数值线性代数（英語：numerical linear algebra），又稱應用線性代數（英語：applied linear algebra）是一门研究在计算机上进行线性代数计算，特别是矩阵运算算法的学科，是數值分析的一個分支。计算机用浮点数运算，无法精确表示无理数数据，因此计算机算法应用于数据矩阵...

线性代数既是纯数学也是应用数学的核心。例如，放宽向量空间的公理就产生抽象代数，也就出现若干推广。泛函分析研究无穷维情形的向量空间理论。线性代数与微积分结合，使得微分方程线性系统的求解更加便利。线性代数的理论已被泛化为算子理论。 线性代数...

即指示为O（n）的正交群，它和它的子群广泛的用在数学和物理科学中。例如，分子的点群是O（3）的子群。因为浮点版本的正交矩阵有有利的性质，它们是字数值线性代数中很多算法比如QR分解的关键，通过适当的规范化，离散余弦变换（用于MP3压缩）可用正交矩阵表示。 下面是一些小正交矩阵的例子和可能的解释。 [ 1...

在线性代数中，一个矩阵 A {\displaystyle A} 的列秩是列向量生成的最大线性无关组的向量个数。类似地，行秩是矩阵 A {\displaystyle A} 的线性无关的横行的个数。矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵 A {\displaystyle A} 的秩（Rank）。通常表示为...

{\displaystyle \Vert A^{-1}\Vert \cdot \Vert A\Vert } , 在任何自洽的矩阵范数中。这个数字经常在数值线性代数中出现，因而单独有个名字，称为矩阵条件数： κ ( A ) = ‖ A − 1 ‖ ⋅ ‖ A ‖ . {\displaystyle \kappa...

在线性代数中，基（拉丁語：basis，又稱基底）是向量空间裡某一群特殊的向量（称为基向量），使得向量空间中的任意向量，都可以唯一地表示成基向量的线性组合（或線性組合的極限）。 通过基底可以直接地描述向量空间 V {\displaystyle \mathrm {V} } 上定义的线性映射 f {\displaystyle...

在数值线性代数中，吉文斯旋转（英語：Givens rotation）是在两个坐标轴所展开的平面中的旋转。吉文斯旋转得名于华莱士·吉文斯，他在1950年代工作于阿贡国家实验室时把它介入到数值分析中。 吉文斯旋转表示为如下形式的矩阵 G ( i , j , θ ) = [ 1 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮...

reflection），最初由A.C Aitken在1932年提出。阿尔斯通·斯科特·豪斯霍尔德在1958年指出了这一变换在数值线性代数上的意义。这一变换将一个向量变换为由一个超平面反射的镜像，是一种线性变换。其变换矩阵被称作豪斯霍尔德矩阵，在一般内积空间中的类比被称作豪斯霍尔德算子（英语：Householder...

在线性代数中，循环矩阵是一种特殊形式的 Toeplitz矩阵，它的列向量的每个元素都是前一个列向量各元素依次右移一个位置得到的结果。由于可以用离散傅立叶变换快速解循环矩阵，所以在数值分析中有重要的应用。 形式为 C = [ c 0 c n − 1 ⋯ c 2 c 1 c 1 c 0 c n − 1 c...

在线性代数中，三角矩阵（英語：triangular matrix）是方形矩阵的一种，因其非零系数的排列呈三角形状而得名。三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。上三角矩阵的对角线左下方的系数全部为零，下三角矩阵的对角线右上方的系数全部为零。 三角矩阵可以看做是一般方阵的一种简化情形。比如，由于带三角矩...

高斯－赛德尔迭代（Gauss–Seidel method）是数值线性代数中的一个迭代法，可用来求出线性方程组解的近似值。该方法以卡爾·弗里德里希·高斯和路德维希·赛德尔（英语：Philipp Ludwig von Seidel）命名。 对于一个含有n个未知量及n个等式的如下线性方程组 a 11 ⋅ x...

高斯消去法（英語：Gaussian Elimination）是线性代数中的一个算法，可以把矩阵转化为行阶梯形矩阵。高斯消去法可用來為線性方程組求解，求出矩陣的秩，以及求出可逆方陣的逆矩陣。 高斯消去法最早出现在中国数学典籍《九章算术》第八章〈方阵〉中，尽管书中未对其提供正式的证明。该方法在十八道题目...

在数值线性代数中，雅可比法（Jacobi Method）是一种解对角元素几乎都是各行和各列的绝对值最大的值的线性方程组的算法。求解出每个对角元素并插入近似值。不断迭代直至收敛。这个算法是雅可比矩阵的精简版。方法的名字来源于德国数学家卡尔·雅可比。 给定一个n×n的线性方程组 A x = b {\displaystyle...

在所有工程及科學的領域中都會用到数值分析。像天體力學研究中會用到常微分方程，最優化會用在投資組合管理中，數值線性代數是資料分析中重要的一部份，而隨機微分方程及馬可夫鏈是在醫學或生物學中生物細胞模擬的基礎。 在電腦發明之前，数值分析主要是依靠大型的函數表及人工的內插法，但在二十世...

陈汉夫（英語：Raymond Chan Hon-fu，1958年—），男，数学家，大學教授，研究領域為数值线性代数与图像处理。現任嶺南大學學術暨教務副校長兼林文贊科學計算講座教授，曾任香港城市大学副校長（學生事務），香港城市大学理学院院长及數學系講座教授，香港中文大学数学系系主任（2012年－2018年）。...

在数值线性代数中，雅可比旋转是 n 维内积空间的二维线性子空间的旋转 Qkℓ，在用做相似变换的时候，被选择来置零 n×n 实数对称矩阵 A 的非对角元素的对称对: A ↦ Q k ℓ T A Q k ℓ = A ′ . {\displaystyle A\mapsto Q_{k\ell }^{T}AQ_{k\ell...

