函数的微分（英語：Differential of a function）是指对函数的局部变化的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。 微分在数学中的定义：由 y {\displaystyle y} 是 x {\displaystyle x} 的函数(...

在数学中，微分算子（英語：Differential operator）是定义为微分运算之函数的算子。首先在记号上，将微分考虑为一个抽象运算是有帮助的，它接受一个函数得到另一个函数。 最常用的微分算子是取导数自身。这个算子的常用记号包括： d d x {\displaystyle {\mathrm {d}...

微積分學也称為微分积分学（拉丁語：Calculus），主要包括微分學和積分學两个部分，是研究極限、微分、積分和無窮級數等的一個數學分支。本質上，微積分學是一門研究连续變化的學問。 微積分學在科學、商學和工程學領域皆有廣泛的應用，並成為了現代大學教育的重要组成部分，用於有效解决一些僅以代數學和幾何學無法處理的問題。...

PID控制器（比例-积分-微分控制器），由比例单元（Proportional）、积分单元（Integral）和微分单元（Derivative）组成。可以透過調整這三個單元的增益 K p {\displaystyle K_{p}} ， K i {\displaystyle K_{i}} 和 K d {\displaystyle...

Ðð（eth） Đđ（d with stroke） Ɖɖ（d with tail，又名African D，因為主要用於非洲的語言） 留意以上3个字母，大写的形状完全一样，仅小写有分别。 ∂（数学上的部分微分符号） Δδ（希腊字母Delta） Дд（西里尔字母De） 标题以「D」開頭的所有条目...

在数学中，偏导数（英語：partial derivative）的定義是：一個多變量的函数（或稱多元函數），對其中一個變量（導數）微分，而保持其他变量恒定。 偏导数的作用与价值在向量分析和微分几何以及机器学习领域中受到广泛认可。 函数 f {\displaystyle f} 关于变量 x {\displaystyle...

樣，霍奇對偶可以擴張到一個向量叢。這樣的霍奇對偶特別常見的是在余切叢的外代數（即流形上的微分形式）上，可用來從外導數構造余微分（codifferential），以及拉普拉斯-德拉姆算子，它导致了紧黎曼流形上微分形式的霍奇分解。 一个定向内积向量空间 V 上的霍奇星算子是 V 的外代数（ Λ ( V...

{\displaystyle \mathbb {A} } 的微分面积，由曲面向外定义为其方向， Q e n c {\displaystyle Q_{enc}} 为闭合曲面内的电荷， ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} 为真空電容率。 其微分形式为： ∇ ⋅ E → = ρ ε 0...

曲线的微分几何是几何学的一个分支，使用微分与积分专门研究平面与欧几里得空间中的光滑曲线。 从古代开始，许多具体曲线已经用综合方法深入研究。微分几何采取另外一种方式：把曲线表示为参数形式，将它们的几何性质和各种量，比如曲率和弧长，用向量分析表示为导数和积分。分析曲线最重要的工具之一为 Frenet...

4=2.8} 。 微分也是一种线性描述函数在一点附近变化的方式。微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的。可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分 d x {\displaystyle \mathrm {d} x} ，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。函数...

刘维尔定理揭示了具有初等原函数的初等函数的本质特征。其最早由约瑟夫·刘维尔于十九世纪三四十年代提出，经后人推广到一般的微分域上，并被进一步推广运用在常微分方程组初等首次积分的研究上。 初等函数的原函数并不总是初等函数，例如 e − x 2 {\displaystyle e^{-x^{2}}} 的原函数是误差函数，无法用初等函数表达出来。...

上分别定义。如果所有变换映射和这个结构相容，该结构就可以转到流形上。 这是微分流形的标准定义方式。如果图册的变换映射对于一个拓扑流形保持Rn自然的微分结构（也就是说，如果它们是微分同胚），该微分结构就传到了流形上并把它变成微分流形。 通常，流形的结构依赖于图册，但有时不同的图册给出相同的结构。这样的图册称为相容的。...

他们可以表述很一般的偏微分方程(PDE)系统。嘉当加入了外导数，作为一个完全几何式的坐标无关的操作。这很自然导致了对于一般的p讨论p-形式的需要。嘉当描述了Riquier的一般PDE理论对他的影响。 基于这些基础，即李群和微分形式，他继续深入完成了大量工作，以及一些通用的技术，例如移动标架法，这些逐渐融入到数学的主流中。...

f^{-1}(p)=\{x_{1},x_{2},..,x_{n}\}\,.} 由 p 是一个正则值，在每个 xi 的一个邻域中映射 f 是局部微分同胚（这是一个覆盖映射）。微分同胚可以为保持定向或反定向。设 r 是 xi 中 f 保持定向的个数，而 s 是反定向的个数。当 f 的定义域是连通的，数 r - s...

在考虑粒子的散射时，通常引入另一个物理量微分散射截面，而将 σ {\displaystyle \sigma } 称作总散射截面。微分散射截面表达为： d σ / d Ω {\displaystyle d\sigma /d\Omega } 其中 Ω {\displaystyle \Omega } 为出射粒子的空间角。这个微分...

偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。 微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。 泛函分析的主要定理包括： 一致有界定理（亦称共鸣定理），该定理描述一族有界算子的性质。...

数学中，流形 M 上一个向量值微分形式（vector-valued differential form）是 M 上取值于一个向量空间 V 的微分形式。更一般地，它是取值于 M 上某个向量丛 E 的微分形式。通常的微分形式可以视为 R-值微分形式。向量值微分形式是微分几何中的自然对象并有广泛的应用。 设Μ是一个光滑流形，...

