指數映射(英語:Exponential map)可指 抽象代數中的指數映射 (李群) 黎曼幾何中的指數映射 (黎曼幾何) 動力系統中的指數映射 (離散動力系統)(英语:Exponential map (discrete dynamical systems)) 指數函數...
319 bytes (39 words) - 23:08, 15 January 2022
f'(t)=Af(t)} 从李代数到李群的“指数映射”有着上述性质。事实上因为R是带有乘法的所有正实数的李群的李代数,实数参数的常规指数函数是李代数下的特殊情况。类似的,因为所有方块实数矩阵的李代数M (n, R)属于所有正可逆方块矩阵的李群,方块矩阵的指数函数是李代数指数映射的特殊情况。 John J O'Connor;...
20 KB (3,743 words) - 05:45, 15 July 2025
在数学定义中,单射、满射和双射是指根据其定义域和陪域的关联方式所区分的三类映射。 单射:指将不同的变量映射到不同的值的映射。 满射:指陪域等于值域的映射。即:对陪域中任意元素,都存在至少一个定义域中的元素与之对应。 双射(也称一一对应或一一映射):既是单射又是满射的映射。直观地说,一个双射映射...
7 KB (1,244 words) - 13:24, 30 November 2024
\mathbb {C} )} 这是从所有n×n矩阵的空间到一般线性群(所有非奇异方阵所组成的群)的映射。实际上,这个映射是满射,就是说每一个非奇异方阵都可以写成某个矩阵的指数。矩阵对数就是这个映射的逆映射。 对于任何两个矩阵X和Y,我们有: ‖ e X + Y − e X ‖ ≤ ‖ Y ‖ e ‖...
17 KB (3,855 words) - 15:01, 7 October 2024
轴角 (section 从 so(3) 到 SO(3) 的指数映射)
{\pi }{2}}\end{bmatrix}}} 表示旋转有很多方式。理解它们相互之间的区别和如何转换是重要的。 从旋转的轴角表示到旋转矩阵的变换使用指数映射。 exp : s o ( 3 ) → S O ( 3 ) {\displaystyle \exp \colon so(3)\to SO(3)}...
3 KB (675 words) - 09:27, 10 March 2024
在微分幾何中,指數映射是微積分中定義的指數函數在任意黎曼流形上的推廣。李群上的指數映射是一類重要的情形。 設 M {\displaystyle M} 為微分流形, ∇ : T M → T ∗ M ⊗ T M {\displaystyle \nabla :TM\to T^{*}M\otimes TM}...
3 KB (615 words) - 15:18, 18 November 2021
黎曼几何中,指數映射 exp p {\displaystyle \exp _{p}} (英語:exponential map)是由某(偽)黎曼流形 M {\displaystyle M} 切空间 T p M {\displaystyle T_{p}M} 的子集,到 M {\displaystyle M}...
2 KB (370 words) - 20:26, 15 January 2022
李群上具有唯一的实解析流形结构,使得群二元运算及逆元运算皆为解析映射。此时指数映射亦为解析映射。 G , H {\displaystyle G,H} 均为李群,二者之间的一个同态: f : G → H {\displaystyle f\,:G\rightarrow H} 为群同态并且是解析映射...
15 KB (2,786 words) - 05:18, 14 July 2025
單峰映射(英語:Logistic map)是種二次多項式的映射(遞迴關係式),是一個由簡單非線性方程式產生混沌現象的經典範例。這種映射因生物學家Robert May在1976年發表的一篇論文而著名,一定程度上是离散时间的種群/人口模型,類似於皮埃尔·弗朗索瓦·韦吕勒(英语:Pierre François...
18 KB (2,737 words) - 01:36, 23 May 2024
指数映射产生从带有加法的实数集 R {\displaystyle R} 的群到带有乘法的非零实数集 R ∗ {\displaystyle R^{*}} 的群的群同態。核是 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 而像由正实数组成。 指数映射还产生从带有加法的复数集...
7 KB (1,395 words) - 15:08, 15 July 2025
于是,斜对称矩阵A的矩阵指数,是正交矩阵R: R = exp ( A ) = ∑ n = 0 ∞ A n n ! {\displaystyle R=\exp(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}} 李代数的指数映射...
