数学中，欧几里得群 E(n)，或ISO(n)是n维欧氏空间的对称群。它的元素与基于欧氏距离的等距同构相关，并被称为欧式等距同构，欧式变换或刚体变换。 E(n)的自由度是n(n + 1)/2，因此n = 2维情况下自由度是3，而n = 3维情况下自由度是6。其中，平移对称性贡献了其中n个自由度，而旋转对称性贡献了剩下的n(n...

欧几里得空间是在约公元前300年，由古希腊数学家欧几里得建立的角和空间中距离之间联系的法则。欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”，他接着分析三维物体的“立体几何”，所有欧几里得的公理在幾何原本中都有所體現。 这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n维欧几里得空间（甚至简称 ...

歐幾里得也寫過一些關於透視、圓錐曲線、球面幾何學及數論的作品。歐幾里得幾何被广泛的认为是數學領域的經典之作。 欧几里得生前活躍於亞歷山大圖書館，而且很有可能曾在柏拉圖學院學習。直到現在都無法得知欧几里得的生卒日期、地點和細節，也沒有找到任何欧几里得在世時期所畫的畫像，所以現存的欧几里得...

R)是单位分支，即包含单位矩阵的连通分支。 实正交群和特殊正交群有如下的解释： O(n,R)是欧几里得群E(n)的子群，E(n)是Rn的等距群；O(n,R)由其中保持原点不动等距组成。它是以原点为中心的球面 (n = 3)、超球面和所有球面对称的对象的對稱群。 SO(n,R)是E+(n)的子群，E+(n)是“直接”等距，即保持定向的等距；SO(n...

群来考察各种“几何”。例如，欧氏几何对应于欧式空间R3中保距变换构成的欧几里得群E(3)；共形几何对应于把群扩大到共形群；而在射影几何中引起人们兴趣的是射影群的不变属性。这个观念后来发展为G-结构的概念，其中G是流形"局部"对称性形成的李群。 李群...

歐幾里得太空望遠鏡（英語：Euclid）是一個运行中的太空望遠鏡，屬於歐洲太空總署的宇宙願景2015-2025中的中型計畫，並且將與美国国家航空航天局合作進行。該計畫的目標是測繪宇宙中暗物质的大尺度分布結構，並確認暗能量的性質。該衛星的名稱來自古希臘數學家，「幾何之父」欧几里得 。...

在數學中，辗转相除法，又称欧几里得算法（英語：Euclidean algorithm），是求最大公约数的算法。辗转相除法首次出现于欧几里得的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。 两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。辗转相除法基于如...

在抽象代数中，正规子群或不变子群指一类特殊的子群。由正规子群，可以引导出商群的概念。埃瓦里斯特·伽罗瓦是最早认识到正规子群的重要性的人。 沒有非平凡正規子群的群叫做單群；所有的子群都是正規子群的群叫做戴德金群，非交換的戴德金群又稱漢彌爾頓群。 如果群G的子群N在共轭变换下不變，N即是一個正規子群...

群。一個球面O(3)的所有對稱所組成的群即是一種連續對稱群，而通常如此類的連續對稱的群是在李群中所研究的對象。 對歐幾里得群子群的分類會對應到對稱群的分類。 兩個幾何形狀被認為是有著相同的對稱型，若其對稱群為歐幾里得群E(n)（Rn的等距同構群）的共軛群，其中一個群G的兩個子群...

群和平移子群的准直积）。这个表述告诉我们什么性质是“仿射的”。用欧几里得平面几何术语，平行就是：仿射变换总是将一个平行四边形变成另一个平行四边形。而圆不是仿射的，因为仿射剪切可以把圆变成椭圆。 要精确的解释仿射和欧几里得几何之间的关系，我们现在要在仿射群中点出欧几里得几何的群。欧几里得群...

