贝塞尔函数（Bessel functions），是数学上的一类特殊函数的总称。通常单说的贝塞尔函数指第一类贝塞尔函数（Bessel function of the first kind）。一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数 y ( x ) {\displaystyle y(x)}...

{\begin{matrix}{\frac {\sin(a)}{a}}\end{matrix}}=\cos(a)\,} 。 非归一化 sinc 是第一类零阶球贝塞尔函数 j 0 ( x ) = sin ⁡ ( x ) x {\displaystyle j_{0}(x)={\begin{matrix}{\frac...

零次函数（常數函數）：零次多项式，图像为水平线。 一次函数：一次多项式，图像为斜直线。 二次函数：二元二次多项式，图像为圆锥曲线。 三次函数 四次函数 五次函数 有理函数：两个多项式函数的比。 开方 平方根 立方根 非代数函数即为超越函数。 指数函数 双曲函数：形式上相似于三角函数。 对数函数：指数函数的反函数；用于求解指数方程。...

− t ) {\displaystyle u(1-t)} ; Airy分布用 J 1 {\displaystyle J_{1}} （一阶第一类贝塞尔函数）表达。(Stein & Weiss 1971，Thm. IV.3.3) harv模板錯誤: 無指向目標: CITEREFSteinWeiss1971...

{Z} }{\frac {(k^{2}\pi t)^{i}}{(1+k^{2}\pi t)^{i+\alpha +1}}};} 随意选定参量t，贝塞尔函数可以表示为： J α ( x ) ( x 2 ) α = e − t Γ ( α + 1 ) ∑ i = 0 L i ( α ) ( x 2 4...

特殊函数是指一些具有特定性质的函数，一般有约定俗成的名称和记号，例如伽玛函数、贝塞尔函数、菲涅耳积分等。它们在数学分析、泛函分析、數學物理、工程应用中有着举足轻重的地位。许多特殊函数是微分方程的解或初等函数的积分，因此积分表中常常会出现特殊函数，特殊函数的定义中也经常会出现积分。传统上对特殊函数...

汉克尔变换是指对任何给定函数 f ( r ) {\displaystyle f(r)} 以第一类贝塞尔函数 J ν ( k r ) {\displaystyle J_{\nu }(kr)} 作无穷级数展开，贝塞尔函数 J ν ( k r ) {\displaystyle J_{\nu }(kr)} 的阶数不变，级数各项...

{\displaystyle Re(f)} 代表 f {\displaystyle f} 的实数部分， J ν {\displaystyle J_{\nu }} 是第一类贝塞尔函数。 b e r v ( x ) = I m ( J ν ( x e 3 π i 4 ) ) {\displaystyle ber_{v}(x)=Im(J_{\nu...

常用的数学函数包括多项式函數、根式函數、冪函數、对数函數、有理函数、三角函数、反三角函數等。它们都是初等函数。非初等函数（或特殊函数）包括伽马函數和贝塞尔函数等。 函數可分為 奇函數或偶函數 連續函數或不連續函數 實函數或虛函數 純量函數或向量函數 单调增函数或单调减函数 在范畴论中，函数的槪念被推廣為態射的槪念。...

(2/3)π−δ}内。 从艾里函数的渐近表现可以推出，Ai(x)和Bi(x)在负的实数轴上都有无穷多个零点。Ai(x)在复平面内没有其它零点，而Bi(x)在扇形{z∈C : (1/3)π < |arg z| < (1/2)π}内还有无穷多个零点。 当自变量是正数时，艾里函数与变形贝塞尔函数之间有以下的关系： A...

的质点都被拉普拉斯变换完全捕获。虽然在使用勒贝格积分时，我们没有必要取这个极限，但它让我们更自然地与拉普拉斯–斯蒂尔吉斯变换（英语：Laplace–Stieltjes transform）建立联系。 更廣義地，對於定義於整個實數軸上的實值函數或複值函數 f ( t ) {\displaystyle...

指數函數是解析的。这个函数的泰勒级数在整个复平面上收敛。 三角函數、对数函数、幂函数在相应的定义域上都是解析的。 多数特殊函数（至少在复平面上的某些区域） 超几何函数 贝塞尔函数 伽马函数 典型的非解析函数有： 絕對值函數非解析函數，因為它在点0处不可微。分段定义的函数在分段处通常不是解析的。 複共軛函數 z ↦...

是柱坐標下的坐標（分別為半徑、極角和高度），而 n 和 k 則是兩個常數，用以區分不同的柱諧函數。所有的柱諧函數一起，組成一組正交完備的基底，任何一個拉普拉斯方程的解都可以寫成這些函數的線性組合。 有時候，柱諧函數也用來指代貝塞爾函數（柱諧函數最重要的組成部分）。 柱坐標下的拉普拉斯方程為： ∇ 2 V = 1 ρ ∂...

a}{\delta }})+i\,Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})}}} 其中Ber和Bei为0阶的开尔文-贝塞尔函数的相应原函数（具体见下）。 考虑一个半径为a，长度无限大的圆柱形导体。假设电磁场是時變場，則在圆柱中有频率为ω的正弦交流电流。由麦克斯韦方程组， 麦克斯韦-法拉第方程：...