4 KB (762 words) - 03:05, 1 July 2022
光滑函数(英語:Smooth function)在数学中特指无穷可导的函数,不存在尖点,也就是说所有的有限阶导数都存在。例如,指数函数就是光滑的,因为指数函数的导数是指数函数本身。 若一函数是连续的,则称其为 C 0 {\displaystyle C^{0}} 函数;若函数存在导函数,且其導函數連續,則稱為连续可导,記为...
4 KB (747 words) - 02:19, 3 July 2025
自组织映射(SOM)或自组织特征映射(SOFM)是一种使用非監督式學習来产生训练样本的输入空间的一个低维(通常是二维)离散化的表示的人工神经网络(ANN)。自组织映射与其他人工神经网络的不同之处在于它使用一个邻近函数来保持输入空间的拓扑性质。 自组织映射中学习的目标是使网络的不同部分对输入模式有相似...
5 KB (771 words) - 03:25, 8 March 2022
)\cdot x,} 其中 exp : g → G {\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\to G} 是指数映射并且 ⋅ {\displaystyle \cdot } 表示 M 上的 G-作用。令 ι ρ ( ξ ) ω {\displaystyle \iota...
7 KB (1,157 words) - 12:15, 25 August 2023
群同态可能不是单射, 诱导拓扑可能不是实线上的标准拓扑。 这样的单参数群在李群理论具有基本重要性,其中相伴的李代数中每一个元素定义了这样一个同态,指数映射。在矩阵群的情形,它由矩阵指数给出。 另一个重要情形出现于泛函分析,G 是一个希尔伯特空间中的酉算子。参见单参数酉群的斯通定理。 鲍尔·科恩(Paul...
4 KB (602 words) - 07:37, 2 July 2024
{\displaystyle \phi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}} 是一个 F {\displaystyle F} -线性映射,使得对于所有 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 中的 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle...
10 KB (1,930 words) - 09:01, 20 February 2025
时,它才是单连通的。 任何(适宜)空间X 的通用覆盖都是单连通空间,它通过覆叠映射映射到X。 若X 和Y 是同伦等价的,且X 是单连通的,那么Y 也是单连通的。 单连通集合的图像经连续函数变换后不一定是单连通的。举个例子:复数平面经指数映射后得到 C\{0},它不是单连通的。 在單連通流形上,一次微分形式 ω...
9 KB (1,425 words) - 08:42, 14 January 2024
e^{i\theta _{1}}e^{i\theta _{2}}=e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}} 此一指數映射很明顯地是一個由R映射至T的滿射函數,但它不是單射。這個映射的核為所有2π整數倍之集合。基於第一同構定理,會有著 T ≅ R / 2 π Z {\displaystyle \mathbb...
7 KB (1,351 words) - 00:14, 11 December 2022
n2維實數李群。要得出這個結論,注意所有 n×n 實數矩陣的集合 Mn(R)形成了 n2維實向量空間。子集GL(n,R)由行列式為非零的矩陣構成。行列式是多項式映射,因此GL(n,R)是 Mn(R)的開仿射子簇(Mn(R)在扎里斯基拓扑下的非空開子集),并且因此是相同維的光滑流形。 GL(n,R)的李代數由所有...
12 KB (2,044 words) - 08:47, 12 January 2025
{\displaystyle F} 和任意 F {\displaystyle F} -向量空间 V {\displaystyle V} ,只需用线性映射代替矩阵,并用映射的复合代替矩阵乘法:这样我们可以分别得到 V {\displaystyle V} 的自同构所组成的群 G L ( V , F ) {\displaystyle...
44 KB (7,427 words) - 14:05, 16 July 2025
groups) 圓群 勞侖茲群 庞加莱群 共形群(英语:Conformal group) 微分同胚群 圈群(英语:Loop group) 欧几里得群 李代數 指数映射 李群的伴随表示 基灵型 李点对称 半單李代數 丹金图(英语:Dynkin diagram) 嘉当子代数 根系 外尔群 分裂李代数 紧李代数 群表示论...
