伴随勒让德多项式（Associated Legendre polynomials，又译缔合勒让德多项式、连带勒让德多项式、关联勒让德多项式）是数学上对如下形式常微分方程解函数序列的称呼： ( 1 − x 2 ) d 2 y d x 2 − 2 x d y d x + ( ℓ [ ℓ + 1 ] −...

下表列出了前4阶移位勒让德多项式： 分数阶勒让德多项式通过将分数阶微分和通过Γ函数定义的非整数阶乘代入罗德里格公式中来定义。 大Q勒让德多项式→勒让德多项式 令大q雅可比多项式中的 c = 0 {\displaystyle c=0} ,即勒让德多项式 令连续q勒让德多项式 q->1得勒让德多项式 lim q...

勒讓德。畫中附有該政治家的簽名，和數學家勒讓德書信中的簽名有明顯分別，但是數學家勒讓德生前作風極為低調，沒有其他肖像傳世，因此錯誤一直無人發覺。2008年，在法蘭西學會圖書館，發現了數學家勒讓德的真正肖像畫。 月球上的勒讓德環形山 小行星26950 高斯-勒讓德算法 勒讓德常數 勒讓德多項式 勒讓德符號...

\}} （区间 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} ）进行格拉姆-施密特正交化可以得到勒让德多项式。另一类正交多项式是伴随勒让德多项式。 正交多项式的研究与权重 w ( x ) {\displaystyle w(x)} 有关： ⟨ f , g ⟩ = ∫ w ( x )...

{\displaystyle i\,\!} 是虛數單位， P ℓ m {\displaystyle P_{\ell }^{m}\,\!} 是伴随勒让德多项式 。 其中 P ℓ m ( x ) {\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)\,\!} 用方程式定義為： P ℓ m (...

{\displaystyle i} 是虛數單位， P l m ( cos ⁡ θ ) {\displaystyle P_{lm}(\cos {\theta })} 是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為 P l m ( x ) = ( 1 − x 2 ) | m | / 2   d | m | d x | m | P l ( x...

最优控制中的勒壤得擬譜法（Legendre pseudospectral method）是以勒让德多项式為基礎的方式。是擬譜最佳控制中的一部份，後者是由I. Michael Ross（英语：I. Michael Ross）所命名的理論。勒壤得擬譜法的基本版本最早是由Elnagar等人在1995年提出。之後，I...

{\displaystyle i} 是虛數單位， P l m ( cos ⁡ θ ) {\displaystyle P_{lm}(\cos {\theta })} 是伴隨勒讓德多項式，以方程表示為 P l m ( x ) = ( 1 − x 2 ) | m | / 2 d | m | d x | m | P l ( x )...

是虛數單位， P ℓ m ( cos ⁡ θ ) {\displaystyle P_{\ell m}(\cos {\theta })\,\!} 是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為 P ℓ m ( x ) = ( 1 − x 2 ) | m | / 2   d | m | d x | m | P ℓ ( x...

為小於或等於 l {\displaystyle l} 的正值整數， P ℓ m {\displaystyle P_{\ell }^{m}} 是伴隨勒讓德多項式，以方程式表示為 P ℓ m ( x ) = ( − 1 ) m ( 1 − x 2 ) m / 2 d m P ℓ ( x ) d x m {\displaystyle...

的近似，適合應用在最佳控制問題上。使用擬譜法時，連續函數會用適當選擇的分割格點來近似。分割格點會由近似用的對應正交多項式基底函數來決定。在擬譜最佳控制中，常用勒让德多项式及切比雪夫多项式。在數學上，利用分割格點可以只用幾個點達到高精度。例如在Legendre–Gauss–Lobatto格點下，針對光滑函數(C...

\displaystyle p^{\prime }} 的结式不为零，那么这个多项式没有重根，否则有重根。 行列式在多项式逼近理论中也有出现。给定一组插值点，判别插值多项式的存在性需要看所谓的范德蒙矩阵，而由于范德蒙矩阵的行列式不为零，因此根据克莱姆法则，插值多项式唯一存在（次数小于插值点个数）。...

e {\displaystyle e} 是超越数而闻名。 研究领域还涉及数论、线性泛函分析（一种无穷维线性代数）、不变量理论、正交多项式、椭圆函数、代数学。埃尔米特多项式、埃尔米特规范形式、埃尔米特算子（自伴算子）、埃尔米特矩阵（自伴矩阵）、立方埃尔米特样条插值法都以他命名。其中有关内积空间中自伴算...