。 換句話說，由於非完整約束無法依照上述方法，來除去其所含廣義座標，完全描述非完整系統，所需要的廣義座標數目，大於自由度。 約束有時可以用微分形式的約束方程式來表示。思考第 i {\displaystyle i} 個約束的微分形式的約束方程式： ∑ j   c i j d q j + c i d...

拉格朗日乘数法所得的臨界點会包含原问题的所有臨界點，但并不保证每个拉格朗日乘數法所得的臨界點都是原问题的臨界點。拉格朗日乘数法的正确性的证明牵涉到偏微分，全微分或連鎖律。 微积分中最常见的问题之一是求一个函数的极大极小值（极值）。但是很多时候找到极值函数的显式表达是很困难的，特别是当函数有先决条件或约束...

微分核。 另一個相似的改進方法是被法立德和西蒙切利所提出，它們的研究是針對更高次方的微分，相較於沙爾算子，這些濾波器沒有考量到數值的一致性。 除此之外，克龍也提出了利用數值方法的最佳化來設計微分濾波器。 2014年，哈斯特也利用任意的三次樣條曲線去設計微分...

刘克峰（1965年12月—），现任美国加州大学洛杉矶分校数学系教授、浙江大学数学中心执行主任、浙江大学光彪讲座教授，其研究方向为微分几何、拓扑、数学物理。 1981年考入北京大学数学系。1985年毕业于北京大学数学系。1988年在中国科学院数学研究所获得硕士学位，...

LabahnRisch所著的《電腦代数的算法》（Algorithms for Computer Algebra）中將Risch算法加以摘要，篇幅超過一百頁。Risch–Norman算法（得名自 A. C. Norman）在1976年提出，速度較快但威力較小。 符號積分 积分表 不完全Γ函數 刘维尔定理 (微分代数)...

{\displaystyle b_{k}(X)=b_{n-k}(X)} 在微分幾何及微分拓撲中，所論的空間 X {\displaystyle X} 通常是閉流形，此時拓撲不變量 b k {\displaystyle b_{k}} 可以由源自流形微分結構的微分形式計算。具體言之，考慮複形 0 → A 0 ( X ) →...

近似地与化学势相关，尽管化学平衡的概念并不完全适用于描述小系统的正则系综。 平均能量 ⟨ E ⟩ = F + S T = ∂ ∂ β β F {\displaystyle \langle E\rangle =F+ST={\frac {\partial }{\partial \beta }}\beta F} 。 全微分:...

开发人员采用了基于模式匹配和特殊函数（尤其是不完全Γ函数）的启发式算法。虽然这种方法是启发式，而非算法式，但仍是解决实际工程应用遇到的许多定积分的有效方法。诸如Macsyma的早起系统有些定积分与表中的特殊函数有关，但这种方法设计特殊函数及其参数的微分、变量变换、模式匹配及其他操作，由Maple开...

y} 其中 d σ {\displaystyle \mathrm {d} \sigma } 与区域D对应，是相应积分域中的微分元。 定义积分的方法不止一种，各种定义之间也不是完全等价的。其中的差别主要是在定义某些特殊的函数：在某些积分的定义下这些函数不可积分，但在另一些定义之下它们的积分存在。然而有...

山邊（Yamabe）問題是微分幾何的問題，得名自山邊英彥。雖然山邊英彥在1960年初宣稱得到解答，他的證明中一個關鍵錯誤在1968年被尼爾·特魯丁格發現，而山邊英彥已在1960年底逝世。後來陸續由尼爾·特魯丁格、蒂埃里·奧班、理查德·舍恩研究，山邊問題在1984年得到完全解決。 給出維數 n ≥ 3...

微分拓撲學是一門學科，研究在微分流形上的可微函數，與微分幾何密切相關，並一齊組成微分流形的幾何理論。 更具體來說，微分拓撲考慮只依靠定義在流形上之光滑結構的性質與結構。可在光滑流形上附加額外的幾何結構，以用來阻礙存在於微分...

{\displaystyle \mathrm {d} x} 相比是無限小的，也就是說，超實數系統包含了一系列各不等同的無限小量。 使用超實數進行微分可以更方便的進行代數操作。在標準微分中，偏微分和高階微分不能通過代數技巧獨立操作。然而，使用超實數，可以建立這樣的系統，只是會使用稍微不同的表示法。 超實數系統另一個關鍵用途是為萊布尼茨所用的積分符號...

transition）为化学势的二阶偏微分发生突变的一类相变。相变时没有热效应和熵变，但热膨胀系数，压缩系数，比热容这三个化学势的二阶偏微分量发生突变。 二級相變或稱為『二階相變』或是『連續性相變』，主要原因是，自由能(或是其他有序參數，例如磁化強度)對溫度(或其他參數，例如磁場)的變化率(一次偏微分...

上映的美國電影，改編自西尔维亚·娜萨所撰寫的、讲述约翰·福布斯·纳什的同名传记。約翰·納許是一位患有妄想型精神分裂症的美国数学家，卻凭借其在博弈论和微分几何学等領域的重要研究，最终獲得1994年诺贝尔经济学奖、2015年数学阿贝尔奖。電影由羅素·克洛、艾德·哈里斯、珍妮佛·康納莉、克里斯托弗·普卢默...