控制李亞普諾夫函數（control-Lyapunov function）是在控制理论中，針對動態系統及控制輸入的李亞普諾夫函數。 原始的李亞普諾夫函數是要判斷动力系统是否穩定（更嚴格的要求是漸近穩定），也就是說，系統若啟始條件是在某一區域D中的狀態 x ≠ 0 {\displaystyle x\neq...

李雅普诺夫函数（Lyapunov function）是用來證明一動力系統或自治微分方程穩定性的函數，得名於俄罗斯數學家亞歷山大·李亞普諾夫，在动力系统穩定性理論及控制理論中相當重要。相似的概念见于一般状态空间马尔科夫链理论中，通常称为福斯特-李雅普诺夫函数（Foster–Lyapunov function）。...

在数学和自动控制领域中，李雅普诺夫稳定性（英語：Lyapunov stability，或李亞普诺夫稳定性）可用來描述一個动力系统的穩定性。如果此动力系统任何初始條件在 x 0 {\displaystyle x_{0}} 附近的軌跡均能維持在 x 0 {\displaystyle x_{0}} 附近，那么该系统可以称为在...

{\displaystyle A} 的共轭转置。而連續李亞普諾夫方程則是 A X + X A H + Q = 0 {\displaystyle AX+XA^{H}+Q=0} 李亞普諾夫方程應用在控制理論中的許多分支中，例如稳定性分析及最优控制。李亞普諾夫方程是得名自俄羅斯數學家亞歷山大·李亞普諾夫。 在以下的定理中， A ,...

回授線性化 以及李亞普諾夫系列的方法： 李亞普諾夫再設計 控制李亞普諾夫函數 非線性阻尼（Nonlinear damping） 反演控制 滑動模式控制 早期有一個由Anatoliy Isakovich Lure（英语：Anatoliy Lure）提出的非線性回授系統分析問題。 Lur問題描述的控制...

李亞普諾夫再設計（Lyapunov redesign）是非線性控制中的技術，利用有關對動力系統李亞普諾夫函數 V {\displaystyle V} 的知識來設計可穩定系統的狀態回授控制器。考慮以下系統 x ˙ = f ( t , x ) + G ( t , x ) [ u + δ ( t , x ...

Artstein定理指出一动态系統有可微分的控制李亞普諾夫函數的充份必要條件是存在穩定回授（stabilizing feedback）： u ( x ) {\displaystyle u(x)} . 也就是對於以下的系統 x ˙ = f ( t , x ) + G ( t , x ) u {\displaystyle...

普拉斯轉換得到傳遞函數。对于不能线性化的非线性（如继电器）可以使用相平面法求解系统响应，也可使用描述函数法近似求解极限环的频率与振幅。 傳遞函數也稱為系統函數或網路函數，是一個數學表示法，用時間或是空間的頻率來表示一個線性常係數系統中，輸入和輸出之間的關係。 控制理论中常用方塊圖來說明控制理论的內容。...

成，但其有效的輸出會在連續的運動範圍內擺動。若是使用其他具有連續特性的非線性控制設計可以避免這類的問題。有些情形下，滑動模式控制的設計可以用其他連續控制器來近似。 以下定理是滑動模式控制的基礎。 考慮以下的李亞普諾夫候選函數 其中 ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|{\mathord {\cdot...

另一種較強的敏感依赖性，涉及系統的最大李亚普诺夫指数。 李亞普諾夫指數代表著兩個軌跡發散速率（rate of divergence）長時間的平均值。在既有的文獻中，有研究學者，使用下列數學式子: exp(Lt) 來說明兩個軌跡收縮或發散的特性。這裡，指數函數的參數L代表李亞普諾夫指數。當L是負的，指數函數...

在原點處有李雅普诺夫稳定性，可以用某種已知的控制方式 u x ( x ) {\displaystyle u_{x}(\mathbf {x} )} 使得 u x ( 0 ) = 0 {\displaystyle u_{x}(\mathbf {0} )=0} 。並且假設針對此穩定子系統，可以其李亞普諾夫函數 V...

