在概率論和統計學中，一個實數值隨機變量的動差母函數（moment-generating function）又稱動差生成函數，矩亦被稱作动差，矩生成函數是其概率分佈的一種替代規範。 因此，與直接使用概率密度函數或累積分佈函數相比，它為分析結果提供了替代途徑的基礎。 對於由隨機變量的加權和定義的分佈的矩生成函數，有特別簡單的結果。...

機率密度函數（Probability density function，簡寫作PDF ，在不致於混淆时可简称为密度函数）是描述随机变量的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数。圖中，橫軸為隨機變量的取值，縱軸為概率密度函數的值，而随机变量的取值落在某个区域内的概率為概率密度函数...

_{n=0}^{\infty }{\binom {n+2}{2}}x^{2n}+{\binom {n+2}{2}}x^{2n+1}} 矩生成函數 概率母函数 動差母函數 其他處理數列的組合技巧，如： 遞歸關係 Z轉換 整數分拆 Knuth, Donald E. §1.2.9 Generating Functions...

f(x)\,dx} 矩常常通过样本矩 μ n ′ ≈ 1 N ∑ i = 1 N X i n {\displaystyle \mu '_{n}\approx {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{n}} 来估计。此方法不需要先估计其概率分布。 主動差 矩生成函數 力矩 Mathworld...

{\displaystyle x} 的概率密度函數下的面積。 累積分佈函數也用於指定多元隨機變量（英语：Multivariate random variable）的分佈。 對於所有實數值的随机变量 X {\displaystyle X} ，累积分布函数定義如下： 其中右侧表示随机变量 X {\displaystyle...

X^{n}\rangle _{c}.\,} 。 如果随机变量的矩生成函数不存在，那么可以通过后面对于累积量与矩之间的关系的讨论定义累积量。 有些作者偏向于定义累积生成函数为随机变量的特征函数诱导的自然对数。这种定义下的累积生成函数也被称为随机变量的第二类特征函数。 h ( t ) = ∑ n = 1 ∞ κ n...

正态分布的動差產生函數如下： 可以通過在指數函數內配平方得到。 特徵函數被定義為 exp ⁡ ( i t X ) {\displaystyle \exp(itX)} 的期望值，其中 i {\displaystyle i} 是虛數單位. 對於一個常态分布來講，特徵函數是： 把矩生成函數中的 t {\displaystyle...

n ( X + c ) = μ n ( X ) {\displaystyle \mu _{n}(X+c)=\mu _{n}(X)} n階中心矩是n次齊次函數。 μ n ( c X ) = c n μ n ( X ) {\displaystyle \mu _{n}(cX)=c^{n}\mu _{n}(X)}...

為正，可以為負或者甚至是無法定義。在數量上，偏度為負（負偏態；左偏）就意味着在概率密度函數左側的尾部比右側的長，絕大多數的值（不一定包括中位數在內）位於平均值的右側。偏度為正（正偏態；右偏）就意味着在概率密度函數右側的尾部比左側的長，絕大多數的值（不一定包括中位數）位於平均值的左側。偏度為零就表示...

3-7910-2119-2. 概率论 隨機變數 累积分布函数 概率密度函数 概率質量函数 在常用的文獻中，「分布」一詞可指其廣義和狹義，而「累計分布函數」或「分布函數」一詞只能指稱後者。為了不致混淆，下文中談及上述的廣義時使用「分布」一詞；狹義時使用「分布函數」一詞。 概率分布Java演示 二项分布Java演示...

隨機變數的累積量生成函數κnX是定義為：對動差生成函數取自然對數的函數，如果符合定義，將如下所示： g ( t ) = log ⁡ ( E ( e t X ) ) = ∑ n = 1 ∞ κ n t n n ! = μ t + σ 2 t 2 2 + ⋯ {\displaystyle g(t)=\log(E(e^{tX}))=\sum...

_{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}.} 如果随机变量X是連續分布，機率密度函數為f(x)，相應的累积分布函数為F(x)，則其方差為： Var ⁡ ( X ) = σ 2 = ∫ R ( x − μ ) 2 f ( x ) d x = ∫ R...

^{+}\\\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}\end{cases}}} Gamma分配的矩母函数（m.g.f） M x ( t ) = E ( e x t ) = λ α Γ ( α ) ∫ 0 ∞ e x t x α − 1 e − λ x...

请参阅分位数条目。 在电脑普及之前，书籍的附录中附有统计表对分位函数进行抽样的情况并不少见。Gilchrist广泛讨论了分位函数的统计应用。 蒙特卡洛模拟采用分位函数来生成非均匀随机数或伪随机数，以用于各种类型的模拟计算。原则上可以通过将分位函数应用于均匀分布的样本来获得来自给定分布的样本。 逆变换采样...

a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} 为任意实数。 一般的说，一个随机变量的函数的期望值并不等于这个随机变量的期望值的函数。 E ⁡ ( g ( X ) ) = ∫ Ω g ( x ) f ( x ) d x ≠ g ( E ⁡ ( X ) ) {\displaystyle...