4 KB (732 words) - 01:42, 11 December 2022
在数学领域中,李亚普诺夫指数(Lyapunov exponent)或李亚普诺夫特征指数(Lyapunov characteristic exponent)用于量化动力系统中无限接近的轨迹之间的分离率。具体而言,相空间中初始间隔 δ Z 0 {\displaystyle \delta \mathbf...
5 KB (674 words) - 22:18, 24 July 2020
={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}} 是平移群的生成元。 總結,平移群的生成元是導數算符。 在正常狀況下,通過指數映射,可以從生成元得到整個群。對於平移於空間這案例,重複地做 N {\displaystyle N} 次微小平移變換 T a / N {\displaystyle...
26 KB (4,279 words) - 15:21, 2 November 2023
\rightarrow G\psi [1-\tanh(\psi )]} 的逻辑斯蒂映射或复映射。复映射的例子是朱利亚集 f [ ψ ] = ψ 2 {\displaystyle f[\psi ]=\psi ^{2}} 或池田映射 ψ n + 1 = A + B ψ n e i ( | ψ n | 2 +...
86 KB (10,692 words) - 16:36, 4 July 2025
映射(高维到低维嵌入或反之)本身。下面介绍的技术可理解概括用于降维的线性分解法(如奇异值分解、主成分分析)。 考虑以矩阵(或数据库)表示的数据集,其中每行都代表描述某物特定实例的一组属性(或特征)。如果属性的数量很大,那么可行行空间的增长速度是指数级的(例如有 f {\displaystyle...
44 KB (6,104 words) - 08:21, 28 December 2024
{\displaystyle M} 是测地完备:对 M {\displaystyle M} 中任意点 p {\displaystyle p} ,指數映射 exp p {\displaystyle \exp _{p}} 可定义在整个切空间 T p M {\displaystyle T_{p}M} 。...
1 KB (229 words) - 20:28, 15 January 2022
groups) 圓群 勞侖茲群 庞加莱群 共形群(英语:Conformal group) 微分同胚群 圈群(英语:Loop group) 欧几里得群 李代數 指数映射 李群的伴随表示 基灵型 李点对称 半單李代數 丹金图(英语:Dynkin diagram) 嘉当子代数 根系 外尔群 分裂李代数 紧李代数 群表示论...
2 KB (352 words) - 21:00, 12 July 2022
函数列表 (section 迭代指数函数及相关函数)
三次函数 四次函数 五次函数 有理函数:两个多项式函数的比。 开方 平方根 立方根 非代数函数即为超越函数。 指数函数 双曲函数:形式上相似于三角函数。 对数函数:指数函数的反函数;用于求解指数方程。 自然对数 常用对数 二进对数 非有理次幂的幂函数: 周期函数 三角函数:正弦、余弦、正切等;主要用于几何学和描述周期现象。参阅古德曼函数。...
5 KB (720 words) - 04:34, 2 May 2025
\partial f(\phi )=f(\partial \phi )} 其中 φ 为链。边界算子和映射可交换,是因为,链基本就是一个集合,而集合操作和映射是可交换的(按照映射的定义)。 到拓扑空间X中的连续映射 f : σ → X {\displaystyle f:\sigma \rightarrow X}...
15 KB (2,162 words) - 16:41, 3 July 2025
{\displaystyle i:G\to G} (逆),使之滿足群論所要求的公理。 可以將代數群設想為李群的代數幾何版本,代數群一樣有切空間及李代數,卻沒有指數映射(某些冪零群除外);李群可以表成 R {\displaystyle \mathrm {R} } -代數群的覆疊空間。 代數群的典型例子包括 G L...
3 KB (438 words) - 15:01, 13 October 2024
的。与之对比地说,黎曼几何中的等距必须保持黎曼曲率张量,这是黎曼流形的一个局部不变量。而且,辛流形上任何函数 H 定义了一个哈密顿向量场 XH,其指数映射为哈密顿微分拓扑的单参数群。从而辛同胚群总是非常大的,无穷维。另一方面,黎曼流形的等距群总是一个(有限维)李群。进一步,具有大对称群的黎曼流形是非常特别的,一般黎曼流形没有非平凡对称。...
5 KB (820 words) - 06:37, 11 March 2024