椭圆型偏微分方程（英語：Elliptic partial differential equation）是一类二阶線性偏微分方程，形式为： A u x x + 2 B u x y + C u y y + D u x + E u y + F u + G = 0 {\displaystyle...

双曲型偏微分方程在物理中常常指一类二阶偏微分方程，但其在数学上有更广义的定义。另外，与双曲型偏微分方程一起被提起的常有椭圆型偏微分方程和抛物型偏微分方程。 一个比较普适的双曲型偏微分方程形式是： A u x x + B u x y + C u y y + D u x + E u y + F u +...

偏微分方程数值方法是数值分析的一个分支，研究如何得到偏微分方程(PDE) 的数值解。 一般来说，对于双曲型方程、 抛物型方程或椭圆方程都有专门的数值方法。   在这种方法中，函数由它们在某些网格点处的值表示，并通过这些值的差分来近似导数。 有限元法 (FEM)是一种数值技术，用于寻找微分方程...

{\displaystyle f} 是特征函数。 在光学中，亥姆霍兹方程是一个描述电磁波的椭圆偏微分方程；在量子力学中，亥姆霍兹方程应用于描述波函数的传播和干涉。 亥姆霍兹方程通常出现在涉及同时存在空间和时间依赖的偏微分方程的物理问题的研究中，例如波动方程或薛定谔方程。 考虑波动方程： ( ∇ 2 − 1...

抛物型偏微分方程是一类二阶偏微分方程，描述自然科学中广泛的问题，包括热能的扩散以及布莱克-斯科尔斯模型。这些问题，通常被称为演化问题。数学上，具有以下形式的偏微分方程 A u x x + 2 B u x y + C u y y + ⋯ = 0 {\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+\cdots...

（其中y為應變數）為二階微分方程，其解為贝塞尔函数。 偏微分方程（PDE）是指一微分方程的未知數是多個自變數的函數，且方程式中有未知數對自變數的偏微分。偏微分方程的階數定義類似常微分方程，但更細分為橢圓型、雙曲線型及拋物線型的偏微分方程，尤其在二階偏微分方程中上述的分類更是重要。有些偏微分方程...

数值分析中，交替方向隐式法（Alternating direction implicit method）是有限差分法的一种，用于求解抛物线型偏微分方程或椭圆型偏微分方程。特别适用于求解二维及更高维度的热传导方程与扩散方程。 求解热传导方程在传统上使用Crank-Nicolson方法，该方法较为耗时。A...

φ = f {\displaystyle \Delta \varphi =f} ， 则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型微分方程。偏微分算子 ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} 或 Δ {\displaystyle \Delta }...

椭圆算子是数学偏微分方程理论中的一类微分算子，它是拉普拉斯算子的泛化。椭圆算子定义为所有最高阶导数的系数为正的微分算子，这意味着算子没有实的特征方向。 椭圆算子是典型的位势论，并且它们频繁地出现在静电学和连续介质力学中。椭圆算子的正则性意味着它的解通常是光滑函数（如果算子的系数是光滑的）。双曲（英语：Hyperbolic...

次椭圆型算子是数学偏微分方程中的微分算子。开集 U ⊂ R n {\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}} 中的偏微分算子 P {\displaystyle P} 被称为次椭圆型算子，如果对开子集 V ⊂ U {\displaystyle V\subset U}...

热传导方程（或稱熱方程）是一個重要的偏微分方程，它描述一個區域內的溫度如何隨時間變化。 熱傳導在三維的各向同性介質裡的傳播可用以下方程式表達： ∂ u ∂ t = d i v ( U u ) = k ( ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 ) = k (...

入定理，這數個定理指出任何抽象的黎曼流形可以看成一個歐幾里得空間的子流形而保持距離不變。他也對非線性拋物偏微分方程和奇異點理論貢獻不斐。 纳什曾研究著名的希爾伯特第十九問題，即一类橢圓型偏微分方程的正则性问题。这个问题曾在世纪初得到初步证明，但距离完全证明还有差距。在1956年時，纳什在普林斯顿大学...

泊松方程（法語：Équation de Poisson）是數學中一個常見於靜電學、機械工程和理論物理的偏微分方程式，因法國數學家、幾何學家及物理學家泊松而得名的。 泊松方程式為 Δ φ = f {\displaystyle \Delta \varphi =f} 在這裡 Δ {\displaystyle...

偏微分方程。其名称源于莱昂哈德·欧拉与弗朗切斯科·特里科米。 欧拉－特里科米方程的表达式为 u x x + x u y y = 0. {\displaystyle u_{xx}+xu_{yy}=0.\,} 当x > 0时该方程为椭圆型，x = 0时为抛物线型，x < 0时则为双曲型。其特征线为...

在數學中，阿蒂亞-辛格指標定理斷言：對於緊流形上的橢圓偏微分算子，其解析指標（與解空間的維度相關）等於拓撲指標（決定於流形的拓撲性狀）。它涵攝了微分幾何中許多大定理，例如陳-高斯-博内定理和黎曼－罗赫定理，在理論物理學中亦有應用。 此定理由邁克爾·阿蒂亞與艾沙道尔·辛格於1963年證出。 X 是緊微分流形。...

{\displaystyle G(z,x)=0} 。 狄利克雷问题是典型的椭圆型微分方程、位势论和拉普拉斯方程。其他例子包括双调和方程（英语：Biharmonic equation）以及弹性理论中相关方程。 狄利克雷问题是在边界上给出信息的偏微分方程问题中一类，其他类型包括诺伊曼问题和柯西问题。 A. Yanushauskas...

