模態代數提供了命題模態邏輯的模型，以和布爾代數是經典邏輯的模型相同的方式。特別是，所有模態代數的簇是在抽象代數邏輯意義下的模態邏輯 K 的等價代數語義，并且它的子簇們的格對偶同構於正規模態邏輯的格。 Stone布爾代數表示定理可以推廣為 Jónsson–Tarski對偶性，它確保了每個模態代數...

模态逻辑，或者叫内涵逻辑（不很常见），是對諸如“可能”“或许”“可以”“一定”“必然”等情態詞彙表示的狀態進行的判斷。例如天空是蓝色的”和“ 2 + 2 = 4 {\displaystyle 2+2=4} ”是真的，但是“天空的颜色必然是蓝色”是假的，而“ 2 + 2 = 4 {\displaystyle...

因此，模同向量空間一樣是加法交换群；在環元素和模元素之間定義了乘積運算，并且環元素和模元素的乘積是符合結合律的和分配律的。 模與群的表示論密切相關。模也是交換代數和同調代數的中心概念，并廣泛地應用于代數幾何和代數拓撲中。 假設 R {\displaystyle R} 是環(ring)且 1 R ∈ R {\displaystyle...

在抽象代数中，内部代数是采用了集合的拓扑内部概念的特定类型的代数结构。内部代数之对于拓扑和模态逻辑 S4 如同布尔代数之对于集合论和普通命题逻辑。内部代数形成了模態代數的一个簇。 内部代数是带有如下标识(signature)的代数结构< S, ·, +, ', 0, 1, I >，其中< S, ·,...

在下表中，左列包含一個或多個邏輯或數學系統，它是在右列展示的代數結構構成的模型。這些結構要么是布爾代數要么是它的嚴格擴展。模態邏輯和其他非經典邏輯典型是“帶有算子的布爾代數”所構成的模型。 代數形式主義在至少以下方面超越了一階邏輯: 組合子邏輯，有集合論的表達能力； 關係代數，可論證為典范代數邏輯，它可以表達皮亞諾算術和多數公理化集合論，包括正規的...

抽象代数（英語：Abstract algebra）作为数学的一门学科，主要研究对象是代数结构，比如群、环、域、模、向量空间、格與域代数。「抽象代數」（abstract algebra）一詞出現於20世紀初，作為與其他代數領域相區別之學科。 代數結構與其相關之同態，構成數學範疇。範疇論是用來分析與比較不同代數結構的強大形式工具。...

在理論物理學中，BPS態大多代表擴充的超對稱代數中、超對稱中心荷Z的質量表現。以量子力學的角度詮釋，若沒有發生對稱性破缺，則其質量必等於Z的模。它在古典真空的模空間中扮演審查的角色，並解決了許多模的問題。 對於帶有中心荷的粒子態，代數結構蘊涵著物理關係 m≧|Q|，即質量將大於中心荷的絕對值。若粒子態是短表示的話，該關係取臨界情形m=|Q|...

保持序列的正合性；若此函子還是忠實函子，則稱之為忠實平坦模 域上的向量空間都是平坦模。自由模或更一般的射影模也是平坦模。对于一个局部諾特環上的有限生成模，平坦性、射影性與自由性三者等價。 自塞爾的論文《代數幾何與微分幾何》以降，平坦性便在同調代數與代數幾何中扮演重要角色。其幾何意義甚深，詳見條目平坦態射。 當 R {\displaystyle...

在數學中，交換環上的代數或多元環是一種代數結構，上下文不致混淆時通常逕稱代數。 本頁面中的環都是指有單位的環，並使用么環一詞表示則是不一定有單位的環。 給定一個交換環 A {\displaystyle A} 。 給定一個四元組 ( E , + , . , × ) {\displaystyle (E,+...

在範疇論中，函子是範疇間的一類映射。函子也可以解釋為小範疇範疇內的態射。 函子首先現身於代數拓撲學，其中拓撲空間的連續映射給出相應的代數对象（如基本群、同調群或上同調群）的代數同態。在當代數學中，函子被用來描述各種範疇間的關係。「函子」（英文：Functor）一詞借自哲學家魯道夫·卡爾納普的用語。...

