在复分析中，一个复平面的开子集D上的亚纯函数是一个在D上除一个或若干个孤点集合之外的区域全纯的函数，且这些孤立点都是该函数的极点。 每个D上的亚纯函数可以表达为两个全纯函数的比（其分母不恒为0）：极点也就是分母的零点。 直观的讲，一个亚纯函数是两个性质很好的（全纯）函数的比。这样的函数...

analysis）是研究複變的函數，特別是亞純函數和複變解析函數的數學理論。 研究中常用的理论、公式以及方法包括柯西积分定理、柯西积分公式、留数定理、洛朗级数展开等。複變分析的应用领域较为广泛，在其它数学分支和物理学中也起着重要的作用。包括数论、应用数学、流体力学、热力学和电动力学。 複变函数，是自变量和因变量皆为複数的函数...

全纯函数（英語：Holomorphic function）是复分析研究的中心对象；它们是定义在复平面 C {\displaystyle \mathbb {C} } 的开子集上的，在复平面 C {\displaystyle \mathbb {C} } 中取值的，在每点上皆複可微的函数。全纯函数...

（此即「雙週期」的含義）。 全純橢圓函數的绝对值应恒小于某个正数，因此该函数有界，而根據複分析中的刘维尔定理，有界的全纯函数只能是常數函數，故非常數的橢圓函數必帶極點，或者说，椭圆函数是亚纯函数。下文中讨论椭圆函数的性质时，不将常函数视为椭圆函数。 一般的椭圆函数的导数仍为椭圆函数。 椭圆函数...

这说明 Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} 是亚纯函数，而 1 Γ ( z ) {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}} 是全纯函数。 Γ函數本身可以被看作是一個下列插值問題的解： 『找到一個光滑曲線連接那些由 y = ( x...

theorem）是数学中的一个重要工具，在复分析和代数几何中的应用尤为广泛。利用该定理，可计算具有指定零点与极点的亚纯函数空间的维数。它将具有纯拓扑亏格 g 的连通紧黎曼曲面上的复分析以某种方式转换为纯代数背景。 此定理最初是黎曼不等式，对黎曼曲面的确定形式由黎曼早逝的学生古斯塔·罗赫于1850年代证明。随后推广到代数曲面，高维代数簇，等等。...

亚纯函数的极点是一种特殊的奇点，它的表现如同 z − a = 0 {\displaystyle z-a=0} 时 1 ( z − a ) n {\displaystyle {\frac {1}{(z-a)^{n}}}} 的奇点。也就是说，如果当 z → a {\displaystyle z\to a}...

两个赤道点并经过北极（即无穷远点）的经线。 亚纯函数是在其定义域中除了有限或可数无穷个点之外全纯从而解析的复函数。函数不能定义的那些点称为亚纯函数的极点。有时所有极点位于一条直线上，在这种情形说这个函数在“切开的平面上全纯”。这里是一个简单的例子。 Γ函数，其定义为 Γ ( z ) = e − γ z...

在复分析中，留数是一个正比于一个亚纯函数某一奇点周围的路径积分的复数。（更一般地，对于任何除去离散点集{ak}之外全纯的函数 f : C ∖ { a k } → C {\displaystyle f:\mathbb {C} \setminus \{a_{k}\}\rightarrow \mathbb...

1962年12月，杨乐入学刚三个月，就写出论文“亚纯函数及函数组合的重值，获得了精密和深刻的 结果，发表在1964年第二季度的《数学学报》上。1964年，杨乐与张广厚对平面区域内的全纯函数族做了出色的研究，获 得了新的正规定则，发表在次年的《中国科学》上。1969年，David...

由于伽玛函数和下不完全伽玛函数关于 s,z 都至少是亚纯函数，上式可以自然地作解析延拓，并以此作为上不完全伽玛函数的定义。下不完全伽玛函数的多值性自然地导致上不完全伽玛函数的多值性，下面的讨论基于主分支。 进一步地，由黎曼可去奇点原理，由于等号右边在 s 取非正整数时的邻域内有界，故作为 s 的函数...

\{\infty \}} 从纯代数的角度，复数加上一个无穷远点构成一个数系称为扩充复数。无穷远点的算数有时和一般的代数规则不符，因此扩充复数不构成一个代数域。但是，黎曼球面在几何和解析角度都行为良好，甚至在无穷远点也不例外；它是一个一维复流形，也称黎曼曲面。 复分析中，黎曼球面对于亚纯函数...

{\displaystyle s} 方收斂。一如黎曼ζ函數，L級數往往能延拓為整個複數平面上的亞純函數或全純函數，並具備乘積表法及函數方程。 黎曼ζ函數 對應到模形式的L函數（梅林變換） 由狄利克雷特徵給出的狄利克雷L函數 由赫克特徵（英语：Hecke character）給出的赫克特徵的L函數（英语：Hecke character）...

在复分析中，一个函数的本质奇点（Essential Singularity）又称本性奇点，是奇点中的“嚴謹”的一类。函数在本质奇点附近会有“极端”的行为。 粗略来说，对复平面 C 上的给定的开子集 U，以及 U 中的一点 a {\displaystyle a} ，亚纯函数 f : U\{a} → C...

这个“唯一的例外”实际上在两个定理中都是需要的：指数函数ez是一个整函数，永远不能是零。e1/z在0处具有本性奇点，但仍然不能取得零。 皮卡大定理在一个更一般的形式中也是正确的，可以应用于亚纯函数：如果M是一个黎曼曲面，w 是M上的一个点，P1C = C∪{∞}表示黎曼球面，f : M \ {w} → P1C是一个全纯函数...

