在同余理论中，模 n 的互质同余类组成一个乘法群，称为整数模 n 乘法群，也称为模 n 既约剩余类。在环理论中，一个抽象代数的分支，也称这个群为整数模 n 的环的单位群（单位是指乘法可逆元）。 这个群是数论的基石，在密码学、整数分解和素性测试均有运用。例如，关于这个群的阶（即群的“大小”），我们可以确定如果 n...

{\displaystyle \cdot } 是域乘法； 代数环面 G L ( 1 ) {\displaystyle {\rm {GL}}(1)} 。 整数模n乘法群是 Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } 的可逆元与乘法形成的群。n是合数时，除了0之外还有其他不可逆元。...

division)）及分配，也會用到模算數。 布尔环 環形緩衝區 同餘關係 除法 有限域 勒让德符号 模冪 模反元素 模除 数论 皮萨诺周期（模n下的斐波那契序列） 原根 二次互反律 二次剩余 两元素布尔代数 和模算數有關的群論主題： 循環群 整数模n乘法群 其他和模算數有關的重要定理： 卡邁克爾函數...

小的正整数中所有与 n {\displaystyle n} 互素的数对应的同余类组成的集合（这个集合也称为模n 的简化剩余系）。这些同余类构成一个群，称为整数模n乘法群。因为此群阶为 φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} ，所以 a φ ( n ) ≡ 1 ( mod n ) {\displaystyle...

在數學的抽象代數中，環上的模（英語：module）是對體上的向量空間的推廣，這裡不再要求向量空間裡的純量的代數結構是體，進而放寬純量可以是環。模同時也是交換群的推廣，因為交換群與整數環上的模相同。 因此，模同向量空間一樣是加法交换群；在環元素和模元素之間定義了乘積運算，并且環元素和模元素的乘積是符合結合律的和分配律的。 模...

在數學中，商群（英語：quotient group）或因子群（英語：factor group）是通过保持群结构的等价关系来把较大群中的类似元素聚类而产生的群。例如，加法模 n {\displaystyle n} 的循环群是由在整数加法群中将相差 n {\displaystyle n} 倍的整数...

\left(8\right)=4} ，因為1、3、5和7均與8互質。 欧拉函数实际上是模n的同余类所构成的乘法群（即环 Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } 的所有单位元组成的乘法群）的阶。这个性质与拉格朗日定理一起構成了欧拉定理的證明。 1736年，欧拉證明了费马小定理：...

）。在数论中自然数 N {\displaystyle \mathbb {N} } 通常被视为与正整數等同，即1，2，3等，但在集合论和计算机科学中自然数则通常是指非负整数，即0，1，2等。 下表给出任何整数 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 的加法和乘法的基本性质。 全体整数...

{\displaystyle s^{-1}} 是 s {\displaystyle s} 在群 G {\displaystyle G} 上的逆元。（例如：如果 G {\displaystyle G} 是整数模n乘法群的一个子群，那么逆元就是模逆元）。 解密算法是能够正确解密出明文的，因为 c 2 ⋅ s − 1 =...

在群論中，循環群（英文：cyclic group），是指能由單個元素所生成的群。有限循环群同构于整数同余加法群 Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} {\big /}n\mathbb {Z} } ，无限循环群则同构于整数加法群。每個循環群都是阿贝尔群...

乘法時会發生什麼，以及了解變數的概念和如何建立多項式並找出它們的根。 代數的研究對象不僅是數字，还有各種抽象化的結構。例如整數集作為一個帶有加法、乘法和序關係的集合就是一個代數結構。在其中我們只關心各種關係及其性質，而對於「數本身是甚麼」這樣的問題並不關心。常見的代數結構類型有群、環、域、模、線性空間等。...

在抽象代数中，一个双模（bimodule）是一个既为左模也为右模的阿贝尔群，且左右乘法相容。除了自然出现于许多数学领域，双模也扮演着澄清的角色，许多左模与右模之间的关系当将其用双模来表示时变得简单。 如果 R 和 S 是两个环，则一个 R-S-双模是一个阿贝尔群 M 使得： M 是一个左 R-模和一个右 S-模； 对所有...

在环中，所有可逆元素叫环的单位，所有单位对乘法可构成一个乘法群，叫环的单位群。对环（域）来说，单位群所有元素，和环（域）的所有元素有多少相同，有多少不同，可由环的素理想，分式理想，理想类群来度量。 整数环Z的单位只有1，-1，单位群同构于循环群C2。模n 的剩余类环Zn单位群...

{\displaystyle n} 是任意正整數。 对正整数 ( a , m ) = 1 {\displaystyle (a,m)=1} ，如果 a 是模 m 的原根，那么 a 是整数模m乘法群（即加法群 Z/mZ 的可逆元，也就是所有与 m 互素的正整数构成的等价类构成的乘法群）Zm×的一个生成元。由于Zm×有...

群論理論因此位于這些實體的理論的底層部分。 對于任何素數p，模算術提供了整數模以p的乘法群。群的元素是不能被p整除的整數模p的同余类，就是說兩個數被認為是等價的如果它們的差被p整除。例如，如果p = 5，則精確地有四個群元素1, 2, 3, 4:排除了5的倍數而6和−4都等價于1。群運算給出為乘法。因此4·4...

R（實數集）上的一般線性群是實數的 n×n 可逆矩陣的群，并指示為 GLn(R)或 GL(n, R)。 更一般的說，在任何域 F（比如複數集）或環 R（比如整數集的環）上的 n 次一般線性群是帶有來自 F（或 R）的元素的 n×n 可逆矩陣的群，帶有矩陣乘法作為群運算。典型符號是 GLn(F)或 GL(n, F)，如果域是自明的也可簡寫為...