{\displaystyle i} 是虛數單位， P l m ( cos ⁡ θ ) {\displaystyle P_{lm}(\cos {\theta })} 是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為 P l m ( x ) = ( 1 − x 2 ) | m | / 2   d | m | d x | m | P l ( x...

{\displaystyle i} 是虛數單位， P l m ( cos ⁡ θ ) {\displaystyle P_{lm}(\cos {\theta })} 是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為 P l m ( x ) = ( 1 − x 2 ) | m | / 2   d | m | d x | m | P l ( x...

勒）、東臨雞林州（今南韓慶州）的辽阔疆域，國土面積達1237萬平方公里。 唐朝全盛时在文化、政治、经济、外交等方面都达到了很高的成就。其政治為三省六部制，前期中央權力在皇帝與宰相，到後期變成皇帝與宦官。在唐朝統治末年，軍閥們擁兵自重，不聽朝廷詔令，並時常騷擾朝廷，讓...

这个定义中的行列式可以展开成一个关于 λ {\displaystyle \lambda } 的n阶多项式，叫做矩阵A的特征多项式，记为 p A {\displaystyle p_{\mathbf {A} }} 。特征多项式是一个首一多项式（最高次项系数是1的多项式）。它的根就是矩阵 A {\displaystyle \mathbf...

和技术的进一步发展，为研究数学基础而产生的集合论和数理逻辑等也开始慢慢发展。 从古代到中世纪，数学发展的历史时期都伴随着数个世纪的停滞，但从16世纪以来，新的数学发展伴随新的科学发展，让数学不断加速大步前进，直至今日。 數學有着久遠的歷史。它被認為起源於人類早期的生產活動；中國古代的六艺之一就有「數...

威滕同样观察到了规范理论描述拓扑不变量的能力，他将3维陈-西蒙斯理论中产生的量与纽结理论中的琼斯多项式联系起来。这项工作以及唐纳森不变量的发现，以及安德烈斯·弗洛尔关于弗洛尔同调的新研究启发了拓扑量子场论。 在发现了规范理论定义流形不变量的能力后，数学规范理论越发知名。人们...

罗巴切夫斯基（1830年）；鲍耶·亚诺什（1832年）；此前有高斯发现（未发表，约1805年） 当德兰-格拉夫方法（罗巴切夫斯基方法） – 当德兰（英语：Germinal Pierre Dandelin）；格拉夫；罗巴切夫斯基，是求解多项式重根的一种算法 电报 – 查尔斯·惠斯通（英格兰，1837年）；摩尔斯（美国，1837年）...

神經網路為架構，對資料進行表徵學習的算法。深度学习中的形容词“深度”是指在网络中使用多层。 早期的工作表明，线性感知器不能成为通用分类器，但具有非多项式激活函数和一个无限宽度隐藏层的网络可以成为通用分类器。 深度学习是机器学习中一种基于对数据进行表征学习的算法。观测值（例如一幅图像）可以使用多种方...

抽象群的現代概念是從多個數學領域發展出來的。群論的最初動機是為了求解高於4次的多項式方程。十九世紀法國數學家埃瓦里斯特·伽罗瓦，擴展了保罗·鲁菲尼和约瑟夫·拉格朗日先前的工作，依據特定多項式方程的根（解）的對稱群給出了對它的可解性的判别准则。這個伽罗瓦群的元素對應於根的特定置換。伽罗...

圓柱多極矩（Cylindrical multipole moments） 球多極矩 拉普拉斯展開式（位勢論）（Laplace expansion (potential)） 勒讓德多項式 Weast, Robert C. CRC Handbook of Chemistry and Physics 65rd ed. CRC Press...

1943年诺曼·斯廷罗德发表了关于带局部系数的同调类的工作。 1945年让·勒雷发表了作为POW进行的工作，由应用到偏微分方程理论的不动点定理的证明作为其动机；它是层论和谱序列的开始。 1947年昂利·嘉当在和安德烈·韦伊的通信中用层的方法重新证明了德拉姆定理。勒雷在他的课程中通过闭集（后来的壳（carapaces）)给了一个层的定义。...

{\displaystyle n=0,1,2,\ldots } 前8个解（n = 0到7）如右圖。函數 H n {\displaystyle H_{n}} 為埃爾米特多項式： H n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 d n d x n e − x 2 {\displaystyle...

徵值與對應的本徵態，每一次做測量會得到的結果只能是這一組本徵值中之一。由於本徵態的正交性質，可以找到一組基底來表示每一種量子態。解析方塊矩陣的特徵多項式，就可以找到本徵值 λ {\displaystyle \lambda } ： det ( O ^ − λ I ^ ) = 0 {\displaystyle...