性或是不穩定性，已發展出許多不同的準則。在較理想的情形下，此問題可以簡化成一個已有相當多研究，和矩阵特征值有關的問題。另一種更通用的方式會用到李亞普諾夫函數。在實務上，會用到許多的稳定性判据。 許多微分方程的質性理論以及動態系統的類似理論都在處理其解及軌跡的漸近性質－若經過足夠長的時間，系統會怎麼...

{\displaystyle u\cdot y} 是單位時間輸入系統的能量。 此表示方式和李雅普诺夫稳定性有很強的關係，在系統有特定可控制性及可觀察性的條件時，儲存函數可以作為李雅普诺夫函數。 簡單來說，耗散理論可以用來設計線性及非線性系統的回授控制。耗散系統理論是由V.M. Popov、J.C. Willems、D.J...

{\displaystyle \|u\|<\varepsilon } 可以讓系統在該狀態下的李亞普諾夫函數對時間的微分為負定。 簡單來說，小控制信號特性是指考慮任意小的控制信號，只要起始狀態和系統原點的距離夠近，該控制信號都可以讓系統漸近穩定。 Andrea Bacciotti; Lionel Rosier...

函數的數列，最終會收斂到積分方程的解，也就是初值問題的解。這種建構法稱為「皮卡法」或是「連續近似法」，是巴拿赫不动点定理的一個特例。 日本數學家岡村博（日语：岡村博）找到一個初值問題有唯一解的充分必要條件，其條件是要證實系統的李亞普諾夫函數存在。 有些情形，函數ƒ不是光滑函数，甚至不是利普...

控制量要維持在上限或是下限。 對於一些控制問題，起停式控制可能是最佳解，不過也有些控制問題用起停式控制的原因是此方法最簡單方便，最容易實現。 歐拉-拉格朗日方程 雙設定點控制 最优控制 鲁棒控制 滑模控制 向量测度 向量测度中的李亞普諾夫定理 加速-滑行（英语：Pulse...

系統，因為這些變數表示實際的物理量，而這些物理量（如濃度、水位、高度等）不會為負值。 正向系統在控制系統的設計中相當重要。例如漸近穩定的正向线性时不变系统可以使用對角二次的李亞普諾夫函數，這在李亞普諾夫分析上的數值追蹤性更好。 在狀態觀測器設計中也需考慮系統是否是正向系統，因為一般的狀態觀測器（例...

transformations），主要是小增益定理來找性能及強健性的範圍。 單一二次李亞普諾夫函數（SQLF） 參數相依二次李亞普諾夫函數（PDQLF），限制其可達到的性能水準。 這些問題的解法是重新將控制設計轉換為有限維凸函数的可行性問題（可以有準確的結果），若是無限維的可行性問題，可以用近似的方式求解。...

二階和高階非線性常微分方程組的解幾乎無法表示成解析解，反而較常表為隐函数或非初等函数積分的形式。 分析常微分方程常用的方法包括： 檢查是否有任何守恆量（特別是在處理哈密頓系統的時候）。 檢查有沒有類似守恆量的耗散量（見李亞普諾夫函數）。 利用泰勒展開式作線性近似。 利用變數變換法，改寫成較易分析的方程。...

ISS-李亞普諾夫函數是驗證輸入-狀態穩定性時的重要工具。 光滑函數 V : R n → R + {\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} _{+}} 是系統(1)的ISS-李亞普諾夫函數，若 ∃ ψ 1 , ψ 2 ∈...

的狀態變數向量，u 是 k × 1 的控制變數向量，A 是 n × n 的狀態遞移矩陣，B 是 n × k 的控制係數矩陣，Q (n × n) 是對應半正定狀態损失函数矩陣，R (k × k) 是對應正定的控制損失函數矩陣。 從最後時間往前的推導可以找到每一個時間的最佳控制解 u t ∗ = − ( B T...

