曲线的微分几何是几何学的一个分支，使用微分与积分专门研究平面与欧几里得空间中的光滑曲线。 从古代开始，许多具体曲线已经用综合方法深入研究。微分几何采取另外一种方式：把曲线表示为参数形式，将它们的几何性质和各种量，比如曲率和弧长，用向量分析表示为导数和积分。分析曲线最重要的工具之一为 Frenet...

微分幾何研究微分流形的幾何性質，是現代數學中的一主流研究方向，也是廣義相對論的基礎，與拓撲學、代數幾何及理論物理關係密切。 古典微分几何起源于微积分，主要内容为曲线论和曲面论。歐拉、蒙日和高斯被公认为古典微分几何的奠基人。近代微分几何的创始人是黎曼，他在1854年创立了黎曼几何（实际上黎曼提出的...

在初等三维曲线的微分几何中，一条曲线的挠率（torsion，或译扭率）度量了其扭曲的程度，即偏离平面曲线的程度。空间曲线的曲率和挠率在一起，与平面曲线的曲率类似。例如，他们都是弗勒内标架的微分方程组中的系数，由弗勒内-塞雷公式给出。 设 C 是一条用弧长参数 s {\displaystyle s} 给出的空间曲线，单位切向量为...

切向量是一个沿着曲线或曲面在给定点的方向： 曲线的微分几何，描述了 Rn 中的曲线的切向量； 切空间，流形理论中的一般概念。...

代数几何（英語：algebraic geometry）是数学的一个分支，经典代数几何研究多项式方程的零点。现代代数几何将抽象代数，尤其是交换代数，同几何学的语言和问题结合起来。 代数几何的基本研究对象为代数簇。代数簇是由空间坐标的若干代数方程的零点集。常见的例子有平面代数曲线...

這是微分几何主題列表： 曲線話題列表（英语：List of curves topics） 弗莱纳公式 曲线的微分几何 線素（英语：Line element） 曲率 曲率半徑（英语：Radius of curvature (mathematics)） 密切圓（英语：Osculating circle）...

number）是描述三维空间中两条闭曲线环绕的一个数值不变量。直观上，环绕数表示每一条曲线缠绕另一条曲线的次数。环绕数总是整数，但有可能取正数或负数，取决于这两条曲线的定向。 环绕数由高斯以环绕积分的形式引入。它在纽结理论、代数拓扑和微分几何的研究中是重要的对象，并在数学和科学中有许多应用，包括量子力学、电磁学以及 DNA超螺旋的研究。...

的雅可比矩陣即為該函數在該點的最佳線性逼近，也代表雅可比矩陣是單變數實數函數的微分在向量值多變數函數的推廣，在這種情況下，雅可比矩陣也被稱作函數 f 在點 x 的微分或者導數。 在代数几何中，代数曲线的雅可比行列式表示雅可比簇（英语：Jacobian variety）：伴随该曲线的一个代數群，曲线可以嵌入其中。...

辛几何（英語：Symplectic geometry），也叫辛拓扑（英語：Symplectic topology），是微分几何的一个分支。其研究對象為辛流形，亦即带有闭非退化2-形式的微分流形。辛拓扑源于经典力学的哈密顿表述，其中特定经典系统的相空间有辛流形的结构。...

在微分几何中，扭率或稱挠率此一概念是刻画沿着曲线移动的标架的扭曲或螺旋的方法。例如曲线的挠率，出现在弗莱纳公式中，量化了一条曲线变化时关于它的切向量的扭曲程度（更确切的说弗莱纳标架关于切向量的旋转）。在曲面的几何中，“测地挠率”描述了曲面关于曲面上一条曲线的扭曲。相伴的曲率概念度量了沿着曲线的活动标架“没有扭曲的转动”。...

几何体弯曲程度的量；直观地说，曲率是曲线偏离直线的量（程度），或是曲面偏离平面的量（程度）。 在不同的几何学领域中，曲率的具体定义不完全相同。曲率可分为外在曲率和内蕴曲率，二者有重要的区别。前者的定义需要把几何体嵌入到欧氏空间中，后者则是直接定义在黎曼流形上。 曲线的...

在微分几何中，曲率半径R是曲率的倒数。 对于曲线上一点，曲率半径等于最贴近该点曲线的圆弧半径。 对于曲面上一点，曲率半径是最贴合该点的法向截面或其组合的圆弧半径。 对于空间曲线，曲率半径是曲率矢量的长度。 对于平面曲线，则曲率半径是曲线上固定一点的弧长的微分与切角的微分之比的绝对值 R = | d...

theorem），是微分几何中关于微分形式的积分的定理，因為維數跟空間的不同而有不同的表現形式，它的一般形式包含了向量分析的几个定理，以乔治·加布里埃尔·斯托克斯爵士命名。 设 S {\displaystyle S} 是分片光滑的有向曲面， S {\displaystyle S} 的边界为有向闭曲线 Γ {\displaystyle...

函数的微分（英語：Differential of a function）是指对函数的局部变化的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。 微分在数学中的定义：由 y {\displaystyle y} 是 x {\displaystyle x} 的函数(...

微分学（英語：Differential calculus）是微積分学的一部份，是通过导数和微分来研究曲线斜率、加速度、最大值和最小值的一门学科，也是探討特定數量變化速率的學科。微分学是微積分的二個主要分支之一。 微分学主要研究的主題是函數的導數、相關的標示方式（例如微分）以及其應用。函數在特定點的...

