我們可在序數上定義若干算術運算，這是對自然數運算的推廣。 給出序數 S 與 T，在 {(s,0):s ∈ S} ∪ {(t,1):t ∈ T} 定義以下的良序關係：(a,δ)<(b,β) ⇔ δ<β 或 (δ=β 而 a<b)。 假設 S 與 T 不相交，這等於考慮 S ∪ T，而 S 的元素定義為小於...

數學集合论中，序數（ordinal number，ordinal）是自然數的一種擴展，與基數相對，著重於次序的性質。大於有限數的序數也稱作超限序數。 超限序数是由數學家格奥尔格·康托尔于1897年引入，用來考慮無窮序列，並用來對具有序结构的無窮集進行分類。 自然数可以用来做两件事：描述一个集合的大小...

在數學中，首個不可數序數，傳統記之為ω1（或有時為Ω），是衆多序數當中，視為集合時不可數的最小的一個。它是所有可數序數的最小上界。ω1 作為集合有不可數多個元素，但每個元素皆為可數序數。 與任何序數相像（冯·诺伊曼的方法），ω1是一個良序集合，以集合從屬性("∈")作為序的關係。ω1是一個极限序数，意即並不存在一個α使得α + 1 = ω1。...

Mathematician", Holden-Day (San Francisico, 1967) 阿列夫数 ℶ 數 基数 不可及基数（英语：inaccessible cardinal） 无穷小 大基数 极限序数 Mahlo基数（英语：Mahlo cardinal） 可测基数 序数算术 序数 超限归纳法...

是嚴格遞減的。而標準排序運算元 < 在序數上是良基关系，一個無窮的嚴格遞減序列是不可能存在的。換句話說，每個嚴格遞減的序數序列會停止（不可能無限）。但P(m)(n) 是由 G(m)(n) 計算出來的。 G(m)(n) 也必然停止，這意味著它會達到 0 。 雖然這個證明相當簡單，但柯比-柏麗斯定理 （證明了在皮亞諾算術...

久以後，羅伯森-西摩定理給了另一個無法由 Π1 證明的定理 1-CA0。 序數分析（中文：序數分析）證實了克魯斯卡爾定理的強度，該定理的證明論序數等於小維勃倫序數（英文：小維勃倫序數）（有時與較小的阿克曼序數（英文：阿克曼序數）相混淆） ).[來源請求] 樹(3) 假設 P(n) 是這樣的語句： 存在一些...

一般的说，通过乘法、指数、重复指数等等所有这些递归定义生成极限序数。迄今为止讨论的序数仍是可数的序数；可以证明不存在递归可枚举方案来命名所有可数的序数。 超越可数的序数，首個不可數序數通常指示为 ω1。它也是极限序数。 接着你可以获得如下序数（所有这些序数在势上现在都是递增的）: ω 2 , ω 3 , …...

在數學集合論中，不可達基數是一種不可數集的基数，當中此基數並不可透過比其更小之基數的基數算術法則運算而得到，由费利克斯·豪斯多夫在1908年引入。有些數學家並不要求不可達基數為不可數，而在此情況下甚小（在無窮意義上）的阿列夫數 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} （其為可數），已經足以為不可達基數。...

4472135955\cdot (-0.61803398875)^{-n}} 可通過編程觀察斐波那契數列。分為兩類問題，一種已知數列中的某一項，求序數。第二種是已知序數，求該項的值。 可通過遞歸遞推的算法解決此兩個問題。 事實上當 n {\displaystyle n}...

越南語的序數詞一般在數字前加前綴「thứ」，這是個漢越詞，其對應的漢字是「次」。序數詞中，「1」「4」一般采用漢越系統的「nhất／一」「tư／四」，「2」有時采用漢越系統的「nhì／二」，其他數字仍多沿用純越系統數字。 此处的「兆」遵照的是其在越南语中的使用法，表示1000000。 《五經算術》：「按黃帝為法，數有十等。...

在日常交流中，基數（cardinal number，cardinal）或量數，是對應量詞的數，例如「一顆蘋果」中的「一」。與序數相對，序數是對應排列的數，例如「第一名」中的「一」及「二年級」中的「二」。 在數學集合论中，基數或势，即集合中包含的元素的「个数」（參見势的比较），是日常交流中基數的概念...

一些邏輯系統不擁有上述所有性質，比如庫爾特·哥德爾的哥德爾不完備定理證明了，沒有任何一個蘊涵皮亞諾公理的算術形式系統可以同時滿足自洽性和完備性。同時他的針對沒有通過特定公理擴展為帶有等式的算術形式系統的一階謂詞邏輯的定理，證實了它們可以同時滿足自洽性和完備性。...

一般排版符號 和號 & 星號 * @ @ 井號 # 數字符號 № 反斜线 \ 等号 = 倒感嘆號 ¡ 倒問號 ¿ 乘号 × 除号 ÷ 序數標識 º ª 百分號  % 千分號 ‰ 萬分號 ‱ 加號、減號 + − 正負號、負正號 ± ∓ 度數符號 ° 角分符号 ′  ″  ‴ 段落符号 ¶   //  ...

值得注意的是，符合哥德尔不完备定理的系统，必须要蕴涵皮亚诺算术公理以承载对第一不完备定理证明过程的编码。基本上，这就要求系统能将一些基本操作例如加法和乘法形式化，例如在鲁宾逊算术Q中那样。有一些更弱的公理系统是相容而且完备的，例如Presburger算術（英语：Presburger...