一个离散随机变量的概率母函数是指该随机变量的概率质量函数的幂级数表达式。 如果 X {\displaystyle X} 是在非负整数域 { 0 , 1 , . . . } {\displaystyle \{0,1,...\}} 上取值的离散随机变量，那么 X {\displaystyle X} 的概率母函数定义为 G...

{\displaystyle E} 表示期望值。 用矩母函数 M X ( t ) {\displaystyle M_{X}(t)} 来表示（如果它存在），特征函数就是 i X {\displaystyle iX} 的矩母函数，或 X {\displaystyle X} 在虚数轴上求得的矩母函数。 φ X ( t ) = M...

p ) {\displaystyle \,np(1-p)\,} 。其概率母函数为 G ( z ) = ( 1 − p + p z ) n , {\displaystyle G(z)=(1-p+pz)^{n},} 矩母函数为 M X ( t ) = ( 1 − p + p e t ) n , {\displaystyle...

{\displaystyle {\color {Red}\lambda ={\frac {1}{\beta }}}} 的替換即可，即，指數分布之機率密度函數為： f ( x ; λ ) = { λ e − λ x x ≥ 0 , 0 , x < 0. {\displaystyle f(x;{\color...

_{4}}{\sigma ^{4}}},\!} 即四階標準矩，其中 μ 4 {\displaystyle \mu _{4}} 是四階主動差， σ {\displaystyle \sigma } 是標準差。 在更通常的情況下，峰度被定義為四階累積量除以二階累積量的平方，它等於四階中心矩除以概率分布方差的平方再減去3： γ...

X 1 , ⋯ , X N {\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{N}} 為實數，定義函数： σ ( μ ) = 1 N ∑ i = 1 N ( x i − μ ) 2 {\displaystyle \sigma (\mu )={\sqrt...

。反過來若兩個獨立隨機變量的和服從卜瓦松分布，則這兩個隨機變量經平移後皆服從卜瓦松分布（Raikov定理（英语：Raikov's theorem））。 其動差母函數为： M X ( t ) = E [ e t X ] = ∑ x = 0 ∞ e t x e − λ λ x x ! = e − λ ∑ x = 0...

o = exp ⁡ ( σ ) {\displaystyle \sigma _{\mathrm {geo} }=\exp(\sigma )} 原始矩为： μ 1 = e μ + σ 2 / 2 {\displaystyle \mu _{1}=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}} μ 2...

{\displaystyle p(0\leq p\leq 1)} ，失敗概率為 q = 1 − p {\displaystyle q=1-p} 。則 其概率質量函數為： f X ( x ) = p x ( 1 − p ) 1 − x = { p if  x = 1 , q   if  x = 0. {\displaystyle...

+2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}} k {\displaystyle k} 阶矩是： E ⁡ ( X k ) = B ⁡ ( α + k , β ) B ⁡ ( α , β ) = ( α ) k ( α + β ) k {\displaystyle...

矩的大小等於電流乘以線圈面積。 除了載流迴路以外，電子和許多基本粒子都擁有磁偶極矩。它們都會產生磁場，與一個非常小的載流迴路產生的磁場完全相同。但是，現時大多數的科學觀點認為這個磁偶極矩是電子的自然性質，而非由載流迴路生成。 永久磁鐵的磁偶極矩來自於電子內稟的磁偶極矩...

)=x_{0}+\gamma \,\tan(\pi \,(p-1/2)).\!} 柯西分布的平均值、方差或者矩都没有定义，它的众数与中值有定义都等于 x0。 取 X 表示柯西分布随机变量，柯西分布的特性函数表示为： ϕ x ( t ; x 0 , γ ) = E ( e i X t ) = exp ⁡ (...

{k}{2}}\right)\psi (k/2)} 其中 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} 是雙伽瑪函數。 當Gamma變數 頻率（λ）為1/2時，α的2倍為卡方變數之自由度。 即： r . v . Y = χ 2 ( U ) = Γ ( α = U 2...

为数据集的大小， m ( X ) {\displaystyle m(X)} 是对于数据集中趋势（central tendency）的描述函数，一般可以取均值（mean）、中位数（median）或者众数（mode），但需要注意的是，选取不同的中心描述函数对MAD的结果是有影响的。 標準差 离差 整流平均值...

的事件指出现硬币的正面，“失败”的事件指出现硬币的反面。 當 r {\displaystyle r} 是整數時的負二項分布又稱帕斯卡分布，其概率質量函數為： f ( k ; r , p ) ≡ Pr ( X = k ) = ( k + r − 1 r − 1 ) p r ( 1 − p ) k for ...

\mu } 和一个对称半正定阵   Σ {\displaystyle \ \Sigma } 满足   X {\displaystyle \ X} 的特征函数 ϕ X ( u ; μ , Σ ) = e i μ T u − 1 2 u T Σ u {\displaystyle \phi _{X}\left(u;\mu...