积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出，因此习惯上我们常见的积分也称为“黎曼积分”。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分区间上的各种类型的函数的积分。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。 对积分概念的...

解析几何（英語：Analytic geometry），又稱為坐标几何（Coordinate geometry）或卡氏幾何（Cartesian geometry），早先被叫作笛卡兒几何，是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支。解析几何通常使用二维的平面直角坐标系研究直线、圆、圆锥曲线...

的瞬時變化率（導數或微商）。換言之，計算導數的方法就叫微分學。微分學的另一個計算方法是牛頓法，該算法又叫應用幾何法，主要通過函數曲線的切線來尋找點斜率。費馬常被稱作「微分學的鼻祖」。 微分学研究的是一个函数的导数的定义，性质和应用。求出导数的过程被称为求导。给定一个函数和定义域内的...

derivative）的定義是：一個多變量的函数（或稱多元函數），對其中一個變量（導數）微分，而保持其他变量恒定。 偏导数的作用与价值在向量分析和微分几何以及机器学习领域中受到广泛认可。 函数 f {\displaystyle f} 关于变量 x {\displaystyle x} 的偏导数写为 f x...

在解析几何和微分学中，曲线的渐近线（英語：asymptote）是一条使得当 x {\displaystyle x} 或 y {\displaystyle y} 坐标之一或两者趋于无穷大时，曲线与该线之间的距离接近零的线。在射影几何和相关上下文中，曲线的渐近线是在无穷大点处与曲线相切的线。...

calculus）是數學的一个分支，主要研究在3维欧几里得空间 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 中向量場的微分和积分。「向量分析」有时也用作多元微积分的代名词，其中包括向量分析，以及偏微分和多重积分等更广泛的问题。 向量分析在微分几何与偏微分方程的...

(1906–1998) —— 代数几何 哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特 (1907–2003) —— 多胞形的理论，非欧几里得几何， 射影几何 陈省身 (1911–2004) —— 微分几何 让-路易·科斯居尔 (1921–) 本華·曼德博 (1924–2010) —— 分形几何 野水克己 (1924–2008)...

平面上的闭曲线关于某个点的卷绕数（Winding number），是一个整数，它表示了曲线绕过该点的总次数。卷绕数与曲线的定向有关，如果曲线依顺时针方向绕过某个点，则卷绕数是负数。 卷绕数在代数拓扑中是基本的概念，在向量分析、复分析、几何拓扑、微分几何和物理学中也扮演了重要的角色。...

微分几何学家，對20世紀的數學和物理有龐大的影響。德国国家科学院院士、中央研究院院士，同时是英国科学院、意大利猞猁之眼国家科学院、法国皇家学会和中国科学院的外籍院士。陈省身是20世纪世界最重要的微分几何学家之一、也是最有影响力的数学家之一，曾长期担任加州大学伯克利分校、芝加哥大学数学教授。...

(t)} 可以描述质点的运动。在力学裏，位置向量常被用来跟踪质点、粒子、或刚体的运动。 微分几何用位置向量函数来描述连续性可微分曲线，其独立参数可以是时间，角度，或曲线径长。 在线性代数裏，位置向量可以表達为基向量的线性组合。 直角坐标系： r = x i ^ + y j ^ {\displaystyle...

椭圆曲线的形狀不是椭圆。命名為椭圆曲线的原因是此曲线原來和椭圆函数有關。在拓扑学上，複數的椭圆曲线是环面，而複數的椭圆會是球面。 尽管椭圆曲线的正式定义需要一定的代数几何背景，在实数上的椭圆曲线的一些特征可以使用入门级别的代数与几何来描绘。 这种情况下，椭圆曲线是由下列方程定义的平面曲线： y 2 = x 3 + a x + b {\displaystyle...

{f(b)-f(a)}{b-a}}} 中值定理包括微分中值定理和积分中值定理。 微分中值定理分为罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，内容粗略的说是指平面上一段固定端點的可微曲线，兩端點之中必然有一点，它的斜率與連接兩端點的直線斜率相同（严格的数学表达参见下文）。 當提到均值定理時在沒有特別說明下一般指拉格朗日均值定理。...

。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度:155。 导数是函数的局部性质。不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导(可微分)，否则称为不可导(不可微分)。如果函数的自变量和取值都是实数的话，那么函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在這一点上的切线斜率。...

曲線的微分幾何上互為表裡的概念。若曲線A是曲線B的漸伸線，曲線B是曲線A的漸屈線。 在曲線上選一定點S。有一動點P由S出發沿曲線移動，選在P的切線上的Q，使得曲線長SP 和直線段長PQ 相同。漸伸線就是Q的軌跡。 若曲線B有參數方程 r : R → R n {\displaystyle...

{T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}.} 其中的矩阵是反对称矩阵。 对弧长s求导，可以看成是对切方向的协变导数。 曲线仿射几何 曲线微分几何 达布标架 运动学 Kühnel 2002，§1.9 Crenshaw, H.C.; Edelstein-Keshet...

在微分几何中，在曲面给定点的两个主曲率（principal curvatures）衡量了在给定点一个曲面在这一点的不同方向怎样不同弯曲的程度。 在曲面上取一点 E {\displaystyle E} ，曲面在 E {\displaystyle E} 点的法线为z轴，过z轴可以有无限多个剖切平面，每个...