在數學裡，不可約多項式（英語：Irreducible polynomial，或稱質式，對應到自然數中的質數）是指不可被分解成兩個非常數多项式之乘積的非常数多項式。不可約的性質取決於係數所屬於的域或環。例如，多項式 x 2 − 2 {\displaystyle x^{2}-2}...

多项式不能被表示为次数严格比它低的多项式的乘积，就称它为不可约多项式。因式分解一般是指将多项式分解到不可再分的多项式乘积，也就是不可约多项式的乘积，否则称其为不完全的因式分解。 对于一元多项式来说，所有复系数多项式都可以分解成若干个一次因式的乘积，这个结论等价于代数基本定理。所有实系数多项式...

域F是代数闭域，当且仅当环F[x]中的不可约多项式是而且只能是一次多项式。 “一次多项式是不可约的”的断言对于任何域都是正确的。如果F是代数闭域，p(x)是F[x]的一个不可约多项式，那么它有某个根a，因此p(x)是x − a的一个倍数。由于p(x)是不可约...

。通常分解获得的每个因式要是不可约多项式（irreducible）。也就是不能再分解了。 数域 P {\displaystyle P} 上每个高于一次的多项式 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 都可以分解为该数域P上的多个不可约多项式 p i ( x ) {\displaystyle...

在不同的分支数学，本原多项式有不同的含义： 域论中，一个本原多项式是有限域GF(pm)有限扩张的本原元的最小多项式（域论）。 在代数（特别是环理论），如果一个整系数多项式的所有系数是互素的,则称它是一个本原多项式，本原多项式对判定不可约多项式有很大帮助，高次多项式的不可约多项式判定一直是个未完全解决的难题。...

，高斯引理以高斯命名，是关于整係數多项式的命題，或者更一般地说，是关于一个唯一分解整環的敘述。 高斯的引理断言两个本原多項式的乘積仍是本原多項式（本原多項式是指：係數的最大公因數為1的整係數多項式）。 高斯引理有一個推论，有时也被称为高斯引理。其斷定一個本原多项式在整数上是不可约的 ，若且唯若它在有理数上是不可约的。 當一個整係數多項式...

数学中，可分多项式在不同的作者的书下有两个略微不同的定义。 最常见的一个定义是：当在一个给定域K上的多项式P(X)在K的代数闭包中有不同的根时，称多项式为可分的。换言之它的互异根的数量需要等于多项式的次数。在多项式因式分解的观点下，这样的多项式是无平方多项式。 第二个定义，当P(X)在K[X]中的每个不可约...

在计算复杂性理论中，多项式时间归约是指假设已有解决一个问题的子程序，利用它在多项式时间内（不考虑子程序运行所用时间）解决另一个问题的归约方法。如果将第一个问题转换成第二个的时间，且子程序被调用的次数都是多项式级别的，那么第一个问题可以多项式时间规约到第二个问题。 多项式...

= x），那么就有σ(L) = L。换句话说，L在Kalg上的每一个K-嵌入σ都是一个L上的K-自同构。 任意一个K[X]上的不可约多项式，只要它在L中有一个根，那么就可以在L[X]分解成一次因式的乘积（或者说全部的根都在L中）。 Q ( 2 ) {\displaystyle \mathbb...

無平方數因數的數。 第17個楔形數。前一個為182、下一個為190。 第97個十进制的奢侈數。前一個為184、下一個為187。 第27個非歐拉商數及第17個非互補歐拉商數。 屬於有形數。 是14邊形及63邊形數。 在二個元素的有限域中，11階的不可约多项式共有186個。...

部分分式分解的結果會是許多分母為「不可約多項式」。不過什麼樣的多項式不可約，則是依使用純量所在的域來決定。例如若只允許實數的純量出現，不可約多項式則為一次或二次的多項式；若允許複數的純量出現，則所有不可約多項式則都為一次多項式；若只允許整數或其他有限體的純量，有些二次以上的多項式也可能是不可約多項式。 部分分式積分法...

的整数 k {\displaystyle k} ）。 下表是几个次数较低的分圆多项式。 基礎性質： 分圓多項式是整系數的不可約多項式，對於 x n − 1 {\displaystyle x^{n}-1} 的分圓多項式 f ( n ) {\displaystyle f(n)} ，有 f ( n )...

2+{\sqrt {-5}}} ，也無法整除 2 − − 5 {\displaystyle 2-{\sqrt {-5}}} 。 不可約多項式 考慮 p {\displaystyle p} 為一個可約的質元素： p = a b . {\displaystyle p=ab.} ，則 p | a b ⇒ p | a {\displaystyle...

GF(pn)的元素可表示为，在GF(p)之上严格小于n次数的多项式。运算则实行在先模除R，而R是一则在GF(p)之上，拥有n次数的不可约多项式，例如运用多项式长除法。两则多项式P和Q则按常规运算；乘法则按如下进行：先按常规计算W = P⋅Q，然后计算模除R之后的余项(存在有更方便方法)。...

数学上的多项式变换是指針對一多项式，計算另一個多项式，使其根是原多项式各根的函数。像契爾恩豪森轉換（英语：Tschirnhaus transformation）即為多项式变换，常用在代数方程求解過程中的化简。 设有多项式 P ( x ) = a 0 x n + a 1 x n − 1 + ⋯ + a...

给定域K和以K中元素为系数的K-不可约多项式P，P为K上的多项式环K[X]的元素。P生成的理想是极大理想，因此K[X]/P是域，而且是K的扩域。其中不定元X是多项式P的根。 给定域K，考虑所有以K中元素为系数的有理函数，即可以表示为两个以K中元素为系数的多项式P、Q之比：P/Q的函数。它们构成一个域，记作K(X)，是多项式...

