凸函数（英文：Convex function）是指函数图形上，任意兩點連成的線段，皆位於圖形的上方的实值函数，如單變數的二次函数和指数函数。二階可導的一元函數 f {\displaystyle f} 為凸，当且仅当其定義域為凸集，且函數的二階導數 f ″ {\displaystyle f''}...

凹函数（英語：Concave function）是指下境圖（英语：Hypograph (mathematics)）为凸集的一类函数。 如果一個有實值函數f对任意该区间内不相等的x和y和[0,1]中的任意t有 f ( t x + ( 1 − t ) y ) ≥ t f ( x ) + ( 1 − t...

凸函数最优化，或叫做凸最优化，凸最小化，是数学最优化的一个子领域，研究定义于凸集中的凸函数最小化的問題。凸最佳化在某種意義上說較一般情形的數學最佳化問題要簡單，譬如在凸最佳化中局部最佳值必定是全局最佳值。凸函數的凸性使得凸分析中的有力工具在最佳化問題中得以應用，如次导数等。 凸...

周围的一些闭球上，所有的函数值都大于或者等于在该点的函数值。 极小值至少于附近的任何元素一样好，最小值则至少与每个可行解一样好。一般来说，除非目标函数是凸函数，否则会存在多个极小值。凸优化问题中，若有位于可行集内（不位于边缘）的极小值，则它也是最小值；而非凸优化问题可能有多个极小值。 非凸...

拟凸函数（Quasiconvex function）是一类定义在实向量空间的区间或凸子集上的实值函数，且满足对任意实数 a {\displaystyle a} ， ( − ∞ , a ) {\displaystyle (-\infty ,a)} 的原像都是凸集。反之如果原像都是凹集，则称为拟凹函数。...

凸函數值和凸函數的積分值間的關係，在此不等式最簡單形式中，闡明了對一平均做凸函數轉換，會小於等於先做凸函數轉換再平均。若將簡森不等式應用在二點上，就回到了凸函數的基本性質：过一个凸函数上任意两点所作割线一定在这两点间的函数图象的上方，即： t f ( x 1 )...

成立。其中测试函数是指紧支撑的光滑函数。弱微分包括了强微分，也就是通常意义上的导数。 在凸分析，也就是对凸函数的研究中，可以定义凸函数的次导数。次导数的概念是导数的几何意义的推广。由于函数是凸的，过它的图像上每一点总可以作一条直线，使得函数的图像在直线上方。这种直線的斜率称为函数在这点的次导数。如果函数...

凸分析是研究凸函数与凸集性质的数学分支，其应用称作凸优化，是最优化理论的子分支。 某向量空间X的子集 C ⊆ X {\displaystyle C\subseteq X} ，若满足下列任意一条等价条件，就称其是凸的（convex）： 若 0 ≤ r ≤ 1 {\displaystyle 0\leq r\leq...

對數凸函數或超凸函數是指一函數f，其 log ∘ f {\displaystyle {\log }\circ f} （函數f取對數後的數值）仍為凸函數，其原函數即為對數凸函數。 令X是实数向量空间內的凸集，令f : X → R為非負值的函數。則f為： 對數凸函數若 log ∘ f {\displaystyle...

在点集拓扑学與欧几里得空间中，凸集（Convex set）是一個點集合，其中每兩點之間的线段點都落在該點集合中。 區間是實數的凸集。 依據定義，中空的圓形稱為圆（circle），它不是凸集；實心的圓形稱為圆盘（disk），它是凸集。 凸多邊形是歐幾理得平面上的凸集，它們的每隻角都小於180度。 单纯形是凸...

point）或稱反曲点，是一條连续曲線由凸轉凹，或由凹轉凸的點，或者等價地說，是使切線穿越曲線的點。 決定曲線的拐點有助於理解曲線的外形，這在描繪曲線圖形時特別有用。 若曲線圖形在一點由凸轉凹，或由凹轉凸，則稱此點為拐點。直觀地說，拐點是使切線穿越曲線的點。 若該曲線圖形的函數...

这意味着，若凸函数为“真”， 则其有效域非空，值不为 − ∞ {\displaystyle -\infty } .。 不满足真条件的凸函数被称作“非真凸函数”。 若函数 g 的负函数 f = − g {\displaystyle f=-g} 为真凸函数， 则 g 为“真凹函数”。 对于Rn 上任意真凸函数f，...

在数学领域内， R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 的一个非空的闭凸子集 A {\displaystyle A} 的支撑函数 h A {\displaystyle h_{A}} ，描述了从 A {\displaystyle A} 的支撑超平面（supporting...

在数学中，凸共轭（英語：convex conjugate）是勒让德变换的一种推广；凸共轭也被称作勒讓德-芬克爾变换（Legendre–Fenchel transformation），以阿德里安-马里·勒让德和威爾納·芬克爾命名。 函数 f : X → ( − ∞ , + ∞ ] {\displaystyle...

函數比其他組的變數有更好的結果。 若目標函數f(x)為線性，約束的空间為多胞形，对应线性规划問題，采用著名的线性规划法求解。 若目標函數為凹函数（最大化）或是凸函数（最小化），且約束為凸集，对应凸規劃問題，常采用凸優化求解。若目標函數是凹函数和凸函数的比值（最大化問題）及約束為凸集，对应分數規劃（英语：fractional...

在数学上，凸可以指： 凸函数 凸集 凸多边形 凸多面體 凸包 此外，凸还可以指： 凸面鏡 凸透鏡 凹...

