數值微分是數值方法中的名詞，是用函數的值及其他已知資訊來估計一函數導數的演算法。 最簡單的方式是使用有限差分近似。 簡單的二點估計法是計算經過(x,f(x))及鄰近點(x+h,f(x+h))二點形成割線的斜率選擇一個小的數值h，表示x的小變化，可以是正值或是負值。其斜率為 f ( x + h ) −...

數值分析中會用有限個梯形的面積和來近似無限個梯形的面積和，此時就會出現截尾誤差。若要對一個函數進行微分，其微分量需要趨近於0，但實務上只能選擇很小的微分量。 數值穩定性是數值分析中一個重要的主題。若一演算法中不論什麼原因產生了誤差，此誤差不會在運算中明顯增加，此演算法為數值...

微分学（英語：Differential calculus）是微積分学的一部份，是通过导数和微分来研究曲线斜率、加速度、最大值和最小值的一门学科，也是探討特定數量變化速率的學科。微分学是微積分的二個主要分支之一。 微分学主要研究的主題是函數的導數、相關的標示方式（例如微分...

函数的微分（英語：Differential of a function）是指对函数的局部变化的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。 微分在数学中的定义：由 y {\displaystyle y} 是 x {\displaystyle x} 的函数(...

PID控制器（比例-积分-微分控制器），由比例单元（Proportional）、积分单元（Integral）和微分单元（Derivative）组成。可以透過調整這三個單元的增益 K p {\displaystyle K_{p}} ， K i {\displaystyle K_{i}} 和 K d {\displaystyle...

數值天氣預報，或稱數值天氣預測、天气数值预测、數值預報，是一种根据大气的数学模型，包含一連串的偏微分、物理及化學公式，利用当前的氣壓、溫度、風速、濕度作为输入数据而作出天气预报的方式，為現代天气预报之主流。尽管早在1920年代时已有人作出过尝试并取得一定成果，但直到计算机模拟出现之后，数值...

弹性是指价格变化一个单位时，需求量的变化，连续化后相应的也是需求函数关于价格的导数。 导数列表 微积分 微分 積分 光滑函数 微分中值定理 介值定理 自动微分 第二次数学危机 协变导数 数值微分 发现于费马1637年的手稿《求最大值和最小值的方法》 徐森林; 薛春华. 《数学分析（第一册）》. 清华大学出版社...

使用差分的兩個重要的缺點是捨棄誤差及數值化過程和相消誤差。此兩者傳統方法在計算更高階微分時，都有複雜度及誤差增加的問題。自動微分則解決上述的問題。 自動微分使用這個事實：任何實作一個向量函數 y=F(x)的電腦程式，一般而言，可以被分解成由基本指定運算所成的序列，而其中每一個都可以藉由查表而輕易地微分。這些計算某一特定項的...

在数值分析中，數值積分（英語：Numerical integration）是计算定積分数值的方法和理论。在数学分析中，给定函数的定積分的计算不总是可行的。许多定积分不能用已知的積分公式得到精确值。数值积分是利用黎曼积分等数学定义，用数值逼近的方法近似计算给定的定积分值。借助于电子计算设备，数值积分可以快速而有效地计算复杂的积分。...

微積分學也称為微分积分学（拉丁語：Calculus），主要包括微分學和積分學两个部分，是研究極限、微分、積分和無窮級數等的一個數學分支。本質上，微積分學是一門研究连续變化的學問。 微積分學在科學、商學和工程學領域皆有廣泛的應用，並成為了現代大學教育的重要组成部分，用於有效解决一些僅以代數學和幾何學無法處理的問題。...

數列最重要的性質是收斂，若簡單的做非正式的定義，一數列若存在極限，表示此數列收斂。若繼續下非正式的定義，一個無窮數列an，若在n非常大時接近一數值x，則稱此數列有極限，而其極限為x，因此極限也可以視為是數列趨向的數值。因此針對數列an，當n → ∞時，an和x之間的距離會趨近於0： lim n → ∞ a n = x . {\displaystyle...

conjecture）等等。 在進行數值計算的目的下，封閉形式不是必需的，而很多極限跟積分都可有效率地進行運算。像代表三體問題或基於電導模型（英语：odgkin–Huxley model）等這些方程式並無封閉解，因此這些系統的未來狀態必須以數值運算。 一些軟體可嘗試從數值...

在一些計算物理的電腦模擬軟體中，像是數值天氣預報、分子動力學、飛行模擬器、油層模擬法（英语：reservoir simulation）、隔音屏障設計、建筑声学及电子电路仿真等應用中，積分器是可以用離散步驟計算積分的數值方法。 機械積分器是機械式微分分析器（英语：differential analyser）的關鍵元件，微分...

上的線性代數、抽象代數等；概率方面以測度論為基礎，與實分析關係密切；應用數學方面有常微分方程、偏微分方程、數值分析等；並且有「高等數學」不會觸及到的很多方向，如幾何和拓撲方面，有曲綫與曲面的微分幾何、點集拓撲等；其他方面還有初等數論、圖論、組合數學、數理邏輯等。研究生程度則有更多20世紀以後所發展出...

数学上，微分拓扑的外微分算子，把一个函数的微分的概念推广到更高阶的微分形式的微分。它在流形上的积分理论中极为重要，并且是德拉姆上同调和Alexander-Spanier上同调中所使用的微分算子。其现代形式是由嘉当发明的。 一个k阶的微分形式的外微分是一个k+1阶的微分形式。 对于一个k-形式ω = ΣI...

