ∂ x = 0 ( 1 ) {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial u}{\partial x}}=0\quad \quad (1)} (其中的记号请参阅偏导数)其中...

椭圆算子是数学偏微分方程理论中的一类微分算子，它是拉普拉斯算子的泛化。椭圆算子定义为所有最高阶导数的系数为正的微分算子，这意味着算子没有实的特征方向。 椭圆算子是典型的位势论，并且它们频繁地出现在静电学和连续介质力学中。椭圆算子的正则性意味着它的解通常是光滑函数（如果算子的系数是光滑的）。双曲（英语：Hyperbolic...

perturbation），比较难解，必须用到更进阶的理论。 本段落讲述微分方程的一阶微扰理论。为了简单易解，假设零微扰系统的解答是不简并的。 许多常微分方程或偏微分方程可以表达为 D g ( x ) = λ g ( x ) {\displaystyle Dg(x)=\lambda...

拉普拉斯方程，又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学、熱力學和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写电場、引力場和流场等物理对象（一般统称为“保守场”或“有势场”）的性质。...

在以下的例子中，设f为x、y和z的函数。 f的一阶偏导数为： ∂ f ∂ x = f x = ∂ x f {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f} 二阶偏导数为： ∂ 2 f ∂ x 2 = f x x...

x ) w = Q ( x ) {\displaystyle {\frac {w'}{1-n}}+P(x)w=Q(x)} 此一階常微分方程可用積分因子求解。 解以下微分方程。 y ′ − 2 y x = − x 2 y 2 {\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}}...

"n"自由度振动可以通过"n"个二阶微分方程描述。按照振动单位，与其一阶或/和二阶导数相关。线性振动系统可以通过所谓主坐标借助一个坐标变形与此坐标的微分方程及其二阶导数相耦合。多数情况下把一阶导数的影响作为不相关来考虑，也不是严重的错误。不相关微分方程可以确定系统的固有频率。 解微分方程后可以通过反向变换得到原坐标系的时间关系。...

全微分方程是常微分方程的一种，它在物理学和工程学中广泛使用。 给定R2的一个单连通的开子集D和两个在D内连续的函数I和J，那么以下形式的一阶常微分方程 I ( x , y ) d x + J ( x , y ) d y = 0 , {\displaystyle I(x,y)\,\mathrm {d}...

Differentialgleichungen 1. Ordnung für eine gesuchte Funktion [微分方程，突破方法与解答——卷2：偏微分方程，一阶方程探寻]. Leipzig. 1944 （德语）.  Erich Kamke. Das Lebesgue-Stieltjes-Integral...

哈密顿-雅可比-贝尔曼方程（Hamilton-Jacobi-Bellman equation，簡稱HJB方程）是一個偏微分方程，是最佳控制的中心。HJB方程式的解是針對特定動態系統及相關成本函數下，可以有最小成本的控制實值函數。 若只在某一個區域求解，HJB方程是一個必要條件，若是在整個狀態空間下...