为同胚，则称X为弧连通空间。 道路连通空间必定是连通空间，反之不一定。 道路连通的豪斯多夫空间必为弧连通空间。 拓扑空间X称为局部连通的，当且仅当以下叙述之一成立： 空间中的任一点都存在连通的邻域（即该邻域是X的连通子集）。 空间的拓扑基完全由连通的集合组成。 拓扑学家的正弦曲线：在平面欧几里得空间 R 2...

在拓扑学和相关的数学分支中，完全不连通空间是没有非平凡连通子集的拓扑空间。在所有拓扑空间中空集和单点集合是连通的，而在完全不连通空间中它们是仅有的连通子集，在此意义上，完全不连通空间是极大不连通。 完全不连通空间的重要例子是康托尔集合。另一个例子是在代数数论中扮演关键角色的p进数的域 Qp。 拓扑空间 X 是完全不连通，如果在...

點集拓撲上，極端不連通空間是一種拓撲空間，它的任何開集的閉包是開集。在某些分離公理假設下這定義了比完全不連通空間及各種“0維條件”更強的不連通性。一個極端不連通的緊緻豪斯多夫空間，有時會稱為Stonean空間。（注意與Stone空間的分別：Stone空間是完全不連通的緊緻豪斯多夫空間。）Andrew...

的零集合。因此点是闭合的。但是这个例子作为非豪斯多夫(T2) 的空间而知名。Zariski 拓扑本质上是余有限拓扑的例子。 所有完全不连通空间是 T1，因为所有点都是连通单元因此是闭合的。 术语“T1”、“R0”和它们的同义词还可以应用于拓扑空间的变体如一致空间、柯西空间和收敛空间。统一这些例子中概念的特征是固定超滤子（或恒定网）的极限是唯一的（对于...

這兩個概念對可分可度量化空間為等價。（烏雷松定理指這類空間的這兩個維數相等。） 一個零維豪斯多夫空間必定是完全不連通空間，但逆命題不成立。不過一個局部緊豪斯多夫空間是零維空間，當且僅當這空間是完全不連通的。 零維豪斯多夫空間正正是拓撲冪集 2 I {\displaystyle 2^{I}} 的子空間，其中2={0,1}賦予了離散拓撲。若...

连通 X称为连通的，当且仅当它不是两个无交的非空开集的并。（或等价地，该空间的闭开集（既开又闭的集合）只有空集和全空间两者）。 局部连通 X称为局部连通的，当且仅当它的每个点都存在一个特殊的局部基，这个局部基由连通集构成。 完全不连通 X称为完全不连通的，当且仅当不存在多于一个点的连通子集。...

拓扑学中，离散两点空间（discrete two-point space）是最简单的完全不连通离散空间。点可以径直记作0和1。 任何不连通空间都有到离散两点空间的非恒定连续映射。反之，若从拓扑空间到离散两点空间存在非恒定连续映射，则这个空间就是不连通的。 George F. Simmons. Introduction...

所有离散一致空间或度量空间都是完备空间。 组合上两个性质，所有离散一致空间或度量空间都是全有界的，当且仅当它是有限的。 所有离散度量空间都有界。 所有离散空间都是第一可数空间，并且离散空间是第二可数空间当且仅当它是可数的。 所有离散空间都是完全不连通空间。 所有非空离散空间都是贫集。 任何两个同势的离散空间都同胚。 任何离散空间都可度量（通过离散度量）。...

空间。 布劳威尔定理给出了康托尔空间的拓扑特征： 任意两个无孤点、非空的紧豪斯多夫空间（有可数基，包含闭开集）都是互相同胚的。 具有由闭开集构成的基的拓扑空间，也称为“零维空间”。布劳威尔定理可以重述为 拓扑空间是康托尔空间，当且仅当其非空、是完美集、是紧空间、是完全不连通空间、是可度量的。...

\mathbb {R} :x\geq a\}} 皆為閉開集。故 R l {\displaystyle \mathbb {R} _{l}} 為完全不连通空间。 R l {\displaystyle \mathbb {R} _{l}} 的緊子集只能是可數集（允許是有限集）。要證明此結論，考慮非空緊集...

