{x^{2}}{5-{\dfrac {x^{2}}{7-\ddots }}}}}}}}} 随后朗伯证明了如果x为非零有理数则该结果必为无理数。由于tan(π/4)=1，因此有π/4为无理数，即π为无理数。 考虑如下积分： I n ( x ) = ∫ − 1 1 ( 1 − z 2 ) n cos ⁡...

圓周率是数学常数，等於任何圆的周长和其直径的比，一個常見的近似值等於3.14159265，常用符号 π {\displaystyle \pi } 表示。 π {\displaystyle \pi } 是无理数，不能用分数表示出来（即它的小数部分是无限不循环小数），但近似 22 7 {\textstyle...

無理數有大部分的平方根、π和e（後兩者同時為超越數）等。無理數另一特徵是無限的連分數表達式。 傳說中，无理数最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯发现，他以幾何方法證明 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 無法用整数及分數表示；而畢達哥拉斯深信任意数...

\ldots } （尚未被證明是無理數） 費根鮑姆常數， δ {\displaystyle \delta } 與 α {\displaystyle \alpha } ，皆未证明是否为无理数 米尔斯常数，未证明是否为无理数 辛钦常数，未证明是否为无理数 科普兰-埃尔德什常数，是无理数 猜想： Schanuel猜想（英语：Schanuel's...

5的算術平方根是一个正的实数，為无理数，一般称为“根号5”，记为 5 {\displaystyle {\sqrt {5}}} 。 5 {\displaystyle {\sqrt {5}}} 乘以它本身的值为5。 5 {\displaystyle {\sqrt {5}}} 和黃金比值有關。5的算术平方根數值为：...

e π {\displaystyle e^{\pi }\,} 又稱格爾豐德常數（英語：Gelfond's constant）是一个数学常数。与e和π一样，它是一个超越数。这可以用格尔丰德-施奈德定理来证明，并注意到： e π = ( e i π ) − i = ( − 1 ) − i {\displaystyle...

{\displaystyle -{\frac {23}{129}}} ）和无理数（如 π {\displaystyle \pi } 、 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ），或者代数数和超越数（有理數都是代數數）两类。实数集合通常用字母 R {\displaystyle R} 或...

{\displaystyle e} （就是說版本號碼是2，2.7，2.71，2.718等），与之相对的有TeX的軟體版本號号是趋向于圆周率的。 e的π次方 无理数 超越数 欧拉数 圆周率 指数函数 自然對數 Sloane, N.J.A. (编). Sequence A004593 (Expansion of e in...

_{n}}} 在ℚ内是代数独立的。 证明e是无理数 证明π是无理数 Baker, Alan, Transcendental Number Theory, Cambridge University Press, 1975, ISBN 052139791X  林德曼-魏尔斯特拉斯定理的证明（HTML）...

六十进制（整数后首5个位）：3;8,29,44,0,47 和所有无理数一样， π {\displaystyle \pi } 也无法表達成分数。但每个无理数包括 π {\displaystyle \pi } ，都能表達成一系列叫连分数的连续分数形式： π = 3 + 1 7 + 1 15 + 1 1 + 1 292...

是超越的，在某些情况下甚至不知道它们是有理还是无理。部分列表可以在这里找到。 超越理论的一个主要问题是證明一组特定的数是代数独立的，而不仅仅是證明單一元素是超越的。所以虽然我们知道e和π是超越的，但这并不意味着e + π是超越的，也不代表两者的其他组合（除了eπ，格尔丰常数，已知是超越的）是超越數...

梁鑑添：香港高級程度會考純粹數學科參考書作者 郭宇權：香港高級程度會考純粹數學科參考書作者 該題為試卷二乙部第8題，是一條長題目，要求用微積分描繪一個給定函數的圖像。考生須在乙部6題中選答4題，由於描繪曲線題目的解答方式較機械化，選答該題的考生比例達到98%。題目的(a)(iii)部份，要求考生證明該函數的二階導數等於題目印出的數式，然而所印數式中「...

{p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}} 就把 x {\displaystyle x} 叫做刘维尔数。 法国数学家刘维尔在1844年证明了所有刘维尔数都是超越数，第一次说明了超越数的存在。 容易证明，刘维尔数一定是无理数。若不然，则 x = c d , ( c , d ∈ Z , d > 0 ) {\displaystyle...

狄利克雷函数（英語：Dirichlet function）是一个判别自变量是有理数还是无理数的函数。定义在实数范围上、值域为 { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} 的函数，用 D ( x ) {\displaystyle D(x)} 或者 1 Q ( x ) {\displaystyle...

{a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\varphi \quad (a>b>0)} 這也是黃金比一名的由來。 黄金比是无理数，準確值為 1 + 5 2 {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} ，約值（小數點後20位， A001622）：...

theorem）。最初的证明很长，而且晦涩难懂，幸好不久后发现了更为简洁的证明，只需要用到勒让德多项式。现在还不能确定阿培里常数是否是超越数。 近来的研究表明，黎曼ζ函数在无穷多个奇数上的取值都是无理数 ，并且ζ(5)、ζ(7)、ζ(9)和ζ(11)之中至少有一个是无理数。 1772年，莱昂哈德·欧拉证明了一个关于ζ(3)的级数表示：...