Legendre）。该操作是一个实变量的实值凸函数的对合变换。它经常用于经典力学中从拉格朗日形式到哈密顿形式的推导、热力学中热力学势的推导以及多变量微分方程的求解。 為了研究一個系統內部蘊藏的數學結構，表述此系統的函數關係 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,\!} 改用一個新函數 f ⋆ ( p )...

lines）和次梯度（英语：subgradient）的概念出现在凸分析，也就是凸函数的研究中。要注意的是，次切線（subtangent lines）和次切距（subtangent）是不同的。 设f:I→R是一个实变量凸函数，定义在实数轴上的开区间内。这种函数不一定是处处可导的，例如绝对值函数...

次调和函数（subharmonic）是數學上對函數的一種分類，常用在偏微分方程、複變分析及位勢論中。 次调和函数類似單變數的凸函数。若一凸函数和一線段相交於二點，在這二點內凸函数的圖形會在線段的下方。相似的，若在次调和函数在球邊界上的值不大於调和函数的值，則若在次调和函数在球內的值也不大於调和函数的值。...

次梯度法是求解凸函数最优化（凸优化）问题的一种迭代法。次梯度法能够用于不可微的目标函数。当目标函数可微时，对于无约束问题次梯度法与梯度下降法具有同样的搜索方向。 虽然在实际的应用中，次梯度法比内点法和牛顿法慢得多，但是次梯度法可以直接应用于更广泛的问题，次梯度法只需要很少的存储需求。然而，通过将次梯...

根據不同的參數特性，可以得到對問題不同的結論 如果Q是半正定矩阵，那么f(x)是一个凸函数。相应的二次规划为凸二次规划问题；此时若约束条件定义的可行域不为空，且目标函数在此可行域有下界，则该问题有全局最小值。 如果Q是正定矩阵，则该问题有唯一的全局最小值。 若Q为非正定矩阵，则目标函数是有多个平稳点和局部极小点的NP问题。 如果Q=0，二次规划问题就变成线性规划问题。...

度規函數是數學凸分析的一個重要函數。設 E {\displaystyle E} 為 R {\displaystyle \mathbb {R} } 或 C {\displaystyle \mathbb {C} } 上的向量空間，有需要時可以假設為拓撲向量空間。設 C {\displaystyle C}...

在數學最佳化中，羅森布羅克函數是一個用來測試最佳化演算法性能的非凸函数，由霍華德·哈里·羅森布羅克】在1960年提出。也稱為羅森布羅克山谷或羅森布羅克香蕉函數，也簡稱為香蕉函數。 羅森布羅克函數的定義如下： f ( x , y ) = ( 1 − x ) 2 + 100 ( y − x 2 ) 2 ...

在数学领域的凸分析中，集合的“示性函数”为凸函数，用于表示给定元素是否为该集合的成员（或非成员）。尽管与常规示性函数定义相似，两者也可以相互转换，但根据如下定义的示性函数更适应于凸分析的方法。 假设 A {\displaystyle A} 为集合 X {\displaystyle X} 的子集。 A...

在数学中，給定函數定義域，當定義域中較小的自變量值小於較大的自變量值時，較小的自變量值對應的因變量值總是小於較大的自變量值對應的因變量值，那麼這個函數就是單調增加函數。當定義域中較小的自變量值小於較大的自變量值時，較小的自變量值對應的因變量值總是大於較大的自變量值對應的因變量值，那麼這個函數就是單調減少函數...

个快捷方法。该不等式以威廉·亨利·杨（英语：William Henry Young）命名。 我们知道函数 f ( x ) = e x {\displaystyle f(x)=e^{x}} 是一个凸函数， 因为它的二阶导数恒为正。 从而我们有： a b = e ln ⁡ ( a ) e ln ⁡ ( b...

在数学分析中，角谷不动点定理是一个适用于集值函数的不动点定理。它为在定义在欧几里德空间中的紧凸集上的集值函数提供具有不动点的充分条件，也即一个可以映射到包含自身的集合的点。角谷不动点定理是布劳威尔不动点定理的泛化。布劳威尔不动点定理是拓扑学的基础定理，它证明了定义在欧几里得空间的紧致，凸子集上的连续函数具有不动点。角谷静夫将此定理泛化到了集值函数。...

TCP）更加平缓和具有数学上的意义，其中的窗口大小是一个自上次拥塞事件以来的时间的三次函数，拐点被设置为拥塞事件发生时的窗口大小。因为它是一个三次函数，所以它有两个阶段进行窗口增加。第一部分是一个凹函数，将窗口大小快速提升至最后拥塞事件发生时的大小。第二个部分为一个凸函数，CUBIC探针以较缓和的速度寻求更大的带宽。CUBIC...

{\displaystyle {\Gamma }} 表示伽玛函数。可以推出Ai(x)和Bi(x)的朗斯基行列式是 1 π {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}} 。 当x是正数时，Ai(x)是正的凸函数，指数衰减为零，Bi(x)也是正的凸函数，但呈指数增长。当x是负数时，Ai(x)和B...

\Gamma \,} 函数（伽瑪函數；Gamma函数），是階乘函數在實數與複數域上的擴展。如果 n {\displaystyle n} 為正整數，則： Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!} 根据解析延拓原理，伽瑪函數可以定義在除去非正整數的整個複數域上：...

在数学中，偏导数（英語：partial derivative）的定義是：一個多變量的函数（或稱多元函數），對其中一個變量（導數）微分，而保持其他变量恒定。 偏导数的作用与价值在向量分析和微分几何以及机器学习领域中受到广泛认可。 函数 f {\displaystyle f} 关于变量 x {\displaystyle...