20世纪80年代和90年代，先后应邀到意大利佛罗伦萨大学、罗马大学和美国西北大学访问讲学，在国际偏微分方程研究领域处于前列。 2004年退休。2019年8月11日在北京逝世，享年80岁。 陈亚浙; 吴兰成. 《二阶椭圆型方程与椭圆型方程组》. 科学出版社. 1991年4月. ISBN 9787030021335. ...

拉普拉斯算子有許多用途，此外也是椭圆算子中的一個重要例子。 拉普拉斯算子出现描述许多物理现象的微分方程裡。例如，常用於波方程的數學模型、熱傳導方程、流体力学以及亥姆霍茲方程。在靜電學中，拉普拉斯方程和泊松方程的應用隨處可見。在量子力學中，其代表薛丁格方程中的動能項。 拉普拉斯算子是最简单的椭圆...

卡门方程是一个模拟平板变形的四阶椭圆型非线性偏微分方程组： Δ Δ ( u ) = a ( ( w x y ) 2 − w x x w y y ) {\displaystyle \Delta \Delta (u)=a((w_{xy})^{2}-w_{xx}w_{yy})} Δ Δ ( w ) = b...

亨特 - 萨克斯顿方程(Hunter–Saxton equation)是一个模拟向列型液晶中波动传播的非线性偏微分方程： ( u t + u u x ) x = 1 2 u x 2 {\displaystyle (u_{t}+uu_{x})_{x}={\frac {1}{2}}\,u_{x}^{2}}...

Stiefel（英语：Eduard Stiefel）分別獨立的發現，但當時對其本質以及應用都還有誤解。數學家要到1970年代才瞭解此方法應用在偏微分方程上的效果也很好，特別是在橢圓型偏微分方程。 数学主题 解析解 迭代 迭代函数 逼近 数值分析 非线性最小二乘法 求根算法 Amritkar, Amit; de Sturler...

费希尔方程（Fisher equation），是由生物学家罗纳德·艾尔默·费希尔于1936年为了研究人群中某基因的传播，以及逻辑型的生长-扩散现象而引入的一个非线性偏微分方程。此方程可以描述一些在生物学和化学系统中出现的波的传播现象，例如燃烧、扩散和传质、非线性扩散、生态学以及反应堆中的中子数量等等。费希尔方程可写成以下形式:...

Лады́женская] 错误：{{Lang-xx}}：无效参数：|a=（帮助），1922年3月7日—2004年1月12日），俄罗斯数学家。她主要对于偏微分方程（特别是希尔伯特第十九问题）与流体力学有着重大贡献。奥莉加给出了NS方程有限差分法收敛的严格证明，也证明了二维NS方程的整体适定性。她是伊万·彼...

在數學中，雙調和方程是一個四階偏微分方程式，出現在連體力學，包括線性彈性理論和史托克流的解。寫成 ∇ 4 φ = 0 {\displaystyle \nabla ^{4}\varphi =0} {\displaystyle } 或 ∇ 2 ∇ 2 φ = 0 {\displaystyle \nabla...

HJE 是经典哈密顿量一个正则变换，经过该变换得到的结果是一个一阶非线性偏微分方程，方程式之解描述了系统的行为。与哈密顿运动方程的不同之处在于 HJE 是一个偏微分方程，每个变量对应于一个坐标，而哈密顿方程是一个一阶线性方程组，每两个方程对应于一个坐标。HJE 可以漂亮地解析一些重要问题，例如开普勒问题。...

核函數（英语：Positive-definite kernel）理論及其在實分析和複分析中的應用；或 橢圓型偏微分方程式理論中的函數論方法，特別關注伯格曼方法和相關算子方法。 史特凡·伯格曼在數學譜系計畫的資料。 O'Connor & Robertson，Stefan...

冯康、黄鸿慈等人开展了椭圆型方程计算方法的系统研究。在大量计算实践的基础上, 冯康进行了系统的理论分析及总结提高, 通过把变分原理与剖分逼近有机结合, 把传统上对立而各具优点的差分法与能量法辨证统一, 扬长抑短, 推陈出新, 一举克服了上述两方面的困难, 于1964年独创了数值求解偏微分方程的有限元方法,...

格拉德－沙弗拉诺夫方程为理想等离子体中用角向磁通描述等离子体平衡的方程。该方程最初的形式为二维的，但也可以通过一维格拉德－沙弗拉诺夫方程来描述一维螺旋磁镜位形的等离子体平衡。 Δ ∗ ψ = − μ 0 R 2 d p d ψ − 1 2 d F 2 d ψ {\displaystyle \Delta...

姜礼尚祖籍苏州吴县，1935年10月出生于上海。于1954年毕业于北京大学数学系，并在北京航空学院开始了他的教学生涯。1957年春，他回到北京大学，成为周毓麟的研究生，专攻偏微分方程。他于1961年在北京大学完成学业，并留校任教至1986年。之后，他先后在苏州大学和同济大学任教，1989–1996年间担任苏州大学校长。1988–2001年任Journal...

Q径向基函数的一些数学理论可以参见以下文献 。 Kansa方法广泛应用于计算科学。中Kansa方法用于求解椭圆型、双曲型和抛物型三类偏微分方程。Kansa近来也应用于求解各类常微分和偏微分方程，包括两相和三相混合模型的组织工程问题，冲击波下的一维非线性Burger方程，潮汐和海流模拟中的浅水方程...

{\displaystyle x^{2}y''+bxy'+cy=0} （其中 b , c {\displaystyle b,c} 是常數）的二階變係數常微分方程。 觀察可知 y = x r {\displaystyle y=x^{r}} 是一個特定解： 0 = x 2 y ″ + b x y ′ + c y...