在數學裡，圓群標記為T，為所有模為1之複數所組成的乘法群，即在複數平面上的單位圓。 T = { z ∈ C : | z | = 1 } . {\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}.} 圓群為所有非零複數所組成之乘法群C×的子群。由于C×可交換，T也是可交換的。...

質數冪是只有一個質因數的整數。質數冪和類似的概念也稱為準素（primary numbers），例如準素分解。 質數冪是質數的自乘積。每一個質數冪（2的冪次除外）都有一個原根，因此整數模的整数模n乘法群pn是循環群。 有限域元素的總數一定是質數冪，相對的，質數冪一定是某...

若某环的子集为在原环加法的定义下的子群，且其中的元素在原环乘法下与任意原环中的元素结果都在该子群中，则称其为原环的理想。 通俗地说，一环的理想在加法上成群且在乘法上表现如同一个黑洞。 理想是整数的某些子集，例如偶数或3的倍数组成的集合的推廣。两个偶数相加或相减结果仍是偶数，偶数与任意整数...

粗略地说，李群是连续的群，也即其元素可由几个实参数描述。因此，李群为连续对称性的概念提供了一个自然的模型，例如三维旋转对称性。李群被广泛应用于现代数学和物理学。索菲斯·李引入李群的最初动机是为微分方程的连续对称性建模，就像有限群被用于伽罗瓦理论对代数方程的离散对称性建模一样。 李群...

整数、实数及复数之乘法单位元，意即任何数字 n {\displaystyle n} 与1相乘保持其原值不变（ 1 × n = n × 1 = n {\displaystyle 1\times n=n\times 1=n} ）。因此，正方形（ 1 2 = 1 {\displaystyle...

上面证明费马小定理的群论方法，可以同理地证明欧拉定理。 考虑所有与 n {\displaystyle n} 互素的数，这些数模 n {\displaystyle n} 的余数所构成的集合，记为 S {\displaystyle {\cal {S}}} ，并将群乘法定义为相乘后模 n {\displaystyle n}...

\circ )} 為阿貝爾群或交換群，反之被稱爲「非阿貝爾群」或「非交換群」。 群有兩種主要表示運算的符號—加法和乘法。 乘法符號是群的常用符號，而加法符號是模的常用符號。當同時考慮阿貝爾群和非阿貝爾群時，加法符號還可以用來強調阿貝爾群是特定群。 驗證有限群是阿貝爾群，可以構造類似乘法表的一種表格（或說矩陣），稱爲凱萊表。如果群...

为了得到关于一个整数 n {\displaystyle n} 的所有二次剩余（在一个完全剩余系中），我们可以直接计算0, 1,…, n − 1的平方模 n {\displaystyle n} 的余数。但只要注意到a2 ≡(n − a)2(mod n)，我们就可以减少一半的计算量，只算到n/2了。于是，关于 n {\displaystyle...

}\mathrm {N} \!} ， 在两种意义上是基本的。首先，其他3个算术性质可以从它得出。进一步的，它表达了在正实数的乘法群和所有实数的加法群之间的同构。 对数函数是从正实数的乘法群到实数的加法群的唯一连续同构。 复对数计算公式： log c + d i ⁡ ( a + b i ) = ln ⁡ ( a 2...

乘法」）、並且符合特定運算規則的集合。它抽象化了諸如整數、有理數、實數、複數、多項式、矩陣、函數、算子等等的代數結構。它是環論的主要研究對象，並且是構成各種抽象代數理論的重要基本概念。 環的具體定義並沒有完全統一。不同研究方向的學者對於環是否要有乘法單位元有不同見解，在部份情況下甚至不要求乘法...

在群論中，初等阿貝爾群是有限阿貝爾群，這里的所有非平凡元素都有 p 階而 p 是素數。 通過有限生成阿貝爾群的分類，所有初等阿貝爾群必定有如下形式 (Z/pZ)n 對于非負整數 n。這里的 Z/pZ 指示 p 階的循環群(或等價的整數模以 p)，而冪符號表示意味著 n 元笛卡爾積。 初等阿貝爾群 (Z/2Z)2...

群的元素，如多項式或方阵）的大正整数乘幂的一般方法。这些算法可以非常通用，例如用在模算數或矩阵幂。对于通常使用加性表示法的半群，如密码学中使用的椭圆曲线，这种方法也称为double-and-add。 该方法是基于观察到，对于正整数 n {\displaystyle n} ，可知 x n = {...

数学上，数域F上的n阶正交群，记作O(n,F)，是F上的n×n 正交矩阵在矩阵乘法下构成的群。它是一般线性群GL(n,F)的子群，由 O ( n , F ) = { Q ∈ G L ( n , F ) ∣ Q T Q = Q Q T = I } {\displaystyle \mathrm {O} (n,F)=\{Q\in...

M=3} ，所需總乘法量：分段卷積<直接計算<快速傅立葉轉換。故，此時選擇使用分段卷積來計算卷積最適合。 雖然當 M {\displaystyle M} 是個很小的正整數時，大致上適合使用直接計算。但實際上還是將3個方法所需的乘法量都算出來，才能知道用哪種方法可以達到最高的效率。 Q3：當 N = 1024...

整数进行标量乘法的元素系统。阿贝尔群可以视作是整数上的模，其中标量乘法定义如下： 但只有自由阿贝尔群像向量空间那样有基。自由模可以表示为基环上的直和，因此自由阿贝尔群和自由 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -模是等价的概念：每个自由阿贝尔群（算上其上的乘法运算）都是自由...