在某些情况下，用简单的有理数近似可以极其逼近某个无理数。大部分这类巧合可以用无理数的连分数表示法来解释；但是，若要进一步探究连分数展开中出现的不寻常大项，则有时是无法通过理论解释的。 圆周率π的第一个连分数近似——[3; 7] = 22/7 = 3.1428...，由阿基米德给出，误差约为0.04%。π的连分数近似的前三项——[3;...

ix=\ln(\cos x+i\sin x).} 由于三角函数的周期性，一个复数可以加上 2iπ 的不同倍数，而它的复对数可以保持不变。 1740年左右，欧拉把注意力从对数转向指数函数，得到了以他命名的欧拉公式。欧拉公式通过比较指数的级数展开和三角函数得到（其实此证法存在问题，原因见验证方法，但结论正确。），于1748年发表。...

梅塔彭图姆（英语：Metapontum）的希帕索斯（古希臘語：Ἵππασος ὁ Μεταποντῖνος，约530年—约450年），古希腊哲学家、数学家，毕达哥拉斯的早期追随者之一。关于他的生平和思想，历史记载甚少，但他有时被认为是无理数的发现者。据说无理数的发现是对毕达哥拉斯学派的一次重大冲击，而传说希帕索斯因...

（OEIS數列A002193） 人們發現了许多方法证明 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 是无理数。以下是反證法的證明 假設 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 是有理數，即有整數 a 0 {\displaystyle a_{0}}...

{31}{32}}\times \cdots \;} 乘积的分子为奇数的素数，而每一个分母则是最接近分子的4的倍数。 若存在的素数是有限的话，上式所展示的就是π是一个有理数，而分母是所有與素数多1或少1的4的倍数的乘积，而这点违反了π实际上是无理数的这一点。 亞历山大·沈（音譯，Alexander...

R. Ford Award）。2000年，一颗1998年发现的小行星被命名为12513 Niven 无理数 (1956) 数论导论 (和赫伯特·祖克曼合著)（1960） 尼文定理 π是无理数的证明 伊萬·尼文在數學譜系計畫的資料。 MAA presidents: Ivan Niven. [2021-05-24]...

{\displaystyle \gamma \ } 、卡塔兰常数 G {\displaystyle G} 等是否為无理数，或者甚至是超越數。 每个被有限表达的周期群（英语：Torsion group）是否都是有限的？ 逆伽罗瓦问题（英语：Inverse Galois problem） 普遍化的星号嵌套深度问题（英语：Generalized...

The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers Revised Edition. London: Penguin Group. (1997): 23 证明3的平方根是无理数 MathWorld（页面存档备份，存于互联网档案馆）...

自然对数的底 e {\displaystyle e} 和圆周率 π {\displaystyle \pi } 都不是代数数。 代数数不一定是实数，实数也不一定是代数数。代数数的集合是可数的。证明的方法是将所有整系数的多项式归类。首先定义 Z n [ X ] {\displaystyle...

ratio base）是使用黄金比φ作为底数的进位制，其中 φ = 1 + 5 2 ≈ 1.61803399 … {\textstyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.61803399\ldots } 是一个无理数。在英语中，黄金进制也叫做base-φ、golden...

{\displaystyle c} 是無平方數因數的數 d {\displaystyle d} 不為零。 若c為正數，所得的是實二次無理數，若c為負數，所得的是複二次無理數。二次無理數是可數集。 1770年，拉格朗日證明一個數字能表示成循環連分數，若且唯若此數為實二次無理數。例如 3 = 1.732 …...

數必須能用整數和整數的比表達的，後來發現无理数無法這樣表達，引起第一次數學危機，但人們漸漸接受無理數的存在，令數的概念得到擴展。 數的算術運算（如加減乘除）在抽象代數這一數學分支內被廣義化成抽象數字系統，如群、環和體等。 數可以被分類為數系的集合內。對於以符號表示數的不同方式，則請看記數系統。...

上线性独立。反设 π {\displaystyle \pi } 是代数数，那么 π i {\displaystyle \pi i} 也是代数数。考虑代数数0和 π i {\displaystyle \pi i} ，由于 π i {\displaystyle \pi i} 是无理数，所以它们在 Q {\displaystyle...

给出一个不可计算的正规数例子。 要证明一个不是明确构造为正规数的数的正规性非常困难。例如2的平方根 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 、圆周率 π {\displaystyle \pi } （2000年時數學家证明了π的2進數-正规性可以由一个有关混沌理论的合理但尚未证明的猜想导出 ）、2的自然对数...

90^{\circ }=1} 。 若用弧度表示，需在0 ≤ x ≤ π/2的範圍內，且要求x/π及sin x都是有理數。其結果是sin 0 = 0, sin π/6 = 1/2 及 sin π/2 = 1。 此定義出現在伊萬·尼雲有關無理數的書中。 证明的核心是下方的引理： 引理： 对于 ∀ n ≥ 1 {\displaystyle...