線性代數中，科列斯基分解（英語：Cholesky decomposition 或 Cholesky factorization）是指將一個正定的埃爾米特矩陣分解成一個下三角矩陣與其共軛轉置之乘積。這種分解方式在提高代數運算效率、蒙特卡羅方法等場合中十分有用。實數矩陣的科列斯基分解由安德烈-路易·科...

BLAS（英語：Basic Linear Algebra Subprograms，基础线性代数程序集）是一个应用程序接口（API）标准，用以规范发布基础线性代数操作的数值库（如矢量或矩阵乘法）。该程序集最初发布于1979年，并用于建立更大的数值程序包（如LAPACK）。在高性能计算领域，BLAS被广泛使用。例如，...

实际上由于不同的数值稳定性可能会得到不同的结果。数值稳定性的一项任务就是选择強健（robust，即有良好数值稳定性）的算法。 在数值线性代数中经常使用前向、后向以及混合稳定性的概念。 假设要用数值算法解决的问题是用函数 f {\displaystyle f} 将数据 x {\displaystyle...

数值线性代数中，矩阵分裂（matrix splitting）是一种将给定矩阵表为多个矩阵和或差的表示。很多迭代法（如解微分方程组的）都依赖于直接求解比三对角矩阵更一般的矩阵的方程，若将其分裂，通常可以更高效地求解。这项技术由Richard S. Varga（1960）发明。 解矩阵方程...

LINPACK是一个在数字计算机上执行数字线性代数的软件函式庫。它由Jack Dongarra、Jim Bunch、克里夫·莫勒尔及Gilbert Stewart以Fortran编写，并计划在二十世纪七十年代及八十年代早期于超级计算机上使用。它很大程度上已被在现代架构上运行更高效的LAPACK取代。...

ACE于1950年5月10日，第一次正式试运行成功。 威尔金森的主要贡献是在数值计算领域，尤其是在数值线性代数方面，发现很多有意义的算法。1960年，他在研究矩阵计算误差时而提出“向后误差分析法（英语：backward error analysis）”，目前是计算机上各种数值计算最常用的误差分析手段。...

线性代数中的正交化指的是：从内积空间（包括常见的欧几里得空间）中的一组线性无关向量v1，...，vk出发，得到同一个子空间上两两正交的向量组u1，...，uk。 如果还要求正交化后的向量都是单位向量，那么称为标准正交化。 一般在数学分析中采用格拉姆-施密特正交化作正交化的计算。在编程计算时，格拉姆...

数值分析 作为收敛和渐近级数的泰勒级数的应用 利用自動微分运算微分 利用有限差运算微分 图论集 凭借泰勒级数和理查森外推法进行高阶微分逼近 均匀网格上的积分方法：矩形法、梯形法、中点法和辛普森積分法 龙格－庫塔法解常微分方程 蒙特卡洛方法 分子动力学 数值线性代数 用高斯消元法运算LU因子...

在线性代数與数值分析中，LU分解是矩阵分解的一种，将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，有时需要再乘上一个置换矩阵。LU分解可以被視為高斯消去法的矩陣形式。在数值计算上，LU分解經常被用来解线性方程组、且在求逆矩阵和计算行列式中都是一個關鍵的步驟。 對於方阵 A {\displaystyle...

在数值线性代数中，共轭梯度法是一种求解对称正定线性方程组 A x = b {\displaystyle {\boldsymbol {Ax}}={\boldsymbol {b}}} 的迭代方法。共轭梯度法可以从不同的角度推导而得，包括作为求解最优化问题的共轭方向法的特例，以及作为求解特征值问题的Arnoldi/Lanczos迭代的变种。...

gradient method），是求解系数矩阵为对称正定矩阵的线性方程组的数值解的方法。共轭梯度法是一个迭代方法，它适用于系数矩阵为稀疏矩阵的线性方程组，因为使用像Cholesky分解这样的直接方法求解这些系统所需的计算量太大了。这种方程组在数值求解偏微分方程时很常见。 共轭梯度法也可以用于求解无约束的最優化问题。...

数学和理论物理中，'超代数指的是Z2-分次代数。也就是说，它是交换环或域上的代数，可以分解为“奇偶”两部分，并有对次数进行运算的乘法算子。 “超”来自理论物理中的超对称。超代数及其表示（超模）为超对称提供了代数框架。对这类对象的研究有时也被称作超线性代数。超代数在相关的超几何领域也发挥着重要作用，它们进入了分次流形、超流形和超概形。...

ballot theorem）。 离散化关注将连续模型或等式转化为离散形式的过程，通常是基于简化计算的目的。数值分析是离散化一个重要实例。 很多的连续数学概念都有离散数学的版本，例如: 離散微積分 离散概率分布 离散傅里叶变换 离散几何 离散对数 離散微分幾何...

常微分方程数值方法是用以寻找常微分方程（ODE）解的数值近似值的方法。其使用也称作“数值积分”，不過「数值积分」主要是指积分的计算。 很多微分方程无法精确求解。但在工程学等领域的实际应用中，通常只需得到数值近似解。本文介绍的算法可用于计算这种近似值，另一种方法是用微积分技术得到解的级数展开表达。...

高斯-若尔当消元法（英語：Gauss-Jordan Elimination），是數學中的一種算法，也是高斯消元法的另一個版本。它在線性代數中用於求出線性方程組的解，其方法與高斯消去法相同。而兩者之間的唯一相異之處就是這種算法所產生的矩陣是一個简化型阶梯形矩阵，而不是高斯消元法中的行阶梯形矩阵。相比高...