在交換代數中，一個環 R {\displaystyle R} 上的投射模是自由模的推廣，它有多種等價的定義；就幾何的觀點，投射模之於自由模一如向量叢之於平凡向量叢。在範疇論的語言中，投射模可以推廣為一個阿貝爾範疇中的投射對象。 投射模首見於昂利·嘉當與塞繆爾·艾倫伯格的重要著作 Homological...

{\displaystyle Y} 上的运算。 每类代数结构有它的同态。特定的定义参看： 群同态 环同态 模同态 线性算子（向量空间上的同态） 代数同态 同态的概念在研究所有代数结构共有的思想的泛代数中可以给一个形式化的定义。这个情况下，同态 ϕ : A → B {\displaystyle \phi...

在數學裡，結合代數是指一向量空間(或更一般地，一模)，其允許向量有具分配律和結合律的乘法。因此，它為一特殊的代數。結合代數，是一種代數系統，類似於群、環、域，而更接近於環。仿照由實數來構造複數的方法，可用複數來構造新的數。 一於體K上的結合代數A的定義為一於K上的向量空間，其K-雙線性映射A × A...

在數學裡，尤其是在群論、環與模理論、同調代數及微分幾何等數學領域中，正合序列（或釋作正合列或恰當序列）是指一個由對象及其間的態射所組成的序列，該序列中的每一個態射的像都恰好是其下一個態射的核。正合序列可以為有限序列或無限序列。 正合序列於同調代數中居於核心地位，其中特別重要的一類是短正合序列。 在群論裡，一個由群及群同態所組成的序列...

Verma模（Verma module）是李代數表示理論中的基本研究對象，其名取自Daya-Nand Verma。Verma模之間的態射相應於旗流形上的不變微分算子。 可用Verma模來證明以下命題：最高權為 λ {\displaystyle \lambda } 的最高權表示的維數有限，若且僅若 λ...

在數學中，代數幾何與解析幾何是兩個關係密切的學科。代數幾何研究代數簇，在複數域上，同時也能以複分析及微分幾何的技術研究代數簇。讓-皮埃爾·塞爾在1956年的同名論文中比較了這兩種觀點。在 SGA 第一冊附錄中，則以概形論的語言重新表述。 給定一個 C {\displaystyle \mathbb {C}...

{\displaystyle f:X\to Y} 是左 R {\displaystyle R} -模的單射， g : X → Q {\displaystyle g:X\to Q} 為同態，則存在同態 h : Y → Q {\displaystyle h:Y\to Q} 使得 h ∘ f = g {\displaystyle...

泛代数，也称普适代数学（英語：Universal algebra），研究通用於所有代數結構的理論，而不是代數結構的模型。舉個例子，並不是將特殊的個別的群作為個體分別來學習，而是將整個群論的理論作為學習的主題。 從泛代数角度來看，代數是擁有一組運算元的集合A。在A上的n元運算是以n個A的元素為輸入並...

在同調代數中，蛇引理是構造長正合序列的關鍵工具，此引理在任何阿貝爾範疇中皆成立。依此構造的同態通常稱作連結同態。 考慮一阿貝爾範疇 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} （例如阿貝爾群或模的範疇）中的交換圖： 使得每一橫列均為正合序列。此時存在一個聯繫 a , b , c...

數學中的頂點算子代數（英語：Vertex operator algebra，縮寫：VOA）為一代數結構，於二維共形場論及弦論扮演了非常重要的角色，此外並應用在物理上，而頂點算子代數在基礎數學方面更已經被證實其用處，如在怪獸月光理論及幾何朗蘭茲綱領。 因著Igor Frenkel曾提出想構造一無限維李代數，1986年由理查德·博赫兹(Richard...

的相继式演算的完备性证明通常直接产生有限模型。 多数实际上使用的模态系统(包括所有上面列出的)都有 FMP。 在某些情况下，我们可以使用 FMP 来证明逻辑的克里普克完备性: 所有正规模态逻辑关于模態代數的类都是完备的，而有限的模态代数可以变换成克里普克框架。作为例子，Robert Bull 使用这个方法证明了...

