劉維爾函數（Liouville function） λ ( n ) {\displaystyle \lambda (n)} 是算術函數。對於正整數n， λ ( n ) = ( − 1 ) Ω ( n ) {\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}} 其中...

默比乌斯函数是一個積性函數。 以狄利克雷卷積的方法表示，則是 μ ∗ 1 = ϵ {\displaystyle \mu *1=\epsilon \,} ，其中 ϵ {\displaystyle \epsilon \,} 是狄利克雷卷積的單位元，這是默比乌斯反转公式的原理。 劉維爾函數 梅滕斯函數...

初等函数（基本函數）是由常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、乘方、开方）及有限次函数复合所产生、并且在定义域上能用一个方程式表示的函数。 一般来说，分段函数不是初等函数，因为在这些分段函数的定义域上不能用一个解析式表示。 初等函数...

(n/p) －勒讓德符號，p是固定質數（完全積性） λ(n) －劉維爾函數，關於能整除n的質因子的數目 γ(n)，定義為γ(n)=(-1)ω(n)，在此加性函數ω(n)是不同能整除n的質數的數目 所有狄利克雷特徵均是完全積性的 積性函數的值完全由質數的冪決定，這和算術基本定理有關。即是說，若將n表示成質因數分解式如...

勒貝格可測集的勒貝格測度，等于这个集合通常意义的体积 經度 線密度 黃經，為黃道座標系統中用來確定天體在天球上位置的一個座標值 劉維爾函數 卡邁克爾函數 等於一微升（µL）或一立方公釐（mm3） 電腦科學中的空字元串 μ代表： 数论中的莫比乌斯函数 表示模的环表示 概率论和统计学中总体的平均数或期望值 测度论中的一个测度...

刘维尔为这篇论文作序，并向数学界推荐，使得数学界认识到伽罗瓦的天才工作。《纯粹与应用数学雜誌》在国际上享有很好的声誉，被数学家昵称为“刘维尔杂志”。 刘维尔定理 刘维尔函数（Liouville function） 劉維爾函數 (微積分)（英语：Liouvillian...

梅滕斯函數（Mertens function）為一數論中的函數，針對所有正整數n定义，得名自弗朗茨·梅滕斯，梅滕斯函數定义如下 M ( n ) = ∑ k = 1 n μ ( k ) {\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k)} ， 其中μ是默比乌斯函数。 上述定義也可以延伸到實數：...

零次函数（常數函數）：零次多项式，图像为水平线。 一次函数：一次多项式，图像为斜直线。 二次函数：二元二次多项式，图像为圆锥曲线。 三次函数 四次函数 五次函数 有理函数：两个多项式函数的比。 开方 平方根 立方根 非代数函数即为超越函数。 指数函数 双曲函数：形式上相似于三角函数。 对数函数：指数函数的反函数；用于求解指数方程。...

在數學中，解析函数（英語：Analytic function）是局部上由收斂冪級數給出的函數。解析函數可分成實解析函數與複解析函數，兩者有類似之處，同時也有重要的差異。两种类型的解析函数都是无穷可导的，但复解析函数表现出一些一般实解析函数不成立的性质。此外在超度量域上也可以定義解析函數...

在數學上，若一個函數的表達式可以寫成常數、變數和基本函數及其之間的基本運算（加減乘除和整數冪）和這些函數的複合，則稱此種表達式為封閉形式（Closed-form）。一般會允許n次方根、指數函數、對數以及三角函數等作為基本函數，出現在封閉形式中；但何謂基本函數，可能取決於情境。...

\Gamma \,} 函数（伽瑪函數；Gamma函数），是階乘函數在實數與複數域上的擴展。如果 n {\displaystyle n} 為正整數，則： Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!} 根据解析延拓原理，伽瑪函數可以定義在除去非正整數的整個複數域上：...

黎曼泽塔函數 ，写作ζ(s) 的定義如下： 設一複數 s 使得 Re(s) > 1，則定義： ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}} 它亦可以用积分定义： ζ...

在数学及其应用中，以雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆和约瑟夫·刘维尔的名字命名的施图姆-刘维尔方程（英語：Sturm–Liouville theory）是指二阶线性实微分方程： 其中给定系数函数p(x), q(x), 和w(x)均为已知函数，和y是以x为自由变量的未知的待求解函数，称为解； λ {\displaystyle...

刘维尔定理是数学中复分析的一个定理，由十九世纪法国数学家约瑟夫·刘维尔最先证明。刘维尔定理对整函数（即在整个复数域 C {\displaystyle \mathbb {C} } 上都是全纯函数）的值域进行了刻画。它表明，任何有界的整函数都一定是常数。 比刘维尔...

（此即「雙週期」的含義）。 全純橢圓函數的绝对值应恒小于某个正数，因此该函数有界，而根據複分析中的刘维尔定理，有界的全纯函数只能是常數函數，故非常數的橢圓函數必帶極點，或者说，椭圆函数是亚纯函数。下文中讨论椭圆函数的性质时，不将常函数视为椭圆函数。 一般的椭圆函数的导数仍为椭圆函数。 椭圆函数...

函數。為了證明結果而在證明過程中建構某個函數的作法，並不僅限於超越數論的研究，然而「輔助函數」一詞通常都用以描述在超越數論的情境下建構出來的這類函數。 由於上述的命名常規之故，因此可藉由簡單地檢視超越數論的最早結果，認為輔助函數和超越數的研究同時出現。輔助函數最早的結果之一就是劉維爾...

