非线性偏微分方程的在物理学、气动力学、流体力学、大气物理、海洋物理、爆炸物理、化学、生理学、生物学、生态学等领域都有重要的应用。非线性偏微分方程的研究，是当前微分方程研究的中心。求解非线性偏微分方程比求解线性偏微分方程，难度大的多，大多数非线性偏微分方程只能依靠数值解法。但多年来数学家们发现了一些...

偏微分方程（英語：partial differential equation，縮寫作PDE）指含有未知函數及其偏導數的方程。描述自變量、未知函數及其偏導數之間的關係。符合這個關係的函数是方程的解。 偏微分方程分為線性偏微分方程式與非線性偏微分方程式，常常有幾個解而且涉及額外的邊界條件。 方程式中常以u為未知數及偏微分，如下：...

非线性偏微分方程是具有非线性项的偏微分方程。起源於各種應用科學中，如固體力學、流體力學、聲學、非線性光學、等離子體物理學、量子場論等學科。它们描述了许多不同的物理系统，并被用于解决数学问题，如庞加莱猜想和卡拉比猜想。它们很难研究：几乎没有通用的技术可以用于所有这样的方程，通常每个单独的方程都必须作为...

常微分方程及偏微分方程都可以分為線性及非線性二類。 若微分方程中沒有出現应变數及其微分項的乘積，此微分方程為線性微分方程，否則即為非線性微分方程。 齊次線性微分方程是線性微分方程中更細的分類，微分方程的解乘上一係數或是與另一個解相加後的結果仍為微分方程的解。 若線性微分方程的係數均為常數，則為常係數線性微分方程。常係數線性微分方程...

非線性函數；換句話說，一個非線性方程並不能寫成其未知數的線性組合。非線性微分方程，則是指方程裡含有未知函數及其導函數的乘冪不等於一的項。在判定一個方程是線性或非線性時，只需考慮未知數（或未知函數）的部分，不需要檢查方程中是否有已知的非線性項。例如在微分方程...

热传导方程（或稱熱方程）是一個重要的偏微分方程，它描述一個區域內的溫度如何隨時間變化。 熱傳導在三維的各向同性介質裡的傳播可用以下方程式表達： ∂ u ∂ t = d i v ( U u ) = k ( ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 ) = k (...

{y}{x^{2}}}=C} 可得 y ( x ) = C x 2 . {\displaystyle y(x)=Cx^{2}.} 积分因子也可以用来解非线性微分方程。例如，考虑以下的非线性二阶微分方程： d 2 y d t 2 = A y 2 / 3 {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=Ay^{2/3}}...

DE的数学理论，提出了随机分析的概念，并开启了非线性随机微分方程的研究。后来，苏联物理学家鲁斯兰·斯特拉托诺维奇（英语：Ruslan Stratonovich）提出了另一种方法，产生了类似于普通微积分的随机积分。 文献中，SDE最常见的形式是常微分方程，右式由一个取决于白噪音变量的扰动项。大多数时...

parameters），也称为常数變換法，是求解非齐次线性常微分方程的一种通用方法。 对于一阶非齐次线性微分方程，通常可以通过积分因子或待定系数以相当少的努力找到解，尽管这些方法利用涉及猜测的启发式方法并且不适用于所有非齐次线性微分方程。 参数的变化也扩展到线性偏微分方程，特别是线性演化方程的非齐次问题，如热方程、波动方程和振动板方程。...

数值分析也會用近似的方式計算微分方程的解，包括常微分方程及偏微分方程。 常微分方程的數值方法往往會使用迭代法，已知曲線的一點，設法算出其斜率，找到下一點，再推出下一點的資料。歐拉方法是其中最簡單的方式，較常使用的是龍格－庫塔法。 偏微分方程數值方法一般都會先將問題離散化，轉換成有限元...

