数学中，流形 M 上一个向量值微分形式（vector-valued differential form）是 M 上取值于一个向量空间 V 的微分形式。更一般地，它是取值于 M 上某个向量丛 E 的微分形式。通常的微分形式可以视为 R-值微分形式。向量值微分形式是微分几何中的自然对象并有广泛的应用。...

蒙娜丽莎》为题材的例子。在一定条件下（如其矩阵形式为实对称矩阵的线性变换），一个变换可以由其特征值和特征向量完全表述，也就是說：所有的特徵向量組成了這向量空間的一組基底。一个特征空间（eigenspace）是具有相同特征值的特征向量与一个同维数的零向量的集合，可以证明该集合是一个线性子空间，比如 E...

一个k-形式给出一个从切空间的k阶笛卡儿幂（cartesian power）到R的多线性映射。 例如，光滑函数（0-形式）的微分就是一个1-形式。 1-形式在张量的坐标无关表示中是一个很有用的基本概念。在这个上下文中，他们可以定义为向量的实值函数，并可以看成他们所对应的向量空间的对偶空间。1-形式的一个旧称就是"协变向量"。...

theorem）、旋度定理（Curl Theorem）、开尔文-斯托克斯定理（Kelvin-Stokes theorem），是微分几何中关于微分形式的积分的定理，因為維數跟空間的不同而有不同的表現形式，它的一般形式包含了向量分析的几个定理，以乔治·加布里埃尔·斯托克斯爵士命名。 设 S {\displaystyle S} 是分片光滑的有向曲面，...

向量分析隐式地将k向量场与向量场与标量函数区分开来：0向量与3向量同标量有关，1向量和2向量同向量有关。从微分形式的角度来看，向量分析隐式地将k形式同标量场与向量场相联系：0形式、3形式与标量场有关，1形式、2形式与向量场有关。因此，举例来说，旋度自然地将向量场或1形式作为输入，将2向量场或2形式...

向量场在该点的值相等。 交错k维线性形式是向量空间V的对偶空间V*的反对称k阶向量积的一个元素。k微分形式就是在流形的每一点选取一个这样的交错k形式--V在这里就是该点的切空间。如果它作用在k个可微向量场上的结果是流形上的一个可微函数，则称它可微。体积形式是维数和流形相同的微分形式。 黎曼幾何...

在数学中，偏导数（英語：partial derivative）的定義是：一個多變量的函数（或稱多元函數），對其中一個變量（導數）微分，而保持其他变量恒定。 偏导数的作用与价值在向量分析和微分几何以及机器学习领域中受到广泛认可。 函数 f {\displaystyle f} 关于变量 x {\displaystyle...

在向量微积分中，梯度（英語：gradient）是一种关于多元导数的概括。平常的一元（单变量）函数的导数是标量值函数，而多元函数的梯度是向量值函数。多元可微函数 f {\displaystyle f} 在点 P {\displaystyle P} 上的梯度，是以 f {\displaystyle f}...

每一種連續性方程式都既可以用積分形式表達（使用通量積分），描述任意有限區域內的守恆量；也可以用微分形式表達（使用散度算符），描述任意位置的守恆量。其微分形式与積分形式通过散度定理相互关联。 一般的連續性方程式的微分形式為 ∂ φ ∂ t + ∇ ⋅ f = s {\displaystyle...

函数的微分（英語：Differential of a function）是指对函数的局部变化的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。 微分在数学中的定义：由 y {\displaystyle y} 是 x {\displaystyle x} 的函数(...

数学上，微分拓扑的外微分算子，把一个函数的微分的概念推广到更高阶的微分形式的微分。它在流形上的积分理论中极为重要，并且是德拉姆上同调和Alexander-Spanier上同调中所使用的微分算子。其现代形式是由嘉当发明的。 一个k阶的微分形式的外微分是一个k+1阶的微分形式。 对于一个k-形式ω = ΣI...

向量算子是指向量分析中使用的微分算子。向量算子使用Nabla算符定义，包括梯度、散度和旋度。 grad ≡ ∇ {\displaystyle \operatorname {grad} \equiv \nabla } div ⁡   ≡ ∇ ⋅ {\displaystyle \operatorname...

integral）是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是被称为积分路径的特定曲线。 在曲线积分中，被积的函数可以是标量函数或向量函数。當被積函數是純量函數時，积分的值是積分路径各点上的函数值乘上該點切向量的長度，在被积分函数是向量函数时，積分值是積分向量函数与曲线切向量的內積。在函數是純量函數的情形下，可以把切向量...

值，电荷越大，散度越大。负电荷附近，电场线“向内”，所以负电荷处的散度为负值，电荷越大，散度越小。向量值函數的散度為一個純量，而二阶张量的散度是向量值函数。 定义向量场的散度，首先要引入通量的概念。给定一个三维空间中的向量场 A {\displaystyle \mathbf...

数学中，复微分形式是（复）流形上具有复系数的微分形式。 复形式在微分几何中有广泛的应用，在复流形上是十分基本的，是代数几何、凯勒几何、霍奇理论的基础；在非复流形上，也在殆复结构、旋子理论和CR结构的研究中发挥作用。 一般来说，之所以考虑复形式是因为它允许一些理想的分解。例如，复流形上任何复k形式都可唯一分解为所谓...

在数学中，在复数向量空间V上的半双线性形式是映射V × V → C，它在一个参数上是线性的而在另一个参数上是反线性（半线性）的。比较于双线性形式，它在两个参数上都是线性的；要注意很多作者尤其是在只处理复数情况的时候，把半双线性形式称为双线性形式。 一个主要例子是在复数向量空间上的内积，它不是双线性的而是半双线性的。...

