公理模式則代表了可數無限個公理。這些公理通常可以被遞迴地定義。若一個理論不需要使用到公理模式來公理化，則稱之為「可有限公理化的」。可有限公理化的理論在元數學中被認為是較為重要的，即使這些理論在推導工作上較少有實際的用途。 公理模式兩個極知名的例子為： 數學歸納法，皮亞諾公理（有關自然數的公理）中的一部分；...

不同的系統，會預計不同的公理。例如非歐幾何的公理，和歐氏幾何的公理就有一點不同；另外，集合論的選擇公理在許多系統的建構中，也富有爭議。有些系統堅持不預設選擇公理。也有一些數學家在建構系統時，刻意排除掉皮亞諾公理中的數學歸納法，以確保所有的證明，都可以直接演算。 在數學中，公理...

数学上，一个公理系统（英語：axiomatic system，或称公理化系统，公理体系，公理化体系）是一个公理的集合，从中一些或全部公理可以一併用來逻辑地导出定理。一个数学理论由一个公理系统和所有它导出的定理组成。一个完整描述出来的公理系统是形式系统的一个特例；但是通常完全形式化的努力僅带来在确定性...

在公理化集合论和使用它的逻辑、数學和计算机科学分支中，分类公理模式、或分离公理模式、或受限概括公理模式是 Zermelo-Fraenkel 集合论中的一个公理模式。它也叫做概括公理模式，尽管这个术语也用于下面讨论的无限制概括 假定 P 是不含符号 B 的一个單变量谓词。在 Zermelo-Fraenkel...

选择公理（英語：Axiom of Choice，縮寫AC）是数学中的一条集合论公理，用來證明一些難以明確構造的物件的存在性。选择公理最早于1904年，由恩斯特·策梅洛为了证明良序定理而作為一條公理加入。 非正式地說，給定一些盒子（可以是無限個），每个盒子中都含有至少一个小球，這時选择公理...

罗素悖论的存在说明了朴素集合论（无超集限制的概括公理模式和外延公理）不具有一致性。为避免产生悖论，只需将无限制的概括公理模式替换成弱很多的分类公理模式。这样做会大大限制集合论的表达能力，不过丢失的表达能力可以通过引入ZF集合论中的其他公理（配对公理、并集公理、幂集公理、替换公理、无穷公理）来找回。到目前为止，这些公理...

所有演绎系统都在逻辑公理和推理规则之间作出取舍平衡。希尔伯特风格的演绎系统可以刻画为选择了大量的逻辑公理模式和少（Hilbert system）量的推理规则。最常研究的希尔伯特风格演绎系统只有一个推理规则即肯定前件和几个无限公理模式。 自然演绎系统做了相反的取舍，包括了很多演绎规则但有非常少甚至没有公理模式。...

在公理化集合论和使用它的逻辑、数学和计算机科学分支中，替代公理模式（英語：axiom schema of replacement）是策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）的一个公理模式，它本质上断言一个集合在一个映射（泛函谓词）下的像也是一个集合。它对于构造特定的大集合是必需的。 假定 P 是一个雙变量谓词，对于任何集合...

{\mathcal {C}})\Rightarrow {\mathcal {B}}]} 都是公理。 它们实际上是公理模式，代表著“跟自然數一樣多”條的公理。 在有（A1）與（A2）的前提下，（A3）等價於以下的公理模式：（證明請參見下面否定一節。） （T1） —  [ ( ¬ B ) ⇒ ( ¬ C )...

集合論（ZF）。實際上，這個名稱通常不包括歷史上遠比今天具爭議性的選擇公理，當包括了選擇公理，這套系統被稱為ZFC。 外延公理：（Axiom of extensionality）兩個集合相同，若且唯若它們擁有相同的元素。 分類公理：（Axiom schema of specification / axiom...

外延公理 空集公理 配对公理 并集公理 无穷公理 替代公理 幂集公理 正则性公理 分类公理 参见 策梅洛集合论。 冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论是设计生成同策梅罗-弗兰克尔集合论与选择公理一起同样结果的集合论公理系统，但只有有限数目的公理而不使用公理模式。 大小限制公理 选择公理和策梅洛-弗兰克尔集合论共同构成了ZFC公理系统。...

Q 是真，则表达式被稱作 "全部正确性（total correctness）"。终止必须被单独证明。 霍爾邏輯为简单的指令式编程语言的所有构造提供了公理和推理规则。除了给Hoare论文中的简单语言的规则，其他语言构造的规则也已经被Hoare和很多其他研究者开发完成。包括并发、过程、分支語句，和指针。...

公理化集合论，它是配上选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论（英語：Zermelo-Fraenkel Set Theory with the axiom of Choice，ZFC）的保守扩展（ZFC裡可以證明的定理也都是NBG的定理），而且NBG僅需在一階邏輯基本的公理模式上添加有限数目的公理，但ZFC需添加與集合有關的公理模式。...

出现在同一性定义和外延和概括公理中所有变量都取值于连贯的两个类型之上。一个"低层"类型和另一个"高层"类型。取值于高层类型上的变量加角标；而取值于低层类型的变量不加。ST的一阶公式化排除在类型上的量化。所以每对连续的类型都要求它自己的外延和概括公理，如果“外延”和“概括”公理采用公理模式的方式取值于类型上就是可能的。...

公理而已。 但哥德尔揭示的是在多数情况下，例如在数论或者实分析中，永远不能找出公理的完整集合。换句话说，每一次将一个命题作为公理加入，将总有另一个命题出现在所能形式证明的范围之外。 如果加入无穷条公理（例如，所有真命题）到公理列表中，确保所有命题都可证明为真或假，但得到的公理...

x3}。我们可以扩展这个模式以包括 n=0，如果我们把这个情况詮釋为空集公理的話。 所以，它可以作为公理模式来替代空集公理和配对公理。但是人们通常单独使用空集公理和配对公理，并把它作為一個定理模式來证明。注意接受这个模式为公理模式不会替代并集公理，在其他情况下仍需要并集公理。 另一个公理在給定空集公理时可以蕴涵配对公理：...