> 0 {\displaystyle Re(s)>0} 对于给定的q,s,此函数可以扩展到 s≠1的亚纯函数. 黎曼ζ函数= ζ ( s , 1 ) {\displaystyle \zeta (s,1)} 赫尔维茨ζ函数可以展开成级数：: ζ ( s , q ) = 1 s − 1 ∑ n = 0...

代數函數是指只包含常数与自变量相互之间有限次的加、減、乘、除、有理指数幂和開方六种运算的函數。非代數函數則稱為超越函數。 y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} 表示一拋物線的方程，一以 x {\displaystyle x} 為變數的二次代數函數。 代數式 解析函数 复变函数...

那么就称P是孤立奇点。 在亚纯函数中，所有奇点都是孤立的；但如果一个函数的所有奇点都是孤立的，并不能保证它是亚纯函数。复分析中许多有用的工具，例如洛朗展开、留数定理等，都需要保证相关奇点的孤立性才能应用。 孤立奇点分为三种： 可去奇点 极点 本性奇点 函数 1 z {\displaystyle...

函数论。 1964年，张、杨二人开始研究全纯与亚纯函数族，但是他们的工作被文化大革命打断，张广厚被下放到天津小站劳动。直到1970年之后，方才回到中科院。 1977年2月25日，张、杨获得了重大突破，证明了张杨定理，第一次说明了亏值和波莱尔方向之间的有机联系，推动了函数理论的发展。...

在複代數幾何中，基本的對象是不可約複解析簇，其上能局部地開展複分析，由此可以定義複解析簇上的亞純函數；亞純函數域是該簇上的亞純函數之集合。在不可約 C {\displaystyle \mathbb {C} } -代數簇上，有理函數必為亞純函數，反之則不然（考慮 A C 1 {\displaystyle \mathbb...

双周期函数是数学中对一类定义在复平面上的函数（复变量函数）的称呼，是在复平面的两个不同“方向”上都有周期性变化的函数。直观上可以理解为平面上“网格状”变化的函数。双周期函数是定义域为实数的周期函数在复变量函数中的推广。在复变量函数中，只有一个周期的函数称为单周期函数，如指数函数，周期是2πi。 对一个定义域为复数域...

上，此无穷级数收敛并为一全纯函数。欧拉在1740年考虑过 s 为正整数的情况，后来切比雪夫拓展到 s > 1。波恩哈德·黎曼认识到：ζ函数可以通过解析延拓，把定義域扩展到幾乎整個复数域上的全纯函数 ζ(s)。这也是黎曼猜想所研究的函数。 虽然黎曼的ζ函数被数学家认为主要和“最纯...

其中，Γ(z)代表伽瑪函數。由於伽瑪函數在整個複數平面上皆非零且為亚纯函数，因此其倒數是一個整函数。 倒數伽瑪函數是一個1階整函數，其表示了log log |1/Γ(z)|的成長速度不會高過log |1/Γ(z)|。雖為1階整函數但屬無窮型，也就是說log |1/Γ(z)|的增長速度比任何|z|的...

}{(-1)^{n-1} \over n^{s}}.} 表达式仅当实部为正数时收敛。对任意复数，该表达式是一个阿贝尔和，可定义为一个整函数，并由此可知ζ函數是一个极点在s = 1的单极点亚纯函数。 等价定义为： η ( s ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ x s exp ⁡ ( x ) + 1 d x x...

Z(p)是賦值环, ，整数环在素理想局部化，其中分子，分母是不能被p整除的任何整数组成，。分式域为有理数域Q 复平面上的亚纯函数的麦克劳林级数（泰勒级数展开为零）环是一个賦值环。分式域是整个复平面上的亚纯函数。如果f不有麦克劳林系列的1 / f确实。 任何一个给定的素数p p进整数环Zp 是局部环（p进数的分式域Qp域），p进整数环Zp...

庄圻泰（1909年—1998年），男，山东莒县人，中国数学家，曾任北京大学教授、博士生导师。研究领域为亚纯函数的值分布与正规族理论。 中国科学技术协会编; 王元主编; 袁向东副主编. 中国科学技术专家传略 • 理学编 数学卷 一. 石家庄: 河北教育出版社. 1996.  张品兴, 殷登祥, 陈有进等主编...

有理函數（英語：Rational function）是可以表示為以下形式的函數： f ( x ) = a m x m + a m − 1 x m − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 b n x n + b n − 1 x n − 1 + ⋯ + b 1 x + b 0 = P m ( x )...

\chi } 是一個狄利克雷特徵， s ∈ C {\displaystyle s\in \mathbb {C} } 的實部大於一。此函數可解析延拓為整個複平面上的亞純函數。 約翰·彼得·狄利克雷證明對所有 χ {\displaystyle \chi } 具有 L ( 1 , χ ) ≠ 0 {\displaystyle...

，1895年10月22日—1980年5月28日）是一名芬兰数学家，专精于复变函数论，以单复变量亚纯函数值分布论（英语：Nevanlinna theory）的相关研究闻名。计算机与信息学研究领域的内万林纳奖以他命名。单复变函数领域的权威拉尔斯·阿尔福斯也是他的学生。...

\left(1/z\right)} 在 C ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {C} \backslash \{0\}} 上是亚纯函数，只在 z n = ( π 2 + n π ) − 1 {\displaystyle z_{n}=\left({\frac {\pi }{2}}+n\pi...

解析函数比一般光滑函数表现得更好。 平滑函数比一般可微函数表现更好。 连续可微函数比一般连续函数表现更好。函数可以微分的次数越多，它的表现就越好。 连续函数比稠密集上的黎曼可积函数表现更好。 黎曼可积函数比勒贝格可积函数表现更好。 勒贝格可积函数比一般函数表现更好。 在拓扑中，连续函数比不连续函数表现得更好。...