在数学中，如果在某个集合 X {\displaystyle X} 上定义的具有实数或复数值的某个函数 f {\displaystyle f} 的值域是有界集合，则函数 f {\displaystyle f} 被称为有界的（或有界函数）。换句话说，存在实数 M > 0 {\displaystyle M>0} ，使得对于集合...

有界可以指： 有界集合 有界函数 有界变差 有界算子 有界格...

{\displaystyle e^{it\Delta }} 。 这里的「范围」是指允许的函数类型。博雷尔函数演算比连续函数演算更通用，其侧重点也不同于全纯函数演算。 更准确地说，博雷尔函数演算允许将任意博雷尔函数作用于一个自伴算子，同时对于多项式函数有与多项式函数演算一样的行为。 设 T {\displaystyle T} 是有限维内积空间...

的子集是有界的。但是， S {\displaystyle S} 可以是在字典序下有界，而不关于欧几里得距离有界。 序数的类被称为是无界的，或共尾的，在给定任何序数的时候，总是有这个类的某个成员大于它。所以在这种情况下，“无界”不意味着自身是无界的而是作为序数类的子类是无界的。 完全有界空间 局部有界性 有界函数...

R} 或 R n {\displaystyle R^{n}} 上的每一个概率分布都有特征函数，因为我们是在有限测度的空间上对一个有界函数进行积分，且对于每一个特征函数都正好有一个概率分布。 一个对称概率密度函数的特征函数（也就是满足 f X ( x ) = f X ( − x ) {\displaystyle...

} 。 有界線性算子一般不會是有界函數；後者需要對所有的v，L(v)的範數是有界的，但這只有在Y 為零向量空間時才有可能。然而，有界線性算符為局部有界函數。 一個線性算子為有界的，若且唯若其為連續的。因此有界线性算子也被称为连续线性算子。 任何在兩個有限維度賦範空間之間線性算符皆是有界的，且此類算符可以被視為某些固定矩陣的乘積。...

极值定理强化了有界性定理，它表明函数不仅是有界的，而且它的最小上界就是最大值，最大下界就是最小值。 我们来证明f 的上界和存在最大值。把这个结果应用于函数–f，也可推出f 的下界和存在最小值。 我们首先证明有界性定理，它是证明极值定理中的一个步骤。 假设函数f在区间[a,b]内連續且没有上界，那么对于每一个自然数n，都存在[a...

S型函数（英語：sigmoid function，或稱乙狀函數）是一種函数，因其函數圖像形状像字母S得名。其形狀曲線至少有2個焦點，也叫“二焦點曲線函數”。S型函数是有界、可微的实函数，在实数范围内均有取值，且导数恒为非负，有且只有一个拐点。S型函数和S型曲线指的是同一事物。 逻辑斯谛函数是一种常见的S型函数，其公式如下：...

函数存在的时候，累積分佈函數是概率密度函数的积分。概率密度函数有时也被称为概率分布函数，但这种称法可能会和累积分布函数(CDF)或概率质量函数(PMF)混淆。一般来说，PMF 用于离散随机变量（在可数集上取值的随机变量），而 PDF 用于连续随机变量。 对于一维实随机变量X，设它的累积分布函数是...

累积分布函数（英語：cumulative distribution function，CDF）或概率分布函数，简称分布函数，是概率密度函數的积分，能完整描述一個實随机变量 X {\displaystyle X} 的概率分佈。 在標量連續分佈的情況下，它給出了從負無窮到 x {\displaystyle...

\mathrm {d} t} 兩個相異的可積函數，只有其在勒貝格測度為零的集合上具有不同的值時，才會有相同的拉普拉斯变换。因此以轉換的角度而言，存在其反轉換。包括可積分函數在內，拉普拉斯变换是单射映射，將一個函數空間映射到其他的函數空間。典型的函數空間包括有界連續函數、函數空間L∞(0, ∞)、或是更廣義，在...

有界的连续函数 f {\displaystyle f} ，其中 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 。容易验证这些函数在通常加法和数乘下构成一个向量空间，记作 M ϵ {\displaystyle {\mathcal {M}}_{\epsilon }} 。这些函数...

有界變差（英語：Bounded variation）是函數的一個性質，它指的是總變差為有限的函數。 有界變差的理論對黎曼－斯蒂尔杰斯积分有相當的用處。 設 Δ f ( x i ) = f ( x i ) − f ( x i − 1 ) {\displaystyle \Delta...

在數學中，解析函数（英語：Analytic function）是局部上由收斂冪級數給出的函數。解析函數可分成實解析函數與複解析函數，兩者有類似之處，同時也有重要的差異。两种类型的解析函数都是无穷可导的，但复解析函数表现出一些一般实解析函数不成立的性质。此外在超度量域上也可以定義解析函數...

雙曲函數示意圖 在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是雙曲正弦函数 sinh {\displaystyle \sinh } 和雙曲餘弦函数 cosh {\displaystyle \cosh } ，从它们可以导出双曲正切函数 tanh {\displaystyle...

有界空间都是有界的。但逆命题不成立，因为任何无限集合均可給定其离散度量(上面第一个例子)，使得該空間是有界的，但不是完全有界的。 須注意，在討論實數空間的區間及歐氏空間的區域時，有時會將有界集合指為「有限區間」或「有限區域」。不過，有界性與「有限」之間一般並無關連；有限通常意含著有界，但反之不一定成立。...