在现代集合论中，我们通常使用冯·诺伊曼基数指派，它使用序数的理论与选择公理和替代公理的全部能力。基数指派需要完全的选择公理，如果我们想要像样的基数算术和对所有集合的基數指派。 形式上，假定选择公理，一个集合 X 的势，是使得在 X 和 α 之间有双射的最小序数 α。这个定义叫做冯·诺伊曼基数指派。如果不假...

impossibility） 序数分析（英语：Ordinal analysis） 逆数学 自恰理论（英语：Self-verifying theories） 模型论 解释 结构 初等等价 有限模型（英语：Finite model theory） 飽和模型 子结构 非标准模型 算术（英语：Non-standard...

impossibility） 序数分析（英语：Ordinal analysis） 逆数学 自恰理论（英语：Self-verifying theories） 模型论 解释 结构 初等等价 有限模型（英语：Finite model theory） 飽和模型 子结构 非标准模型 算术（英语：Non-standard...

一般排版符號 和號 & 星號 * @ @ 井號 # 數字符號 № 反斜线 \ 等号 = 倒感嘆號 ¡ 倒問號 ¿ 乘号 × 除号 ÷ 序數標識 º ª 百分號  % 千分號 ‰ 萬分號 ‱ 加號、減號 + − 正負號、負正號 ± ∓ 度數符號 ° 角分符号 ′  ″  ‴ 段落符号 ¶   //  ...

consequence）和语法蕴涵（syntactic consequence）等价，但这不总是可行。（参见哥德尔不完备定理，它陈述了包含为真但不能证明的句子的一些语言（比如算术））。在这种情况下，把等价分成两部分是有用的： 演绎系统S对于语言L是完备的，当且仅当 A ⊨ L X → A ⊢ S X {\displaystyle...

'PARADOXES》，其中包括了这不是悖论和康托尔不认为这是悖论的有關探討。 因为基数是通过序数标定（indexing）而是良序的，（参见基数 (数学) § 基數序列及連續統假設），这也确立了没有最大序数；反过来，后者陈述蕴涵了康托尔悖论。通过应用这个标定到布拉利-福尔蒂悖论，我们还總結出基数们是真类而不是集合，而（至少在...

的重要性，定義了無限且有序的集合，並證明了實數比自然數更多。康托爾對這個定理所使用的證明方法，事實上暗示了“無限的無窮” 的存在。他定義了基數和序數及其算術。康托爾很清楚地自知自覺他的成果，富有極濃厚的哲學興趣。康托爾提出的超限數，最初被當時數學界同儕認為如此反直覺-甚至令人震驚-因而拒絕接受他的理...

統能夠蘊涵皮亞諾公理，就可以在系統內建構出一個其真實性和此套公理獨立的陳述。作為一個推論，哥德爾證明出一個如皮亞諾算術的理論，其相容性在理論本身之內會是一個不可證的斷言。 相信皮亞諾算術的相容性是合理的，因為它被自然數的系統所滿足－一個無限但在直覺上易被接受的形式系統。然而，直到現在，依然沒有已知的...

impossibility） 序数分析（英语：Ordinal analysis） 逆数学 自恰理论（英语：Self-verifying theories） 模型论 解释 结构 初等等价 有限模型（英语：Finite model theory） 飽和模型 子结构 非标准模型 算术（英语：Non-standard...

impossibility） 序数分析（英语：Ordinal analysis） 逆数学 自恰理论（英语：Self-verifying theories） 模型论 解释 结构 初等等价 有限模型（英语：Finite model theory） 飽和模型 子结构 非标准模型 算术（英语：Non-standard...

按《孫子算經》、《五經算術》、《數術記遺》，比萬大的數字，中國傳統使用「億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載」十字來分等。但此十字只是表示數之間大略的比較關係，並未精確指出數量級。從古至今，這十等共有四組系統：上數、中數、下數、萬進。 《五經算術》：上數、中數、下數...

倍數的分數，這些分數的計算往往類似計算百分比。隨著中世紀幣值大幅度的增長，從15世紀晚期至16世紀早期以百為分母計算變得更正式，這些計算也變成常見的算術文本。許多文本應用了收益與損失、利息以及樹狀規格的作法。在17世紀也正式引用了百分之利率。 如果原数值 a {\displaystyle a}...

一般排版符號 和號 & 星號 * @ @ 井號 # 數字符號 № 反斜线 \ 等号 = 倒感嘆號 ¡ 倒問號 ¿ 乘号 × 除号 ÷ 序數標識 º ª 百分號  % 千分號 ‰ 萬分號 ‱ 加號、減號 + − 正負號、負正號 ± ∓ 度數符號 ° 角分符号 ′  ″  ‴ 段落符号 ¶   //  ...

i\leq j\leq n} 但 σ ( i ) > σ ( j ) {\displaystyle \sigma (i)>\sigma (j)} 的有序数对 ( i , j ) {\displaystyle \left(i,j\right)} 称为 σ {\displaystyle \sigma } 的一个逆序。...

impossibility） 序数分析（英语：Ordinal analysis） 逆数学 自恰理论（英语：Self-verifying theories） 模型论 解释 结构 初等等价 有限模型（英语：Finite model theory） 飽和模型 子结构 非标准模型 算术（英语：Non-standard...

算術性質的對象。暫時可稱作「琙」（音同域）或「真類域」。如想得到一個真正的、作為集合的域，可以把構造限制在格羅滕迪克宇集中，這樣的話就得到一個集合，其基數為一種強不可達基數；又或者使用另一種形式的集合論，在其中，任何超限遞歸構造總要在可數序數（比如 ε 0 {\displaystyle...

ℵ 2 < . . . {\displaystyle \aleph _{0}<\aleph _{1}<\aleph _{2}<...} （對每一個序數 α {\displaystyle \alpha } ， ℵ α + 1 {\displaystyle \aleph _{\alpha +1}} 是第一個大於...