的量。如果向量场表示一个移动的流形的流速，则旋度是这个流形的环量面密度。旋度为零的向量场叫做无旋向量场。旋度是向量的一种微分形式。微积分基本定理的对应形式是开尔文-斯托克斯定理，它将向量场旋度的曲面积分关联于这个向量场环绕边界曲线的曲线积分。 对于旋度curl...

c是光速。 從場張量的矩陣形式可以見到，其會滿足下列特性： 反對稱性： F α β = − F β α {\displaystyle F^{\alpha \beta }\,=-F^{\beta \alpha }} （因此稱作雙向量（或稱雙矢、二重向量，bivector））。 零值的跡數或稱對角和。 6個獨立分量——...

在数学中，弗勒利歇尔－奈恩黑斯括号（Frölicher–Nijenhuis bracket）是光滑流形上向量场的李括号到向量值微分形式的推广。它在研究联络，特别是埃雷斯曼联络，以及更一般的研究切丛的投影中很有用。此括号由阿尔弗雷德·弗勒利歇尔与阿尔伯特·奈恩黑斯（英语：Albert...

外幂的主要应用在于微分几何，其中他们用来定义微分形式。因而，微分形式有一个自然的楔积。所有这些概念由格拉斯曼提出。 外代数有很多种等价的定义，下面的定义是最简洁的一个。 定义: 设 V {\displaystyle V} 是域 K {\displaystyle K} 上的一个向量空间，讓 T k ( V ) :=...

曲线的微分几何是几何学的一个分支，使用微分与积分专门研究平面与欧几里得空间中的光滑曲线。 从古代开始，许多具体曲线已经用综合方法深入研究。微分几何采取另外一种方式：把曲线表示为参数形式，将它们的几何性质和各种量，比如曲率和弧长，用向量分析表示为导数和积分。分析曲线最重要的工具之一为 Frenet...

在某一点的全微分（英語：total derivative）是指该函数在该点附近关于其自变量的最佳线性近似。与偏微分不同，全微分反映了函数关于其所有自变量的线性近似，而非单个自变量。 全微分可視為單變數函數的微分在多變數函數上的推廣：单变量函数的全微分与其微分的定義相同；而多變數函數在某點的全微分...

数学上，一个李群G的Maurer-Cartan形式是一个特别的微分形式，它包含关于这个李群的结构的基本的无穷小信息。它被埃里·嘉当多次使用，作为他的移动标架法的基本组成。 设 g = T e G {\displaystyle g=T_{e}G} 是李群在幺元的切空间(它的李代数)。G可以由左平移作用在自身...

擴張到一個向量叢。這樣的霍奇對偶特別常見的是在余切叢的外代數（即流形上的微分形式）上，可用來從外導數構造余微分（codifferential），以及拉普拉斯-德拉姆算子，它导致了紧黎曼流形上微分形式的霍奇分解。 一个定向内积向量空间 V 上的霍奇星算子是 V 的外代数（ Λ ( V ) {\displaystyle...

}f(t)\right]} 方向导数在无穷维向量空间如巴拿赫空间和弗雷歇空间上可以推广为加托导数和弗雷歇导数。二者都经常用于形式化泛函导数的概念，常见于物理学，特别是量子场论。 微分代数中有导子的概念。导子是具备了微分算子的某些特征的运算子，例如向量场的李导数，或非交换代数中的交换子。给定一个环或域...

向量場中的李括號，於微分拓樸的數學領域下，稱為Jacobi–李括號或向量場的交換子，是在一微分流形M中作用在任意兩個向量場X 與 Y的算子，此一算子作用後也會形成向量場，以[X, Y]標示。 李括號 [X, Y] 在概念上是沿著由X生成向量流（英语：Vector flow）的Y微導，常寫為 L X Y...

在點 x 可微的話，在點 x 的雅可比矩陣即為該函數在該點的最佳線性逼近，也代表雅可比矩陣是單變數實數函數的微分在向量值多變數函數的推廣，在這種情況下，雅可比矩陣也被稱作函數 f 在點 x 的微分或者導數。 在代数几何中，代数曲线的雅可比行列式表示雅可比簇（英语：Jacobian...

向量，可以描述为1-形式，或者作为逆变向量的对偶空间的元素。 但物理学家和工程师是首先识别出向量和张量作为实体具有物理上的意义的，它超越了它们的分量所被表述的（经常是任意的）坐标系。同样，数学家发现有一些张量关系在坐标表示中更容易推导。 张量可以表述为一个值的序列，用一个向量值的定义域和一个标量值...

微積分學也称為微分积分学（拉丁語：Calculus），主要包括微分學和積分學两个部分，是研究極限、微分、積分和無窮級數等的一個數學分支。本質上，微積分學是一門研究连续變化的學問。 微積分學在科學、商學和工程學領域皆有廣泛的應用，並成為了現代大學教育的重要组成部分，用於有效解决一些僅以代數學和幾何學無法處理的問題。...

\omega } 該2-形式的积分和以 f x {\displaystyle f_{x}} 、 f y {\displaystyle f_{y}} 和 f z . {\displaystyle f_{z}.} 为分量的向量场的面积分相同。 面积分中很多有用的结果可以用微分几何和向量微积分导出，例如散度定理及其推广斯托克斯定理。...

在數學、物理學及工程學中，歐幾里得向量（有時也稱為「幾何向量」、「空間向量」，或單稱「向量」）是同時有量值（長度）和方向的幾何對象。一個向量將 A {\displaystyle A} 點「搬運」至 B {\displaystyle B} 點；向量的拉丁文「vector」意思為「搬運東西的東西」。向量的量值就是兩點之間的距離，方向則為...