元关系。低洼“μy”，在无界和有界形式下，都是从自然数 { 0, 1, 2, . . . } 到自然数的“数论函数”。但是，“μy”包含在谓词被满第三代 有界μ算子最早出现在 Kleene（1952年）书中的“第4章原始递归函数，§45 谓词，素因子表示”中：大幅度 “μyy<zR(y)。最小的 y < z 使得 R(y)，如果...

（此即「雙週期」的含義）。 全純橢圓函數的绝对值应恒小于某个正数，因此该函数有界，而根據複分析中的刘维尔定理，有界的全纯函数只能是常數函數，故非常數的橢圓函數必帶極點，或者说，椭圆函数是亚纯函数。下文中讨论椭圆函数的性质时，不将常函数视为椭圆函数。 一般的椭圆函数的导数仍为椭圆函数。 椭圆函数...

\Gamma \,} 函数（伽瑪函數；Gamma函数），是階乘函數在實數與複數域上的擴展。如果 n {\displaystyle n} 為正整數，則： Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!} 根据解析延拓原理，伽瑪函數可以定義在除去非正整數的整個複數域上：...

一般最常見的方式是限制餘切函數的定義域在0到π（180°）之間，如下圖所示（以紅色曲線表示），此時反餘切函數不是奇函数也不是偶函数，而是一個單調遞減的有界函數，最大值為 π {\displaystyle \pi } （180°）、最小值為0且函數連續，但有兩條漸近線。 另外一種定義方式是限制餘切函數的定義域在 ±...

任一紧致度量空间都是完备的。实际上，一个度量空间是紧致的当且仅当该空间是完备且完全有界的。 完备空间的任一子空间是完备的当且仅当它是一个闭子集。 若X为一集合，M是一个完备度量空间，则所有从X映射到M的有界函数f的集合B(X, M)是一个完备度量空间，其中集合B(X, M)中的距离定义为： d (...

则表示从0开始算起，到1为止，称为积分范围或积分域，其中0称为积分下界，1称为积分上界， ∫ {\displaystyle \int } 叫做积分号，是从拉长的字母S演变过来的。函数 x {\displaystyle {\sqrt {x}}} 写在中间，称为被积函数。 改进的方法是用更多的小方框来将函数图象“覆盖”，如右图中的做法，就是将坐标轴横轴[0...

b\right]}\left|f(x)\right|} ，稱之為最小上界範數。上述範數是良好定義的，因為定義於閉區間的連續函數都是有界的。 若f 為一個定義於閉區間上的連續函數，則此函數為有界的，並其定義如上的最小上界可由極值定理取得，因此可以用最大值來取代最小上界。在此例之中，其範數也稱為「最大值範數」。 上述空間也可推廣至由所有連續函數X →...

贝塞尔函数（Bessel functions），是数学上的一类特殊函数的总称。通常单说的贝塞尔函数指第一类贝塞尔函数（Bessel function of the first kind）。一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数 y ( x ) {\displaystyle...

在数理逻辑和计算机科学中，递归函数或μ-递归函数是一类从自然数到自然数的函数。直觉上递归函数是"可计算的"。事实上在可计算性理论中已经证明了它确实是图灵机的可计算函数。递归函数与原始递归函数相关，而且递归函数的归纳定义（见下）建立在原始递归函数之上。但不是所有递归函数都是原始递归函数——其中最著名的是阿克曼函数。...

导数是函数的局部性质。不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导(可微分)，否则称为不可导(不可微分)。如果函数的自变量和取值都是实数的话，那么函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在這一点上的切线斜率。 对于可导的函数 f {\displaystyle...

正交函数列。则数列 { f n / ‖ f n ‖ 2 } {\displaystyle \left\{f_{n}/\Vert f_{n}\Vert _{2}\right\}} 是L2-范数的函数，形成了一个正交数列。一个有定义的L2-范数，积分必须有界，这限制了函数需要是平方可积函数。 几组正交函数...

{d} x} 。 定义在任意有界n维集合上的函数的黎曼和可以通过将函数延拓到一个半开半闭矩形上来求出，其取值在原来的定义域之外为0。然后，原来的函数的积分就定义为延展的函数在矩形区域中的积分（如果存在的话）。 下文中n维黎曼积分简称多重积分。 多重积分具有很多与单变量函数...

整函数（英語：Entire function）是在整个复平面上全纯的函数。典型的例子有多项式函数、指数函数、以及它们的和、积及复合函数。每一个整函数都可以表示为处处收敛的幂级数。而对数函数和平方根都不是整函数。 整函数 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 的阶可以用上极限定义如下：...

如果这个函数定义在一个有界区域内，则还要检查局域的边界点。如果函数在定义域内存在不可导点，则这些不可导点也可能是极值点。 函数 x 2 {\displaystyle x^{2}} 有惟一最小值，在x = 0　处取得。 函数 x 3 {\displaystyle x^{3}}...

在数学中，特别是在算子理论和C*-代数理论中，连续函数演算是一种允许将连续函数作用于C*-代数中的正规元的函数演算。 在进阶的理论中，这种函数演算的应用非常自然，以至于往往它甚至不会被提及。毫不夸张地说，连续函数演算将C*-代数与更一般的巴拿赫代数区分了开来，对于后者只能定义全纯函数演算。 对于巴拿赫代数 A {\displaystyle...