洛特卡－沃爾泰拉方程（Lotka-Volterra equation）別稱掠食者—獵物方程。是一个二元一階非線性微分方程組成。經常用來描述生物系統中，掠食者與獵物進行互動時的动态模型，也就是兩者族群規模的消長。此方程分別在1925年與1926年，由阿弗雷德·洛特卡與維多·沃爾泰拉獨立發表。 d x...

method），是一种一阶数值方法，用以对给定初值的常微分方程求解。 欧拉方法是常微分方程數值方法中最基本的显式方法；是一阶的方法，意味着其局部截断误差正比于步长的平方，并且其全局截断误差正比于步长。 考虑计算這樣的一个未知曲線的形状：它具有给定的起点并且满足一个给定的微分方程。 这里，所谓“微分方程...

非線性的偏微分方程式形式。這種方程在絕大多數的情況下都難以求得解析解的，加之早期計算技術還比較落後，所以當時大多是以實驗的方式來求得所需的數據。 随着计算机技术的迅速发展，使用计算机进行大量数值运算来求解空氣動力學方程式成为可能。利用數值法以及計算流體力學方法，可以求出非線性偏微分方程...

情形的向量空间理论。线性代数与微积分结合，使得微分方程线性系统的求解更加便利。线性代数的理论已被泛化为算子理论。 线性代数的方法还用在解析几何、工程、物理、自然科学、計算機科學、计算机动画和社会科学（尤其是经济学）中。由于线性代数是一套完善的理论，非线性数学模型通常可以被近似为一般線性模型。...

待定系数法是求某些非齐次常微分方程和递推关系的特解的方法。它与微分算子方法密切相关，但不是使用特定类型的微分算子（annihilator）来找到特定解决方案的最佳可能形式，而是对适当的形式进行擬設或猜测，然后通过对所得方程进行微分来对其进行测试。对于复杂的方程式，零化器方法或参数变化的执行耗时较少。...

在數學中，冪級數法用於求某些微分方程的冪級數解。 通常這樣的解假設一個具有未知係數的冪級數，然後將該解代入微分方程以找到係數的遞推關係。 考慮二階線性微分方程 a 2 ( z ) f ″ ( z ) + a 1 ( z ) f ′ ( z ) + a 0 ( z ) f ( z ) = 0. {\displaystyle...

动力系统中的许多概念都可扩展到无限维流形（即局部巴拿赫空间），这时微分方程就是偏微分方程。 阿诺德猫图 贝克尔图是混沌分段线性映射的例子 台球动力学 弹球模型 复二次多项式 双摆 二值变换 厄农映射 无理旋转 卡普兰–约尔克映射 混沌映射列表 洛伦茨吸引子 若斯叻吸引子 摆动阿特伍德机 帐篷映射...

计算机代数被广泛用于数学实验、设计数值程序所用的公式。纯数值方法失效时，计算机代数也可用于完整的科学计算，这见于公开密钥加密和一些非线性问题。 有些学者区分“计算机代数”（computer algebra）与“符号计算”（symbolic computation），后者指数学公式计...

簡易的諧振子，相圖是一組中心點在原點的椭圆。 范德波爾振蕩器的相圖（右圖） 分枝圖（英语：Bifurcation diagram） 曼德博集合 相圖可以呈現微分方程（ODE）系統的行為，也可以看出系統的穩定性 ODE系統相圖上的特性也可以用系統的特徵值或跡（trace）以及行列式判別（跡 = λ1 + λ2，行列式...

(theory)），將每一根頭髮視為彈性絲，有隨機的本質曲率。因此提出了有關一束頭髮形狀的微分方程，和彈力、重力等因素有關，並且提出簡單的状态方程，描述使髮束散開的壓力和頭髮中隨機曲率之間的關係，狀態方程是四階非線性的微分方程。 長髮公主係數（Rapunzel number）是和方程式有關的比例，計算頭髮的...

華人第5位 丘成桐 榮獲沃爾夫數學獎. 中國時報 (中時媒體集團). 2010-02-13 [2010-02-13].  Authors list列表中的|first1=缺少|last1= (帮助)[永久失效連結] Wolf Prize 2019 - Mathematics. [2022-10-06]...