但是X是正则空间、完全正则空间、正规空间和完全正规空间；尽管是在非常空洞意义上，因为仅有的闭集是∅和X。 X是紧致空间因此是仿紧致空间、林德勒夫空间和局部紧致空间。 所有定义域是拓扑空间而陪域是X的函数都是连续函数。 X是道路连通并因此是连通空间。 X是第一可数空间、第二可数空间和可分离空间。 所有X的子空间都有密着拓扑。...

regular）。若對任意的閉集C和一個不相交的點x，C 和 {x} 都是函數可分的，則稱這個空間是 完全正則。 完全T3。參閱吉洪诺夫。 分支（Component）。參閱連通分支、道路分支。 連通（Connected）。如果一個空間不能寫成兩個不相交的非空開集的聯集，則稱這個空間是連通的。等價的，一個空間是連通的，若且唯若除了空間本身外，沒有非空的閉開子集。...

艾伦伯格–麦克莱恩空间 芬斯勒空间*第一可数空间 弗雷歇空间 几何空间 哈代空间 齐性空间 柯尔莫果洛夫空间 Lp空間 透镜空间 刘维尔空间 局部有限空间 闭路空间 洛伦兹空间 闵可夫斯基空间 仿紧空间 完美胚空间 平面空间 波兰空间 邻近空间 二次空间 商空间 商空间 (线性代数) 序列空间 谢尔宾斯基空间 索博列夫空间...

的细分都是拓扑嵌入的实例，图同胚只是拓扑同胚的特例，连通图的概念与拓扑连通重合，并且当且仅当连通图的基本群平凡时，才是树。 与图相关的其他单纯复形还有团复形 （以图的每个团为集合）与匹配复形（以图的每个匹配为集合）（等同于线图补集的团复形） 。完全二分图的匹配复形称作棋盘复形，因为其也可描述为棋盘上非攻击车集合的复形。...

謝爾賓斯基空間同時是個超連通空間（Hyperconnected space）（這是因為其所有的非空開集都包含1所致）和特連通空間（Ultraconnected space）（這是因為其所有的非空閉集都包含0所致）。 謝爾賓斯基空間是個連通空間和道路连通空间。 一條連通謝爾賓斯基空間當中的0和1的道路...

来说是单连通的。 紧流形同伦等价，但其构型空间非同伦等价，这样流形的存否问题到2005年由Riccardo Longoni & Paolo Salvatore解决。他们发现的例子是两个3维透镜空间，及至少含两个点的构型空间。由后者各自的万有覆盖的梅西积可发现，它们不是同伦等价的。单连通闭流形的构型空间...

连通的（即所有边都包含在一个分量中），同时每个点的度都是偶数。而对有向图，存在闭漫游（closed walk）不重复地经过每条边的充要条件是：图是强连接的，且每个顶点出入度相等。在这两个情况下，环或漫游称作欧拉环。对有限无向图（无论连通），若其每个顶点的度都是偶数，则可以找到一组简单的环不...

M 的開子集，因此 M = ({p }∪A) ∪ B 把 M 分割成兩個不相交的開集，這與 M 連通矛盾。 拓撲結構為序拓撲的空間稱為序空間，而序空间的子空間称为廣義序空间。因此，以上例子 Z 是一个廣義序空间，但不是一個序空間。 類似的拓扑结构有： X 上的右序拓扑，其具有 (a, ∞) 形式的開集（包括...

所有可一致化空间是完全正则拓扑空间。此外，对于可一致化空间 X 下列等价： X 是柯爾莫果洛夫空間 X 是豪斯多夫空间 X 是吉洪诺夫空间 对于任何兼容的一致结构，所有周围的交集是对角 {(x, x) : x ∈ X}。 可一致化空间的拓扑总是对称拓扑；就是说这个空间是 R0 空间。 反过来说，每个完全正则空间都是可一致化的。兼容于完全正则空间...

是路徑連通的，若對於 M 內的任兩點 x、y，均存在一個連續映射 f : [ 0 , 1 ] → M {\displaystyle f\colon [0,1]\to M} ，其中 f(0)=x 且 f(1)=y。每個路徑連通空間都是連通的，但反之通常不成立。 上述性質均有相對的局部定義：局部連通空間與局部路徑連通空間。...

\operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)\to 1} 。 对 n > 2， Spin(n) 单连通，从而是 SO(n) 的万有覆叠空间。作为李群 Spin(n) 及其李代数和特殊正交群 SO(n) 有相同的维数 n(n − 1)/2。 Spin(n) 可以构造为克利福德代数...

空间中以特定方式相互关联的一对子集，粗略的說，既不重疊也不接觸。两个集合是否分离对于连通空间和拓扑空间的分离公理的概念都很重要。 分离集合不应该與分离空间混淆，它们有些关系但並不相同。而可分离空间則是完全不同的拓扑概念。 有各种方式來認定拓扑空间 X 的两个子集是分離的。 A 和 B 是不...

上的闭曲线。 n-维射影空间的一些性质： 1-维射影空间同胚与圆周。 2-维射影空间不能嵌入 R3。但可以嵌入 R4 以及浸入 R3。 n-维射影空间事实上同胚于 R(n+1)2 中所有迹为 1 的对称 (n+1)×(n+1) 幂等线性变换组成的子流形。 n-维射影空间是紧连通空间，基本群同构于 2 阶循环群（从...

从布尔代数 A 到布尔代数 B 同态以自然方式对应于从斯通氏空间 B 到斯通氏空间 A 的连续函数。换句话说，这种对偶性是逆变函子。 所有布尔代数都同构与它的斯通氏空间的闭开（就是说同时是闭集和开集）子集的代数。这个同构把任何 A 的元素 a 映射到把 a 映射到 1 的那些同态的集合。 所有完全不连通紧致豪斯多夫空间...

哈恩–马祖尔克维奇定理是对曲线连续像的空间性质的描述： 非空豪斯多夫拓扑空间是单位区间上的连续像，当且仅当其是紧连通的局部连通第二可数空间。 单位区间的连续像有时也被称为皮亚诺空间。 在哈恩-马祖尔克维奇定理的许多表述中，“第二可数”等同于“可测”。在一个方向上，紧豪斯多夫空间就是正规空间...

连而成。 流形在数学中用于描述几何形体，它们为研究形体的可微性提供了一个自然的平台。物理学上，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。位形空间中也可以定义流形。环面就是双摆的位形空间。 一般可以把几何形体的拓扑结构看作是完全...

f(n)} 空间解决某个问题，那么一台确定型图灵机能够在至多 f 2 ( n ) {\displaystyle f^{2}(n)} 空间解决相同的问题。尽管非确定性的引入能够在时间上带来指数的提升，但是，这种引入对于空间而言作用有限。 萨维奇定理的证明是构造性的。证明过程为设计一个针对有向图连通...

无向图的所有割的族（family）称作图的割空间（cut space），在算术模2的二元有限域上形成向量空间，以两割集的对称差为向量加法，是环空间的正交补。若给边赋予正权重，割空间的最小权基可由与图同顶点集的树描述，称作最小割树。树的边都关联于原图的键，两节点s、t之间的最小割也就是与树中s到t的路径相关联的键中权最小的键。 连通性 (图论)...

中心可以選在凸多面體的任一一個面上的點。但並不是所有的連通簡單平面圖都是凸多面體的投影，例如樹即為反例。斯坦尼茨定理（英语：Steinitz's theorem）表明一個圖是個凸多面體的施萊格爾圖若且唯若它是 3-連通的簡單平面圖。 一个多于一条边的连通平面图满足不等式 2 e ≥ 3 f {\displaystyle...

M {\displaystyle M} 具有有限覆盖，其是环面与单连通流形的积，后者具有平凡的规范丛。 若紧凯勒流形是单连通的，则上述弱定义等价于强定义。恩里克斯面给出了具有里奇平坦度量的复流形的例子，但其规范丛不是平凡的，因此不符合第一类定义。另一方面，根据这两个定义，它们的二次覆盖都是卡拉比-丘流形（实际上是K3曲面）。...

{R} } 中的有界序列都有收斂子序列。 R {\displaystyle \mathbb {R} } 是連通且單連通的。 R {\displaystyle \mathbb {R} } 中的連通子集是線段、射線與 R {\displaystyle \mathbb {R} } 本身。由此性質可迅速導出中間值定理。...