方公分及體積立方公尺立方公分的知識，在西元前六世紀泰勒斯的時代，西方世界開始將幾何學視為數學的一部份。西元前三世紀，幾何學中加入歐幾里德的公理，產生的欧几里得几何是往後幾個世紀的幾何學標準。阿基米德發展了計算面積及體積的方法123456789652，許多都用到積分的概念。天文學中有關恆星和行星在天...

更一般的說，向量空間的一般線性群 GL(V)仍是抽象自同構群，不必需寫為矩陣。 特殊線性群，寫為 SL(n, F)或 SLn(F)，是由行列式 =1的矩陣構成的 GL(n, F)的子群。 群 GL(n, F)和它的子群經常叫做線性群或矩陣群（抽象群 GL(V)是線性群但不是矩陣群）。這些群在群...

如果我们定义李括号等于 0 {\displaystyle 0} ，则每个向量空间自然成为一个平凡的交换李代数。 2. 如果选李括号为向量的叉乘，欧几里得空间 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 是一个李代数。 3. 若一个结合代数 A {\displaystyle...

萊昂哈德·歐拉用歐拉角來描述剛體在三維歐幾里得空間的取向。對於任何參考系，一個剛體的取向，是依照順序，從這參考系，做三個歐拉角的旋轉而設定的。所以，剛體的取向可以用三個基本旋轉矩陣來決定。換句話說，任何關於剛體旋轉的旋轉矩陣是由三個基本旋轉矩陣複合而成的。 對於在三維空間裏...

酉群，又叫幺正群，是李群的一种。在群论中， n {\displaystyle n} 阶酉群（unitary group）是 n × n {\displaystyle n\times n} 酉矩阵组成的群，群乘法是矩阵乘法。酉群记作 U ( n ) {\displaystyle {\text{U}}(n)}...

在數學中，典型群（classical group）指與歐幾里得空間的對稱性密切相關的四類李群。所謂「古典」的使用取決於當下語境，有一定的靈活性。這個用法可能源於赫爾曼·外爾在1939年發表的專著《古典群：它們的不變量和表式》。在菲利克斯·克萊因的愛爾蘭根綱領觀點下，也許反映了它們和“經典”幾何（classical...

的自同胚群的群同构。 另外还有两种表示与线性表示密切相关： 射影表示：在射影空间（如实射影空间）范畴上的表示。射影表示也可以视为“忽略标量变换的线性表示”。 仿射表示：在仿射空间范畴上的表示。例如，欧几里得群仿射地作用在欧几里得空间上，即形成了对欧几里得群的仿射表示。 由于群也是范畴，对群...

群包含有所有可使所有V內的v，x(v)=h(g,x(g(v)))的g。在此一例子中，一常數函數的對稱群可能會是G的純子群：一常數向量只對繞其方向之軸的旋轉有旋轉對稱，及只有當其為零時才有反轉對稱。 一般對於在歐幾里得空間內對稱的觀念裡，G為歐幾里得群E(n)，其為V為歐幾里得空間之等距同構的群...

在數學裡，圓群標記為T，為所有模為1之複數所組成的乘法群，即在複數平面上的單位圓。 T = { z ∈ C : | z | = 1 } . {\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}.} 圓群為所有非零複數所組成之乘法群C×的子群。由于C×可交換，T也是可交換的。...

在勞侖茲變換下皆保持不變。因此勞侖茲群展現了許多自然定律的基礎對稱性。 勞侖茲群是龐加萊群的子群。龐加萊群是閔可夫斯基時空中所有等距同構（Isometry）的群。勞侖茲變換為所有保持原點固定的等距同構。因此，勞侖茲群為閔可夫斯基時空中等距同構群（英语：isometry group）的迷向子群（isotropy...

在數學中，根系是歐幾里得空間中滿足某些公理的向量配置。根系在李群、李代數與代數群理論中格外重要；而根系分類的主要工具──鄧肯圖，也見諸奇异性理论等與李群並無顯著關係的學科。 設 V {\displaystyle V} 為有限維實向量空間，並賦予標準的內積 ( , ) {\displaystyle (...

