在數學中，單李代數是除了零和本身之外沒有其它理想的李代數。半單李代數是指能表為單李代數的直和的李代數。若一個李代數能表為半單李代數與阿貝爾李代數的直和，則稱之為約化李代數。半單李代數與約化李代數是李代數研究中的主要對象。 設 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 為李代數，其半單性有下述刻劃：...

数学上，李代数是一个代数结构，主要用于研究像李群和微分流形之类的几何对象。李代数因研究无穷小变换的概念而引入。“李代数”（以索菲斯·李命名）一词是由赫尔曼·外尔在1930年代引入的。在旧文献中，无穷小群指的就是李代数。 李代數是一个在域 F 上的向量空間 g {\displaystyle {\mathfrak...

矩陣構成。它也是 n2維李群；它有同GL(n,R)一樣的李代數。 群GL(n,R)也是非緊緻的。GL(n, R)的極大緊子群是正交群 O(n)，而GL+(n, R)的極大緊子群是特殊正交群 SO(n)。至於SO(n)，群GL+(n, R)不是單連通的（除了 n=1的時候），然而有基本群，它對 n=2同構於...

半單李群或約化群。約化群的表示是當前數學的熱點之一。 單群的分類法是先考慮其李代數的複化，並分類相應的根系。為了從複數域回到實數域，下一步是分類複李代數的實形式，這可藉 Vogan 圖完成。最後，李代數一一對應到單連通李群，為了從李代數層次回到李群層次，還須要計算單連通單李群的中心。複單李代數的分類如下，以下的...

r, 即其嘉当子代数的維數為 r, 則其恰有 r 個卡西米爾元。 一個單李代數中，每個不變二次型皆為基灵型的倍數，所以對應的卡西米爾元唯一（允許相差一個常數的意義下）。對於一般的半單李代數，考慮其不變二次型組成的空間。半單李代數是若干單李代數的直和，因此該二次型空間中，對應每個單...

theory）是數學中抽象代數的一支。旨在抽象代数结构中的元素「表示」成向量空間上的線性變換，并研究这些代数结构上的模，藉以研究結構的性質。略言之，表示論將一代數對象表作較具體的矩陣，並使得原結構中的代数运算對應到矩陣加法和矩陣乘法。此法可施於群、結合代數及李代數等多種代數結構；其中肇源最早，用途也最廣的是群表示論。設...

-約化群的覆疊空間（帶有相應的李群結構）。 其李代數 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 同構於某個 R {\displaystyle \mathbb {R} } -約化群的李代數。 其李代數 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 可寫成一個半單李代數與一個交換李代數的直和。...

在数学和理论物理领域，李群表示（Representation of a Lie group）意指李群在向量空间上的线性作用。等价地说，群的表示是一个从该群到向量空间的可逆算子群的光滑同态。表示论在连续对称性的研究中扮演了重要的角色。关于这类表示的研究颇丰，其中一个基本的研究工具是使用对应的无穷小李代数表示（英语：Lie...

两个李群之间存在一个双射，这个双射及其逆射均为同态，就称之为同构。 李代數刻劃了李群在單位元附近的局部性狀；藉助指數映射或源自李代數的葉狀結構，可以將李代數的性質提昇到李群的層次。 設 G {\displaystyle G} 為李群，其李代數 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}...

Ды́нкин，羅馬化：Eugene Borisovich Dynkin，1924年5月11日—2014年11月14日），蘇聯及美國數學家，於概率論和代數作出重要貢獻，特別是半單李群、李代數和馬可夫過程。登金圖（英语：Dynkin diagram）、登金系統（英语：Dynkin system）與杜博-登金引理（英语：Doob–Dynkin...

a_{ij}={2(r_{i},r_{j}) \over (r_{i},r_{i})}} 其中 r i {\displaystyle r_{i}} 是選定的單根。單李代數對應於不可化嘉當矩陣。 不可化嘉當矩陣可透過連通丹金圖分類。具體方式是取 n {\displaystyle n} 個頂點（n 為嘉當矩陣 A {\displaystyle...

