在抽象代數中，歐幾里得整環（[Euclidean domain] 错误：{{Lang}}：无效参数：|3=（帮助））是一種能作輾轉相除法的整環。凡歐幾里得整環必為主理想環。 一個歐幾里得整环是一整環 D {\displaystyle D} 及函數 v : D ∖ { 0 } → N ∪ { 0 } {\displaystyle...

主理想整环，特別是歐幾里得整环。由此可知整數、高斯整數與艾森斯坦整數環都是唯一分解整环。 體也是唯一分解整环。 若 R {\displaystyle R} 為唯一分解整环，則多項式環 R [ X ] {\displaystyle R[X]} 亦然。(高斯引理) 由此可知任意有限個變元的多項式環 R [...

主理想整环在以下的包含链中出现： 伪环 ⊃ 环 ⊃ 交换环 ⊃ 整环 ⊃ 整闭整环（英语：integrally closed domain） ⊃ GCD環 ⊃ 唯一分解整環 ⊃ 主理想整环 ⊃ 歐幾里得整環 ⊃ 域 ⊃ 代數閉域 主理想整环的例子包括： K {\displaystyle...

整环（Integral domain），又譯作整域，是抽象代數中的一个概念，指含乘法单位元的无零因子的交换环。一般假设环中乘法单位元1不等于加法单位元0，以除去平凡的环 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 。整环是整数环的抽象化，它很好地继承了整数环的整除性质，使得我们能够更好地研究整除理论。...

任何欧几里得整环都满足算数基本定理：欧几里得整环中的数可以惟一分解。所以任何欧几里得整环都是惟一分解整环，但反之不然。欧几里得整环是GCD整环（任意两元素都存在最大公约数的整环）的子类。也就是说，在某些整环中，两元素存在最大公约数但却不能用辗转相除法计算。欧几里得整环都是主理想环...

Domain可以指： 公有領域（Public Domain） 科學： 域 (生物) 結構域 數學： 定義域（Domain） 域理論 整環（Integral domain） 歐幾里得整環（Euclidean domain） 論域 資訊科技： 域名（Domain Name） 網域名稱系統（Domain Name...

）：所有理想都是主理想的整環。 歐幾里得整環（ Euclidean domain ）：可以進行歐幾里得演算法（輾轉相除法）的整環。 體（ Field ）：非零元素都有乘法反元素的交換環。 代數閉體（ Algebraically closed field ）：所有多項式都有根的體。 所謂的非交換環實際上是指「不假設是交換環」的環，這樣子的環有：...

在抽象代数之分支环论中，一个交换环（commutative ring）是乘法运算满足交换律的环。对交换环的研究称为交换代数学。 某些特定的交换环在下列类包含链中： 交换环 ⊃ 整环 ⊃ 惟一分解整环 ⊃ 主理想整环 ⊃ 欧几里得整环 ⊃ 域 一个带有两个二元运算的集合 R 是环，即将环...

。 負三分貝為半能點。 二次域 Q [ − 3 ] {\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]} 為簡單歐幾里得整環。 四維超立方體（或四維超方形）下闭集合中欧拉示性数的最小值 -4 负数，因數有-4、-2、-1、1、2和4。 質因數分解， − 1 × 2 2...

v(r)<v(b)} 。 则称 D {\displaystyle D} 为欧几里得整环。:141 欧几里得整环中，使用一个额外的函数来比较两个元素之间的“大小”关系，从而能够定义带余除法。这个函数也称为范数。欧几里得整环必然是主理想整环因而也必然是唯一分解整环。:141:16-17 除法 同余 胡冠章, 王殿军. 应用近世代数...

在數學的抽象代數中，環上的模（英語：module）是對體上的向量空間的推廣，這裡不再要求向量空間裡的純量的代數結構是體，進而放寬純量可以是環。模同時也是交換群的推廣，因為交換群與整數環上的模相同。 因此，模同向量空間一樣是加法交换群；在環元素和模元素之間定義了乘積運算，并且環元素和模元素的乘積是符合結合律的和分配律的。...

在數學中，交換環上的代數或多元環是一種代數結構，上下文不致混淆時通常逕稱代數。 本頁面中的環都是指有單位的環，並使用么環一詞表示則是不一定有單位的環。 給定一個交換環 A {\displaystyle A} 。 給定一個四元組 ( E , + , . , × ) {\displaystyle (E,+...

高斯整數是實數和虛數部分都是整數的複數。所有高斯整數組成了一個整域，寫作 Z [ i ] {\displaystyle \mathbf {Z} [i]} ，是個不可以轉成有序環的欧几里得整环。 Z [ i ] = { a + b i ∣ a , b ∈ Z } {\displaystyle \mathbf...

{d}}]} 成為簡單歐幾里得整環（simply Euclidean fields，或稱歐幾里得範數整環，Norm-Euclidean fields），即 Q [ − 3 ] {\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]} 為簡單歐幾里得整環。有此性質的負數只有-11...

在環論中，商環（或稱剩餘類環）是環對一個理想的商結構。 設 R {\displaystyle R} 為一環， I ⊂ R {\displaystyle I\subset R} 為一雙邊理想。定義下述等價關係 x ∼ y ⟺ x − y ∈ I {\displaystyle x\sim y\iff x-y\in...