欧几里得空间化”的一个拓扑空间，即在此拓扑空间中，每个点附近“局部类似于欧氏空间”。更精确地说，n维流形（n-manifold），简称n流形，是一个拓扑空间，其性质是每个点都有一个邻域，该邻域同胚于n维欧氏空间的一个开集。 流形是欧几里得空间中的曲线、曲面等概念的推广。欧几里得...

在數學中，辛群可以指涉兩類不同但關係密切的群。在本條目中，我們分別稱之為Sp(2n,F)與Sp(n)。後者有時也被稱作緊緻辛群以資區別。許多作者偏好不同的記法，通常是差個二的倍數。本條目採用的記法與矩陣的大小相稱。 域F上次數為2n的辛群是由2n階辛矩阵在矩陣乘法下構成的群，記為Sp(2n...

椭圆型元素的本征值都是复数，是单位圆周上的共轭值。这样的元素的作用是欧几里得空间中的旋转，相应的 PSL2(ℝ) 元素之作用是双曲平面与闵可夫斯基空间的旋转。 模群的椭圆型元素的本征值一定为 {ω, 1/ω} 形式，其中 ω 是一个本原3次、4次、或6次单位根。他们是模群中所有有限阶元素，他们作用在环面上是周期性微分同胚。...

酉矩阵组成的群（一般酉矩阵的行列式是绝对值为1的复数）。群运算是矩阵乘法。特殊酉群是由 n × n {\displaystyle n\times n} 酉矩阵组成的酉群 U ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {U} (n)} 的一个子群，酉群又是一般线性群 GL ⁡ ( n , C {\displaystyle...

对称群可以指： 空间对称群（Symmetry group）：描述歐幾里得空間中在複合函數運算下不變的所有等距同構所構成的群。 对称群 (n次对称群)（Symmetric group）：集合到自身的所有置换（双射）构成的群。...

幾何學中，三維點群是三維空間中，任何一個固定原點的對稱群。等價的說法是，其為球面的對稱群。此類群皆為正交群 O ( 3 ) {\displaystyle O(3)} 的子群，即固定原點的全體等距同構組成的群，亦可視為全體正交矩陣的乘法群。 O ( 3 ) {\displaystyle O(3)} 本身則是全體等距同構的歐氏群...

Ricci曲率的完备(n-1)-维黎曼流形的直积。 Bishop's不等式：半径为r的球在一个有正Ricci曲率的完备n-维黎曼流形中的体积不超过欧几里得空间中同样半径的球的体积。 Gromov's紧致性定理：所有正Ricci曲率且直径不超过D的黎曼流形在Gromov-Hausdorff度量下是仿紧的。...

在数学和理论物理领域，李群表示（Representation of a Lie group）意指李群在向量空间上的线性作用。等价地说，群的表示是一个从该群到向量空间的可逆算子群的光滑同态。表示论在连续对称性的研究中扮演了重要的角色。关于这类表示的研究颇丰，其中一个基本的研究工具是使用对应的无穷小李代数表示（英语：Lie...

在數學裡，點群是指固定一點不動之幾何對稱（等距同構）的群。 點群存在於任一維度的歐幾里得空間中。一個離散之二維點群（英语：Point groups in two dimensions）有時會被稱為薔薇圖案群（rosette group），且被用來描述裝飾品的對稱性。三維點群...

龐加萊群是閔可夫斯基時空的等距同構群。它是一種十維的非緊李群。平移的阿貝爾群是一個正規子群，而洛倫茲群也是一個子群，原點的穩定子群。龐加萊群本身是仿射群（英语：Affine group）的最小子群，而仿射群就包括了所有的變換與洛倫茲變換。準確一點來說，龐加萊群是平移群與洛倫茲群的半直積 R 1...