若把集合看作“符合任意特定性質的一堆東西”，會得出所謂罗素悖论。为解决罗素悖论，數學家提出公理化集合论。在公理集合论中，集合是一个不加定义的概念。 在更深層的公理化数学中，集合仅仅是一种特殊的类，是“良性类”，是能够成为其它类的元素的类。...

，但可能无法详细、描述性地构造出。因此，当一个结论依赖于选择公理时，有时会被明确地指出。 ZFC一般由一阶逻辑写出，实际上包含了无穷多个公理，因为替代公理实际上是公理模式。理查德·蒙塔古证明了ZFC和ZF集合论二者都不能用有限个公理来公理化。在另一方面，冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论（Von Neumann–Bernays–Gödel...

公理代替替代公理。 廣義集合論（英语：General set theory），策梅洛集合论的一小部份，已足以處理皮亚诺公理及有限集合。 克里普克-普拉特克集理论（英语：Kripke-Platek set theory），省略了无穷公理、幂集公理和选择公理，削弱了分类公理和替代公理的公理架構。...

在公理化集合论和使用它的逻辑、数学和计算机科学中，无穷公理（英語：Axiom of infinity）是策梅洛-弗兰克尔集合论的公理之一。 在Zermelo-Fraenkel公理的形式语言中，这个公理读作： ∃ N : ∅ ∈ N ∧ ( ∀ x : x ∈ N ⟹ x ∪ { x } ∈ N )...

有几个实体经常在元语言中出现。逻辑上，元语言所讨论的对象语言一般是形式语言，而且常常这门元语言自身也是形式语言。 形式系統的演繹系統是由公理（或公理模式）和推理規則所組成的，可用來推導系統中的定理。 元變數是指元語言中的一個或一組符號（英语：Symbol (formal)），可用來代表對象語言中的一個或一組符號。例如，在句子：...

game），而決定公理聲稱，任何這類的遊戲都是決定的（英语：determinacy），也就是這兩個玩家中其中一人有必勝策略。 他們發展出決定公理的動機是這公理的有趣結果，他們並指出這公理可在集合論的最小自然模型L(R)（英语：L(R)）中成立，這模型只接受較弱版本的選擇公理，但包括了所有的實數和序數。決定公理...

好的公式（通稱合式公式，或Well-formed formula，wff）。通常會要求有一個判定某公式是否為形式良好的演算法。 一群公設或公理模式的陳述，每個公理都必須是合式公式。 一群推理規則。 雷德蒙·斯穆里安 (Raymond M. Smullyan), 1961. Theory of Formal...

，則一般會是保真的。在此設定下，規則（可能也包括公理）可以被用來，從給定為真的陳述的公式中，推導出表示真的陳述的公式來。 公理的集合可能為空集、非空有限集、可數無限集或由公理模式所給定。形式文法遞迴地定義了語言的表示式和合式公式。之外，有時也可以給定一個語義，用以定義真值和賦值（或解釋）。...

y n + 1 {\displaystyle x^{n}\in y^{n+1}} （符号仍可改进）。 TST的公理是： 外延性：带有相同成员的相同（正数）类型的集合是相等的； 概括公理模式，也就是： 如果 ϕ ( x n )   {\displaystyle \phi (x^{n})\ } 是公式，则集合...

这个符号而不要求它是空的，尽管需要空集公理来表明它实际上是空的。 而且，在那些不包含无穷集合的集合论中，空集公理仍是需要的。就是说，使用分离公理模式，声称任何集合存在的任何公理都蕴涵空集公理。 Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van...

假设 P→(Q→P) 2. 公理 1 R 3. 肯定前件 2,1 ((P→(Q→P))→R)→R 4. 演绎自 1 到 3 QED 在公理化版本的命题逻辑中，通常有着公理模式和推理规则(这里的 P、Q 和 H 可以被替换为任何命题)： 公理 1：P→(H→P) 公理 2：(H→(P→Q))→((H→P)→(H→Q))...

在诸如策梅洛-弗兰克尔集合论的公理化集合论中，空集的存在性是由空集公理确定的。空集的唯一性由外延公理得出。 使用分類公理，任何陈述集合存在性的公理将隐含空集公理。例如：若 A {\displaystyle A} 是集合，则分离公理允许构造集合 B = { x ∈ A | x ≠ x...

ℶ 1 {\displaystyle \aleph _{1}=\beth _{1}} 的陈述现在称为连续统假设，現已知道它獨立于集合论的ZF公理（包括选择公理）。 可数集 阿列夫数 自然数 单射函数 Halmos, Paul，Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van...

后，没有什么是离开，但结论，剩下的永远消失。 当代理论往往指定为第一公理古典或假言推理或“脱离规则”： A，A⊃乙│乙 符号“│”通常写为水平线，这里“⊃”是指“意味着”。符号A和B是“替身”的字符串;这种形式的符号被称为“公理模式”（即，有一种特殊形式的符号可以采取可数）。这可以读取类似的方式IF-THEN但有区别：给定的符号串IF...

更一般的说，因为上述算子对表达任何真值函数是充分的，可以得出任何真值函数都依据“→”和“F”来表达，如果有一个命题 F 已知为假。 公理模式 1 是 P→(H→P)。 公理模式 2 是 (H→(P→Q))→((H→P)→(H→Q))。 公理模式 3 (皮尔士定律)是 ((P→Q)→P)→P。 唯一的推理规则(肯定前件)是: 从 P 和 P→Q...