約瑟夫·劉維爾首先於1838年在表述劉維定理的論文裡涉及到相空间的概念，證實了相空間的體積守恆，但是他並不知道劉維定理可以應用於動力學問題。後來，卡爾·雅可比與路德维希·玻尔兹曼分別在發展力學理論與氣體運動論時應用到相空間，並且引述了劉維定理的論文為參考文獻。玻尔...

刘维尔定理揭示了具有初等原函数的初等函数的本质特征。其最早由约瑟夫·刘维尔于十九世纪三四十年代提出，经后人推广到一般的微分域上，并被进一步推广运用在常微分方程组初等首次积分的研究上。 初等函数的原函数并不总是初等函数，例如 e − x 2 {\displaystyle e^{-x^{2}}} 的原函数是误差函数，无法用初等函数表达出来。...

e} 是無理數和超越數（見林德曼－魏尔斯特拉斯定理）。這是第一個獲證為超越數的数，而非故意構造的（比較劉維爾數）；由夏爾·埃爾米特（Charles Hermite）於1873年證明。有猜想它為正規數。 当 x = e {\displaystyle x=e} 时函數 f ( x ) = x x {\displaystyle...

在給定的量子力學波函數ψ(x)，維格納準概率分佈是所有空間自相關函數的一個母函數.因此1927時，赫爾曼·外爾 提出在量子機率密度函數，它扮演真實相空間函數及厄密特運算子的映射角色。事實上，它是密度矩陣中的維格納-魏爾變換，用來實現在相空間中的運算子。後來由讓威樂在1...

Bôcher 定理，它描述正調和函數的孤立奇點。如前一節所述，調和函數的孤立奇點可分類為可去除奇點、極點與本性奇點。 研究調和函數的一種卓有成效的辦法是研究它們滿足的不等式，其中最基本者當屬極大值原理，由此可推出大多數其它不等式。另一個重要結果是劉維爾定理，它斷言定義在整個 R n {\displaystyle...

且它确实没有检测到数e是超越的。但他的工作确实提供了更多的超越数，现在以他的名义稱為刘维尔数。 劉維爾判定本质上是说，代数数不能很好地被有理数近似。因此，如果一个数可以很好地被有理数近似，那么它一定是超越的。劉維爾著作中“非常接近”的确切含义与某个指数有关。他证明了如果 α 是 d (≥2）次代数数，且...

變量值對應的因變量值，那麼這個函數就是單調減少函數。單調增加函數和單調減少函數統稱單調函數。 这個概念最先出现在微积分中，后来推广到序理论中更加抽象结构中。尽管概念一般是一致的，两个学科已经发展出稍微不同的术语。在微积分中，我们经常说函数是单调递增和单调递减的，在序理论中偏好术语单调、反单调或序保持、序反转。...

{\displaystyle a} ，似乎就可以更能貼切的描述函數值在 a {\displaystyle a} 附近的變化。 以此為動機，若实函数 f {\displaystyle f} 於实数 a {\displaystyle a} 有定義，且以下極限（注意這個表達式所定義的函數定義域不含 a {\displaystyle...

在物理学中，刘维尔定理（Liouville's theorem）是经典统计力学与哈密顿力学中的关键定理。该定理断言相空间的分布函数沿着系统的轨迹是常数——即给定一个系统点，在相空间游历过程中，该点邻近的系统点的密度关于时间是常数。换一种表述，就是共轭相空间里，一个哈密顿系统的相体积不可压缩。...

分，用於有效解决一些僅以代數學和幾何學無法處理的問題。 微積分學於代數學和幾何學的基礎上建立，其中微分是指函數的局部變化率的一種線性描述，包括求導數和其運算，即一套關於變化率的理論。它使得函數、速度、加速度和斜率等均可用一套通用的符號進行演繹；積分是微積分學與數學分析裡的一個核心概念，包括求積分的...

}}}.} 整函数在无穷远处可能具有奇点，甚至是本性奇点，这时该函数便称为超越整函数。根据刘维尔定理，在整个黎曼球面（复平面和无穷远处的点）上的整函数是常数。 刘维尔定理确立了整函数的一个重要的性质：任何一个有界的整函数都是常数。这个性质可以用来证明代数基本定理。皮卡小定理强化了刘维尔...

函數的微分在向量值多變數函數的推廣，在這種情況下，雅可比矩陣也被稱作函數 f 在點 x 的微分或者導數。 在代数几何中，代数曲线的雅可比行列式表示雅可比簇（英语：Jacobian variety）：伴随该曲线的一个代數群，曲线可以嵌入其中。 它们全部都以普魯士数学家卡爾·雅可比命名。 假設某函數從...

{\displaystyle Y_{2}^{2}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }} 勒让德多项式 伴随勒让德多项式 施图姆-刘维尔理论 柱谐函数 向量球諧函數...

在那个时候，对黎曼积分精炼的种种尝试也引向了实数函数的非连续集合的“大小”的研究。 在19世紀末時，也發現了許多病態函數，像是處處不連續函數、處處連續但處處不可微分的魏爾斯特拉斯函數以及空間填充曲線等。卡米爾·若爾當發展了若爾當測度，而格奧爾格·康托爾提出了現在稱為樸素集合論的理論，勒內-路易·貝爾...

貝爾級數是數論上一種研究算術函數的工具。它是形式幂级数。 給定算術函數f和質數p，f模p的貝爾級數為 f p ( x ) = ∑ i = 0 ∞ f ( p n ) x n {\displaystyle f_{p}(x)=\sum _{i=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}}...