{\displaystyle (1+x)} 生成的理想。 注意到 ( 1 + x ) {\displaystyle (1+x)} 是该多项式环中的不可约多项式，因此该码为不可约码。 该码的幂等为多项式 x + x 2 {\displaystyle x+x^{2}} ，对应于码字 (1,1,0)。 循環冗餘校驗 BCH码...

criterion)是代數學中的一個定理，其名稱由來為德國數學家費迪南·艾森斯坦，此定理給出了判定整係數多項式不能分解為整係數多項式乘積的充分條件。由高斯引理，這判別法也是多項式在有理數域不可約的充分條件。 艾森斯坦判別法是說：給出下面的整係數多項式 f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 +...

这说明，K-自同构将K-多项式的根进行重新排列:17。因此，对K-自同构的研究可以帮助了解K-多项式的根。 为了讨论多项式的根，引入正规扩张的概念。给定一个域扩张L/K，任一K-不可约多项式如果有一个根在L中，那么全部根都在L中。这样的扩张称为正规扩张:29:108。正规扩张中，K-自同构可以将多项式...

的式子表示，就称方程是根式可解的。伽罗瓦将多项式的根引入为研究课题，这样能根据多项式根置换群的性质描述根式可解多项式方程的特征。这广泛地概括了阿贝尔-鲁菲尼定理，其指出五次及以上的一般多项式不是根式可解的。 伽罗瓦理论证明古典的倍立方、三等分角按其表述不可解，描述可作图多边形的特征（高斯曾给出这一特征，即...

(PDF)于2022-08-18）. 當時純數科的試題百花齊放，變化多端。甚至不少題目是現場定義一些概念，要求學生求證一些性質，最常見的是chebycheff多項式等(黃毅英、1996)。原意是學生不須先學會這些概念才進試場。漸漸地教師要力保不失，都把這些課題塞進教學形成「超教」(over-teach)的問題...

{\displaystyle f(x)=m_{0}+m_{1}x+\ldots +m_{n-1}x^{n-1}} 然后，我们随机选择一个在GF(2)上的k次不可约多项式 p ( x ) {\displaystyle p(x)} ，我们将消息m的指纹定义为在GF（2）上 f ( x ) {\displaystyle...

高斯-卢卡斯定理可以看成这一性质在复系数多项式上的推广。 设  P {\displaystyle P}  是一个非常数的複系数多项式，那么 P ′ {\displaystyle P'} 的所有根都属于由 P {\displaystyle P} 的根构成的凸包。 将多项式函数P写成复数下的不可约形式： P ( z )...

中的閉集有且只有整個空間，以及有限個閉點組成的集合。 Spec k[t], 域 k 上多项式环的譜。該環是一個主理想整环，而不可约多项式為其中的質元素。若 k 是一個代數閉域，例如複數域，則一個非常數的多項式不可約當且僅當其為一次多項式，形如 t − a, 其中 a 是 k 的某個元素。所以，譜中對應 k 的每個元素...

P的任何不可约因子都可以假设具有整数系数，并且最高次系数和常数系数整除P的最高次系数和常数系数. 在多项式 2 x 3 + x − 1 , {\displaystyle 2x^{3}+x-1,} 中 任何完全约化的有理根都必须有一个能整除 1 的分子和一个能整除...

在一個代數擴張L/K中，L中的每個元素α都是某個以K中元素为系数的多項式（以下简称K-多项式，所有K-多项式的集合记作K[X]）f的根。所有以α为根的K-多項式中次數最低者稱作α的极小多項式（通常要求其为首一多项式，即最高次项係數等於一，以保證唯一性）。极小多項式總是不可约多項式。 若K-多项式f不可約，則商環L := K[X]/(...

，它们都是可解群。但一般的五次方程对应的是五次对称群 S 5 {\displaystyle {\mathfrak {S}}_{5}} ，这是一个不可解群。当次数n大于等于5时，情况也是如此:439:213。 多项式方程求解是古典代数学的基本问题之一。使用配方法解二次方程有悠久的历史。16世纪，意大利的塔塔利亚发现了三次方程的求...

关联的基础之上的。零点定理联系了代数集与（代数闭域上的）多项式环中的理想。大卫·希尔伯特最早发现了这一关联，并证明了零点定理及其它相关的重要定理（如希尔伯特基定理）。 设k 为域（如有理数域），K 为k 的代数封闭扩张（如复数域）。考虑多项式环k[X1,X2,..., Xn]，设I 为此环的一个理想。该理想定义了代数集V(I...

p ( X ) ∈ F [ X ] {\displaystyle p(X)\in F[X]} 為 F {\displaystyle F} 上的不可約多項式，則商環 F [ X ] / p ( X ) {\displaystyle F[X]/p(X)} 的意義在於抽象地在 F {\displaystyle...

多项式，因此所有不变因数都要除以它，不变因子的积就是特征多项式。这意味着极小多项式可除特征多项式（哈密尔顿–凯莱定理），而且特征多项式的每个不可约因式也可除极小多项式（重数可能更小）。 每个不变因子fi都可求得相伴矩阵Cfi，由这些块组成的对角阵也就是A的有理规范形。极小多项式和特征多项式...

在鑽研複雜度類NP與更難的類別時，我們使用多項式時間多一歸約。在多項式譜系中定義類別時，我們使用多項式時間圖靈歸約。當我們在類別P之內學習NC與NL類別時，我們使用對數空間歸約。歸約也用在可計算性理論中，以顯示問題是否可不可被任何機器解決；在此情境下，歸約僅侷限於可計算函數上。 例如：存档副本. [2007-01-06]...