在某一点的全微分（英語：total derivative）是指该函数在该点附近关于其自变量的最佳线性近似。与偏微分不同，全微分反映了函数关于其所有自变量的线性近似，而非单个自变量。 全微分可視為單變數函數的微分在多變數函數上的推廣：单变量函数的全微分与其微分的定義相同；而多變數函數在某點的全微分...

微分代數方程（英语：differential algebraic equation）（DAE）是包括自變數微分項的方程，但是為自變數微分項的隱函數。 微分方程的理論和差分方程的理論有密切的關係，後者的座標只允許離散值，許多計算微分方程數值解的方法或是對於微分方程性質的研究都需要將微分方程的解近似為對應差分方程的解。 動力學中的牛頓第二運動定律...

下表列出使用有限差分法进行数值微分时，各项的系数。按计算中自变量取值方向，分为中心差分，前向差分和后向差分。 中心差分估算一阶至高阶微分按照下式： f ( n ) ( x ) = 1 h x n ∑ i = − m m k i f ( x + i h ) + O ( h x p ) {\displaystyle...

数学中，流形 M 上一个向量值微分形式（vector-valued differential form）是 M 上取值于一个向量空间 V 的微分形式。更一般地，它是取值于 M 上某个向量丛 E 的微分形式。通常的微分形式可以视为 R-值微分形式。向量值微分形式是微分几何中的自然对象并有广泛的应用。 设Μ是一个光滑流形，...

对数微分法（英語：Logarithmic differentiation）是在微积分学中，通过求某函数f的对数导数（英语：Logarithmic derivative）来求得函数导数的一种方法， [ ln ⁡ ( f ) ] ′ = f ′ f → f ′ = f ⋅ [ ln ⁡ ( f ) ] ′...

数值稳定性和收敛性，由这种插值过程产生的函数就是多项式样条函数。 样条函数的研究始于20世纪中叶，到了60年代它与计算机辅助设计相结合，在外形设计方面得到成功的应用。样条理论已成为函数逼近的有力工具。它的应用范围也在不断扩大，不仅在数据处理、数值微分、数值积分、微分方程和积分方程数值...

計算物理學（英語：Computational physics）是研究如何使用數值方法分析可以量化的物理学問題的学科。 历史上，计算物理学是计算机的第一项应用；目前计算物理学被视为计算科学的分支。 计算物理有时也被视为理论物理的分支学科或子问题，但也有人认为计算物理与理论物理与实验物理联系紧密，又相对独立，是物理学第三大分支。...

( a ) b − a {\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}} 中值定理包括微分中值定理和积分中值定理。 微分中值定理分为罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，内容粗略的说是指平面上一段固定端點的可微曲线，兩端點之中必然有一点，它的斜...

可微分编程是一种编程范型，在其中数值计算程序始终可通过自动微分来求导数。这允许了对程序中的参数的基于梯度优化（英语：Gradient method），通常通过梯度下降。可微分编程广泛用于各种领域，特别是科学计算和人工智能。 多数可微分编程框架是通过构造包含程序中的控制流和数据结构的图来进行工作的。各种尝试一般可归入两组之中：...

算法设计是大学中的一门课程，它属于工学的基础课程。它是数值计算方法的较浅近的版本。 误差的来源 模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差(计算误差) 绝对误差 相对误差 有效数字 误差的传播 选用标准 优劣的比较 对分法 迭代法 牛顿法(切线法) 高斯消去法 主元素消去法 三角分解法 简单迭代法 赛德尔迭代法...

數值（一般是定義域的下限，所以稱為初值問題）。 例如獨立變數是時間，定義域為[0,1]，边值问题的條件會是 y ( t ) {\displaystyle y(t)} 在 t = 0 {\displaystyle t=0} 及 t = 1 {\displaystyle t=1} 時的數值，而初值问题的條件會是...

通常以2為底，而微分熵為計算方便，常以 l n {\displaystyle ln} 計算後再轉換為 l o g 2 {\displaystyle log_{2}} 的結果。微分熵與夏農熵最大的不同點在於 f X ( x ) {\displaystyle f_{X}(x)} 可為大於1的數值，此時可能會造成...

在数学中，偏导数（英語：partial derivative）的定義是：一個多變量的函数（或稱多元函數），對其中一個變量（導數）微分，而保持其他变量恒定。 偏导数的作用与价值在向量分析和微分几何以及机器学习领域中受到广泛认可。 函数 f {\displaystyle f} 关于变量 x {\displaystyle...

解一阶IVP的数值方法可分为两大类：线性多步法（英语：Linear multistep method）与龙格-库塔法。还可进一步划为显式或隐式，例如隐式线性多步法包括亚当斯-莫尔顿法（Adams-Moulton methods）与向后微分公式（英语：Backward differentiation...

微分的线性（linearity of differentiation）、线性法则（rule of linearity）、或微分的叠加法则。导数的基本属性是将两个简单的微分法则封装在一起：求和法则（两个函数之和的导数是导数的和）和常数法则（函數的常數倍的導數是該函數的導數的常數倍）。因此，可以说微分...

理學等其他科學中，應用數學的發展是以科學為依據，作為科學研究的後盾。包括線性代數、矩陣理論、向量分析、複變分析、微分方程、拉普拉斯變換、傅里葉分析、數值分析、概率论、數理統計、運籌學、博弈論、控制理論、組合數學、資訊理論等許多數學分支，也包括從各種應用領域中提出的數學問題的研究。而大部分應用數學是以...