{\displaystyle R[X]} 是主理想環（事實上還是個欧几里得整环）。 若 R 是唯一分解環，則 R [ X ] {\displaystyle R[X]} 亦然。 若 R 是整環，則 R [ X ] {\displaystyle R[X]} 亦然。 若 R 是諾特環，則 R [ X ] {\displaystyle...

algebra）（或稱為模）、特殊的環（例如群環、除环、泛包絡代數等），也包括一些和环论有關的定理以及其應用，例如同調代數、及PI環（英语：PI ring）。 交换环是指其中運算「·」符合交換律的环，本身比較容易理解。代数几何及代數數論中有許多交换环的例子，也帶動了交换环...

GCD環是一種有特殊性質的整环R，滿足其中任二個非零的元素都有最大公因數（GCD），或者等價的，都有最小公倍數（LCM）。 GCD環是將唯一分解整環推廣到非諾特環的情況，事實上，一個整環是唯一分解整環若且惟若其為滿足主理想升链条件（英语：ascending chain condition on principal...

理想（英語：Ideal）是一个环论中的概念。 若某环的子集为在原环加法的定义下的子群，且其中的元素在原环乘法下与任意原环中的元素结果都在该子群中，则称其为原环的理想。 通俗地说，一环的理想在加法上成群且在乘法上表现如同一个黑洞。 理想是整数的某些子集，例如偶数或3的倍数组成的集合的推廣。两个偶数相加...

在数学中，特别是交换代数中，分式理想的概念是在对整环的研究中所引入的，并且在戴德金整环的研究中得到丰富。类似于通过给整数引入分母而产生了分数，在整环中，分式理想可认为是为理想引入了在某种意义上[來源請求]的分母。在特定上下文中，为了有所区别，环的普通理想常被强调为整理想。 设 R {\displaystyle R} 是一个整环， K {\displaystyle...

設(R,+,·)為环，若S是R的一個非空子集，且(S,+,·)也是環，則稱(S,+,·)為(R,+,·)的子環（subring）。 設(R,+,·)為环，S是R的一個非空子集。(S,+,·)是(R,+,·)的子環，當且僅當： R的零元素也在S裡 ∀a,b∈S, a+b∈S ∀a∈S, -a∈S ∀a...

算子代数可用于研究代数关系不大的任意算子集合，这样来看，算子代数可视作谱理论在单算子上的推广。一般来说，算子代数是非交换环。 算子代数通常要求在连续线性算子的整个代数内，以特定的算子拓扑封闭。特别地，它是同时具有代数和拓扑封闭性的算子集。某些学科中，这种性质得到了公理化，研究对象变成具有特定拓扑结构的代数。...

0}，是R内的一个理想。每一个交换环R内的理想都可以从某个环同态用这种方法得出。对于具有单位元的环，环同态的核是一个没有单位元的子环。 环同态f是单射，当且仅当ker(f) = {0}。 f的像，im(f)，是S的一个子环。 如果f是双射，那么它的逆映射f−1也是环同态。在这种情况下，f称为同构。在环论的立场下，同构的环不能被区分。...

除环（英語：Division ring），又譯非可换体、反對稱體（skew field），是一类特殊的环，在环内除法运算有效。需要特别注意的是，此环内必有非0元素，且环内所有的非0量都有对应的倒数。除环不一定是交换环，比如四元数环。 换种说法，一个环是除环当且仅当其可逆元群包含了环中所有的非零元素。...

的類数為1，亦即其整數環為唯一分解整環。而根據史塔克-黑格纳理論（英语：Stark–Heegner theorem），有此性質的負數只有9個，其對應的自然數稱為黑格纳数。 此外負二也能使二次域 Q [ d ] {\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]} 成為簡單歐幾里得整環（simply...

在抽象代数中，半环是类似于环但没有加法逆元的代数结构。偶尔使用术语 rig - 这起源于一个笑话，rig 是没有 negative 元素的 ring。 半环是装备了两个二元关系 + 和 · 的集合 R，有着: (R, +) 是带有单位元 0 的交换幺半群: (a + b) + c = a + (b +...

这一思路中，算畴（运算集合或空间）概念变得尤为重要。(Francis 2008) harv模板錯誤: 無指向目標: CITEREFFrancis2008 (幫助)导言写道： 交换代数几何的基本构造之一是分次交换环的射影构造，建立了射影簇和十分丰沛线丛，其齐次坐标环是原环。构造簇的底拓扑空间需要将环...

交换*-环是自身的*-代数，更一般地，也是其任意*-子环的*-代数。 交换*-环R对自身*-理想的商是R上的*-代数。 例如，任意交换平凡*-环都是其对偶数环上的*-代数，即具有非平凡*的*-环，因为对 ε = 0 {\displaystyle \varepsilon =0} 的商使原环复原。 交换环K及其多项式环...

在任一環R裡，每個素元都是不可約元素。反之不一定成立，但在唯一分解整環裡會成立。 算術基本定理在唯一分解整環裡仍然成立。此類整環的一個例子為高斯整數Z[i]，由具a + bi（其中a與b為任意整數）形式的複數所組成之集合。其素元稱之為「高斯質數」。不是所有的質數都是高斯質數：在這個較大的環Z[i]之中，2可被分解成兩個高斯質數...

ax+by=d} 这是因为在主理想环中， a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} 的最大公约元被定义为理想 a A + b A {\displaystyle aA+bA} 的生成元。 理想 (环论) 欧几里德整环 欧几里德引理 主理想环 整除 原版的网上版本（法文）...

非结合代数。例如李代数、约尔丹代数、八元数、具备叉积的3维欧氏空间。由于乘法不必结合，须用括号表示乘法的顺序，比如(ab)(cd)、(a(bc))d、a(b(cd))的含义是不一样的。 这里的“非结合”是说不必结合，而非必不结合，就像非交换环的“非交换”是说“不必交换”。 若代数有单位元e，使得 ∀...