在量子力學中，薛定諤方程（Schrödinger equation）是描述物理系統的量子態隨時間演化的偏微分方程，为量子力學的基礎方程之一，其以發表者奧地利物理學家埃尔温·薛定諤而命名。關於量子態與薛定諤方程的概念涵蓋於基礎量子力學假說裏，無法從其它任何原理推導而出。...

000瑞典克朗（約合500,000美元）。 首屆克拉福德奖於1982年頒發，獲獎者是俄國數學家弗拉基米爾·阿諾爾德和美籍加拿大數學家路易·尼倫伯格，表彰其在非線性偏微分方程領域的貢獻。第一位被授予克拉福德奖的女性是美國天文学家安德烈娅·盖兹（於2012年獲獎），她后来也獲頒2020年诺贝尔物理学奖。...

此外，量子力学中很多问题的解是指数形式的，其数值解也会相应地发生指数暴增；此外，宏观系统往往包含1023数量级巨大的分子数目，也提高了模拟计算的难度。 最后，很多物理系统本质上是非线性的，甚至是混沌的。这也使得我们难以确定计算机得到的“解”是否是由数值近似带来的逼近误差本身造成的。 由于计算物理学可以研究的问题十分广泛，人们通常...

微分方程 模擬有阻礙下空氣流動的纳维-斯托克斯方程 范围 領域 分類 種類 和過程的關係 差分 (離散下的類比) 隨機 随机偏微分 时滞 解 存在和唯一 柯西-利普希茨定理 皮亚诺存在性定理 Carathéodory存在性定理（英语：Carathéodory's existence theorem）...

gases）的理论构造中，具有随机参数的孤子几乎不重叠。这一概念已扩展到孤子强烈连续相互作用的稠密孤子气体（dense soliton gases）。孤子气体的概念与非线性偏微分方程（如KdV方程或一维非线性薛定谔方程）描述的可积波系统有着内在的联系，这些方程可以使用逆散射变换求解。单极孤子气体 unipolar soliton gases、双极孤子气体...

斯坦引力场方程。这个方程描述了处于时空中的物质是如何影响其周围的时空几何，并成为了爱因斯坦的广义相对论的核心。 爱因斯坦的引力场方程是一个二阶非线性偏微分方程组，在数学上想要求得其方程的解是一件非常困难的事。爱因斯坦运用了很多近似方法，从引力场方程得出了很多最初的预言。不过很快天体物理学家卡尔·史瓦...

中国科学院院士列表 中国科学院全体院士名单 中国科学院已故院士名单 中国科学院外籍院士名单 中国科学院已故外籍院士名单 关于公布2019年中国科学院院士增选当选院士名单的公告（页面存档备份，存于互联网档案馆） 中国科学院院士 中国科学院外籍院士列表 中国工程院院士 中国工程院资深院士列表...

Baltzer）提出，由愛德蒙·蘭道推广，其表述如下：π是两倍于能使余弦函数等于零的最小正数。余弦函数可以由独立于几何之外的幂级数定义，或者使用微分方程的解来定义。 在相似的启发下，π可以用关于复变量 z {\displaystyle z} 的复指数函数 exp ⁡ ( z ) {\displaystyle...

此列表写出了历届邵逸夫奖的得奖者。 上述國家一欄是根據邵逸夫獎官方網站（www.shawprize.org）提供的資料，指得獎者在獲獎時的工作地點，並不反映得獎者的出生地及現時國籍。 2004年度生命科學與醫學獎設有二獎，一獎一半平均授予史丹利·科恩及赫伯特·博耶，一獎另一半授予簡悅威；二獎則授予理查·多爾爵士。...

日本隊在2023年世界棒球經典賽決賽上以3比2擊敗美國隊，歷史上第三次奪得世界棒球經典賽冠軍。 罗伯特·梅特卡夫因其在以太网的贡献获得2022年图灵奖。 路易斯·卡法雷利因其对非线性偏微分方程的正则性理论的贡献获得2023年阿贝尔奖。 洪都拉斯宣佈与台湾即日起断绝外交关系，并承认北京政府与其建立外交关系。 美國聯邦存款保險公司同意將矽谷銀行出售給第一公民銀行股份。...