{Sp} (n)} 之李代數在複化後給出相同的單李代數。此李代數記作 C n {\displaystyle C_{n}} 。此李代數也就是複李群 S p ( 2 n , C ) {\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )} 之李代數，記作 s p ( 2...

在數學裡，尤其是在李群的理論中，一根系的外尔群是指經由正交於根之超平面的鏡面而產生之根系的等距同構群之子群。例如，根系A2包含中心為原點之正六邊形的角。根系的對稱之整個群因此是有12階的二面體群。外尔群產生於將六邊形平分成兩半的線之鏡射；其為6階的二面體群。 半單李群、半單李代數和半單線性代數群等之外尔群為群或代數之根系的外尔群。...

的基灵型负定，则称之为紧李代数。我们知道在李对应下，紧李代数对应于紧李群。 如果 gC 是复数域上一个半单李代数，则有多个不同构的实李代数的复化是 gC，它们称为 gC 的实形式（real forms）。每一个复半单李代数有惟一（在同构意义下）一个紧实形式 g。一个给定的复半单李代数的实形式通常由它们基灵型的正惯性指标区分。...

在表示论中，楊代數（或楊子、Yangian）是一種無限維的霍普夫代数和量子群。這是以楊振寧命名的。俄羅斯物理學家弗拉基米爾·德林費爾德和路德維希·法捷耶夫首先研究了楊子。 若a是半單李代數，Y(a)是无限维的霍普夫代数（跟泛包絡代數有關係）。Y(a)是楊代數。 [ t i j ( p + 1 ) ,...

結果概述 李群及李代數（Groupes et algèbres de Lie），記為LIE，9章： 李代數 自由李代數 李群 考克斯特群和蒂茨系统 由反射生成的群 根系 嘉當子代數和正則元 分裂半單李代數 緊實李群 譜理論（Théories spectrales），記為TS，5章： 賦範代數 局部緊交換群...

在抽象代數中，幺半群，又稱為單群、亞群、独异点、具幺半群或四分之三群（英語：Monoid）是指一個帶有可結合二元運算和單位元的代數結構。 么半群在許多的數學分支中都會出現。在幾何學中，幺半群捉取了函數複合的概念；更確切地，此一概念是從範疇論中抽象出來的，之中的幺半群是個帶有一個物件的範疇。幺半...

y]} .) 一個 實(維數可以無限)李代數亦可稱為 Kac–Moody代數，若其 複化 是個 Kac–Moody代數. h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 是此卡茨-穆迪代数的一嘉當子代數。 若 g 是 Kac–Moody 代數的一元，使得 ∀ x ∈ h [ g ...

）、幂零子代数，通常用 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 表示。 当基域是无限域时，有限维李代数的嘉当子代数总是存在的。如果基域是代数闭的且特征为零，那么对给定的有限维李代数，所有嘉当子代数通过李代数的自同构都是共轭的，因此也是同构的。 对基域是代数闭的且特征为零的半单李...

代數的基礎上引進量子群 (單李代數的量子形變(quantum deformation))一概念，並連係其到楊—巴克斯特方程(Yang-Baxter equation)（統計力學模型可解的必要條件）的研究。他又推廣霍普夫代數成 半霍普夫代數, 引進了德林費爾德模一概念，其應用包括分解對應於半三角霍普夫代數之楊-巴克斯特方程解的...

contraction）就是龐加萊群。 它的正能量么正不可約表示是由質量（非負數）與自旋（整數或半整數）所標記的，並與量子力學的粒子有關。 與愛爾蘭根綱領一致，閔可夫斯基空間的幾何由龐加萊群所規定的：閔可夫斯基空間可被視為龐加萊群的齊性空間。 龐加萊代數是龐加萊群的李代數。更具體的來說，正式的( det ( Λ ) = 1 {\displaystyle...