)=(p_{1}(\omega ),p_{2}(\omega )).} 李亞普諾夫定理在經濟學、(砰砰)控制論、統計理論（英语：Statistical theory）皆有應用。李亞普諾夫定理是沙普利-福克曼引理的連續版，而沙普利-福克曼引理是李亞普諾夫定理的離散類比。 Starr (1969) Howe (1979，第1頁)...

在向量测度的理論中，李亞普諾夫（英语：Alexey Lyapunov）的定理提到non-atomic 向量测度的值域是闭集及凸集 。而且non-atomic 向量测度的值域是高维环面（zonoid，是闭集及凸集，是環帶多面體收斂序列的極限）。李亞普諾夫定理有用在数理经济学、起停式控制的控制理论及統計理論（英语：statistical...

equation，DE）是一種數學方程，用來描述某一類函数與其导数之间的关系。微分方程的解是一個符合方程的函數。而在初等数学的代数方程裡，其解是常数值。 微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力為速度函數的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。...

是上述方程的最小特征值，也和弦振動的基本模式（英语：fundamental mode）有關。一種讓弦振動的方式是提供弦能量，能量會滿足維廷格函數不等式，其中提到若函數 f : [ 0 , 1 ] → C {\displaystyle f:[0,1]\rightarrow \mathbb {C} } 使得...

器建立了一个数学模型，研究反馈系统的稳定性问题，提出了控制领域最早的数学理论。 1892年，李雅普诺夫发表了博士论文《论运动稳定性的一般问题（俄语：Общая задача об устойчивости движения）》，提出了李雅普诺夫稳定性理论。 继电器逻辑随着工业电气化诞生，从1900...

1609年：意大利科學家伽利略展示了人類歷史上第一架按照科學原理制造出來的望遠镜。 1680年：普韦布洛起义中反抗的普韦布洛人占领了西班牙殖民者城市圣菲。 1716年：第七次奥威战争中，威尼斯援军的抵达迫使奥斯曼帝国放弃了克基拉岛的包围攻势，保下了威尼斯共和国对伊奥尼亚群岛的控制。 1770年：詹姆斯·库克宣布建立新南威尔士州，将东澳大利亚并入大不列颠王国领土。...

混沌系统的实例 蔡氏電路 單峰映象 若斯叻吸引子 其他相关主题 条件数 適定性問題 分形 朱利亞集 曼德博集合 涌现 非線性 聖菲研究所 复杂 人物 迈克尔·贝里 蔡少棠 愛德華·諾頓·勞侖次 亞歷山大·李亞普諾夫 本華·曼德博 儒勒·昂利·庞加莱 詹姆士·约克 随机性 分岔 决定论 非决定论 因果律 自由意志...

Koenig (programmer)）与比雅尼·斯特劳斯特鲁普）也与斯特潘诺夫协同工作。他们亦发现自定义分配器甚至有应用于长生命周期（持续存储）的标准模板库容器的潜力，斯特潘诺夫对此的评论则是“重要而有趣的见解”。 在原有的提案里的分配器设定中，斯特潘诺夫杂糅了一些语言特性（如可将模板参数也定义为模板），但...

及值 y {\displaystyle y} 。直到19世紀末，「變數」這一詞幾乎都被用來指函數的參數及值。 19世紀下半葉，人們發覺無窮小微積分的基礎似乎不夠形式化，不足以處理像是處處不可微之連續函數這類自相矛盾的問題。為了解決此類問題，卡爾·魏爾斯特拉斯引入了新的定義，以取代之前對極限的直觀概念。對極限，舊的概念描述「當「變數」...

控制。 1918年：德意志帝國與協約國於瓦兹省簽訂《康边停战协定》，标志着德國投降，第一次世界大战於當日结束。 1918年：波蘭政治家约瑟夫·毕苏斯基被任命為軍隊總司令，隨後宣布波蘭第二共和國正式獨立。 1918年：奧匈帝國皇帝卡爾一世宣布退位。 1919年：拉脫維亞獨立戰爭中，拉脱维亚...