同調代數是數學的一個分支，它研究同調與上同調技術的一般框架。 同調代數是一門相對年輕的學科，其源頭可追溯到代數拓撲（單純形同調）與抽象代數（合衝模）在十九世紀末的發展，這兩門理論各自由龐加萊與希爾伯特開創。 同調代數的發展與範疇論的出現密不可分。大致說來，同調代數是（上）同調函子及其代數...

xD (x + y)D = xD + yD xD 叫做 x 的导出(derivative)。导出代数为拓扑学中导集算子提供代数抽象。它还为模态逻辑 wK4 = K + p∧□p → □□p 扮演布尔代数对普通命题逻辑所扮演的角色。 Esakia, L., Intuitionistic logic and...

在數學中，阿貝爾範疇（或稱交換範疇）是一個能對態射與對象取和，而且核與上核存在且滿足一定性質的範疇；最基本的例子是阿貝爾群構成的範疇Ab。阿貝爾範疇是同調代數的基本框架。 阿貝爾範疇的公理版本繁多，在此僅取其一（見外部連結）。 一個範疇 A {\displaystyle {\mathcal {A}}}...

theory）是數學中抽象代數的一支。旨在抽象代数结构中的元素「表示」成向量空間上的線性變換，并研究这些代数结构上的模，藉以研究結構的性質。略言之，表示論將一代數對象表作較具體的矩陣，並使得原結構中的代数运算對應到矩陣加法和矩陣乘法。此法可施於群、結合代數及李代數等多種代數結構；其中肇源最早，用途也最廣的是群表示論。設...

在抽象代數中，局部化是一種在環中形式地添加某些元素的倒數，藉以建構分式的技術；由此可透過張量積構造模的局部化。範疇的局部化過程類似，但此時加入的是態射之逆元素，以使得這些態射在局部化以後變為同構。 局部化在環論與代數幾何中佔有根本地位，範疇的局部化則引出導範疇的概念，在高等數學中有眾多應用。 「局部化」一詞源出代數幾何。設...

a ↦ a + I {\displaystyle R\rightarrow R/I,a\mapsto a+I} 是滿的環同態， I {\displaystyle I} 為此同態的核。 如果 R {\displaystyle R} 含單位元 1 {\displaystyle 1} ，則 1 + I {\displaystyle...

在抽象代数中，一个双模（bimodule）是一个既为左模也为右模的阿贝尔群，且左右乘法相容。除了自然出现于许多数学领域，双模也扮演着澄清的角色，许多左模与右模之间的关系当将其用双模来表示时变得简单。 如果 R 和 S 是两个环，则一个 R-S-双模是一个阿贝尔群 M 使得： M 是一个左 R-模和一个右...

g(a)。在这个加法下，阿贝尔群的自同态形成了一个环（自同态环）。例如，Zn的自同态的集合是所有整系数n × n矩阵的环。向量空间或模的自同态也形成了一个环，像预加法范畴中的任何对象的自同态一样。非阿贝尔群的自同态生成了一个代数结构，称为拟环（英语：Near-ring）。 态射 弗罗贝尼乌斯自同态 伴随自同态 自同态和假象的范畴...

在數學領域，德林費爾德模或橢圓模是一種特別的模，佈於有限域上的代數曲線的坐標環上。粗略地說，德林費爾德模是複橢圓曲線的複乘法理論之函數域版本。 俄文單詞 штука（英語拼音：shtuka 或 chtouca，源於德文的 Stück，意指物件或東西），又稱F-層，是德林費爾德模...

整性是交換代數中的概念，用于描述在有理数域的某些扩域中，某些元素是否有类似于整数的性质。元素的整性（是否为整元素）本质上只依赖于環的概念。整性與環的整擴張推廣了代數數與代數擴張的概念。 以下所論的環皆為含單位元的交換環。 設有環A、B，A為B的子環。设t∈B。若存在以A中元素为系数的首一多項式P∈A[X]，使得P(t)...