在數學中，根系是歐幾里得空間中滿足某些公理的向量配置。根系在李群、李代數與代數群理論中格外重要；而根系分類的主要工具──鄧肯圖，也見諸奇异性理论等與李群並無顯著關係的學科。 設 V {\displaystyle V} 為有限維實向量空間，並賦予標準的內積 ( , ) {\displaystyle (...

有時在緊群的限制下討論古典群，這樣容易處理它們的表示論和代數拓撲。但是這把一般線性群排除在外，當前都認為一般線性群是最古典的群。 和典型李群相對的是例外李群，具有一樣的抽象性質，但不屬於同一類。 典型李群共同的特点是它们都与某个特定的双线性或半双线性形式的等距同构群密切联系。这四类用邓肯图标记（ n...

在数学中，特别是在群论中，李型群这一短语通常指的是与在有限域中取值的约化线性代数群的有理点群密切相关的有限群。李型群这一短语并没有一个被广泛接受的精确定义，但李型有限单群的重要集合却有一个精确的定义，它们构成了有限单群中的大部分群。 之所以称为李型群，是因为它们与（无限）李群关系密切，因为一个紧李...

n 2 {\displaystyle n^{2}} 维实李群。 U ( n ) {\displaystyle {\text{U}}(n)} 的李代数由所有复 n × n {\displaystyle n\times n} 斜埃尔米特矩阵组成，李括号为交换子。 一般酉群(也称为酉相似群）由所有复矩阵 A...

法的幾何解釋，即為複數平面上的旋轉，並且任何旋轉都可表達成這種形式。 任何大於0之維度的緊緻李群G都會有一個會同構於圓群的子群。這是指以對稱的觀點來思考，一「連續」作用的緊緻對稱群可以被表示成有一作用著的單參數圓子群；其在物理系統上的結果可以有如旋轉不變性和自發性對稱破壞等例子。 圓群有許多個子群，但其純緊緻子群只由單位根所構成。...

數學上，克利福德代数（Clifford algebra）是由具有二次型的向量空間生成的單位結合代數。作為域上的代數，其推廣實數系、複數系、四元數系等超複數系，以及外代数。此代數結構得名自英國數學家威廉·金顿·克利福德。 研究克里福代数的理論有時也稱為克里福代數...

SU(n) 是一个 n2-1 维实矩阵李群。在拓扑上是紧及单连通的。在代数上，它是一个单李群（意为它的李代数是单的，见下）。SU(n) 的中心同构于循环群 Zn。当 n ≥ 3，它的外自同构群是 Z2，而 SU(2) 的外自同构群是平凡群。 SU(n) 代数由 n2 个算子生成，满足交换关系（对 i...

{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )} 的子代數）。此時，伴隨映射由 Adg(x) = gxg−1 給出。 如果 G 是 SL2(R)（行列式為 1 的 2×2 實矩陣），G 的李代數由跡 0 實 2×2 矩陣組成。這個表示等價於 G 在兩個變量二次型空間上通過線性替換給出的作用。...

theory)），范畴论的生成元概念。 子基，在拓扑学中生成某拓扑的集合。 拓扑代数的生成集合：S是一个拓扑代数A的生成集合如果包含S的A的最小闭子代数是A自己。 一个李群的李代数中元素有时称为这个群的生成元，特别是物理学家。李代数至少通过局部指数可以想为生成群，但李代数在严格意义上不构成一个生成集合。...

代數等），也包括一些和环论有關的定理以及其應用，例如同調代數、及PI環（英语：PI ring）。 交换环是指其中運算「·」符合交換律的环，本身比較容易理解。代数几何及代數數論中有許多交换环的例子，也帶動了交换环理論的發展，這部份後來稱為交換代數，是現代數學中的主要領域之一。代数几何、代數...