全书十二章 第一章：函数用无穷级数和无穷乘积展开 第二章：二阶线性常微分方程 第三章：伽马函数 第四章：超几何函数 第五章：勒让德函数 第六章：合流超几何函数 第七章：贝塞尔函数 第八章：外氏椭圆函数 第九章：忒塔函数 第十章：雅氏椭圆函数 第十一章：拉梅函数 第十二章：马丢函数 《特殊函数概论》，王竹溪、郭敦仁合著，北京大学出版社，ISBN...

阿尔法粒子 阿尔法衰变 阿伏伽德罗常数 阿伏伽德罗定律 阿基米德定律 埃格斯特朗 爱因斯坦求和约定 安培 暗物质 暗能量 凹面镜 凹透镜 巴比涅原理 巴耳末系 摆 半导体 半衰期 保守力 饱和蒸气压 贝塞尔函数 贝塔射线（β射线） 贝塔衰变（β衰变） 比尔-朗伯定律 比热 比热容 毕奥-萨伐尔定律...

勒貝格积分（英語：Lebesgue integral）是现代数学中的一个积分概念，它将积分运算扩展到任何测度空间中。在最简单的情况下，对一个非负值的函数的积分可以看作是函数图像与 x {\displaystyle x} 轴之间的面积。勒贝格积分则将积分运算扩展到更广的函数（可测函数），并且也扩展了可以进行积分运算的集合（可测空间）。...

{dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0} （其中y為應變數）為二階微分方程，其解為贝塞尔函数。 偏微分方程（PDE）是指一微分方程的未知數是多個自變數的函數，且方程式中有未知數對自變數的偏微分。偏微分方程的階數定義類似常微分方程，但更細分為橢圓型、雙曲線型及拋物線型的...

{\pi }{2}}} 注意到 sin ⁡ t t {\displaystyle {\frac {\sin t}{t}}} 是sinc函数，也是第零个球贝塞尔函数。 有两种不同的余弦积分： C i ( x ) = γ + ln ⁡ x + ∫ 0 x cos ⁡ t − 1 t d t {\displaystyle...

x,y)\phi (y)\,dy=\phi (x).} 对于Rd上的一般区域，热核并没有显式的表达式。当区域为圆盘或方形时，热核则分别为贝塞尔函数与雅可比Θ函数。可以证明，对任意黎曼流形，当边界条件充分正则时，热核存在且在t>0时光滑。 Berline, Nicole; Getzler, E.; Vergne...

)+(385/4608)*exp((2/3)*z^{(}3/2))*(1/z)^{(}13/4)/{\sqrt {(}}\pi )+O((1/z)^{(}19/4))} 贝塞尔函数 B e s s e l I ( 3 , x ) ≈ ( 1 / 2 ) ∗ s q r t ( 2 ) ∗ e x p ( x ) ∗ s q...

)sin(\rho *\pi )*z^{1/2}*K_{p}(\xi )} 其中 K p ( ξ ) {\displaystyle K_{p}(\xi )} 是贝塞尔函数K B n ( z ) = ( p z ) 1 / 2 ( I − p ( ξ ) + I p ( ξ ) {\displaystyle...

={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{mc^{2}}},} 和 K 2 {\displaystyle K_{2}} 是第二类变形贝塞尔函数。 秦允豪. 热学. 高等教育出版社. : 65页. ISBN 978-7-04-013790-3.  Synge, J.L., The relativistic...

在电子学和信号处理领域，贝塞尔滤波器（Bessel filter）是具有最大平坦的群延迟（线性相位响应）的线性滤波器。贝塞尔滤波器常用在音频天桥系统中。模拟贝赛尔滤波器在几乎整个通频带都具有恒定的群延迟，因而在通频带上保持了被过滤的信号波形。滤波器的得名德国数学家弗雷德里希·贝塞尔，他发展了滤波器的数学理论基础。 描述贝塞耳滤波器低通滤波器的传递函数如下：...

{\displaystyle U(a,b,z)=z^{1-b}U\left(1+a-b,2-b,z\right)} . 很多特殊函数都是合流超几何函数的特殊情形。 第一类、第二类虚宗量贝塞尔函数可以分别表示为： I ν ( z ) = z ν 2 ν e z Γ ( ν + 1 ) M ( ν + 1 2 ,...

\mathbb {R} } ； J n ( z ) {\displaystyle J_{n}(z)} 是 n {\displaystyle n} 阶第一类贝塞尔函数，比如下面是其麦克劳林级数展开形式：[來源請求] J n ( z ) = ∑ k = 0 + ∞ ( ( − 1 ) k k ! ( n + k...

{\displaystyle \rho =x^{2}+y^{2}} . J 1 ( π ρ ) {\displaystyle J_{1}(\pi \rho )} 是第一类贝塞尔函数 Richard E. Blahut (2004-11-18). Theory of Remote Image Formation. Cambridge...

赫尔曼·汉克尔（德語：Hermann Hankel，1839年2月14日—1873年8月29日）是一名德国数学家，生于萨克森-安哈尔特州哈雷市。 汉克尔曾与莫比乌斯、黎曼、维尔斯特拉斯和克罗内克等数学家共同学习和工作。 汉克尔著名的贡献包括他提出的贝塞尔方程的一类特殊函数解（称为“第三类贝塞尔函数...

} 为Γ函数， K ν {\displaystyle K_{\nu }} 为第二类贝塞尔函数，ρ与ν则为协方差的非负参数。 带马特恩协方差函数的高斯过程的样本轨道是 ⌊ ν − 1 ⌋ {\displaystyle \lfloor \nu -1\rfloor } 次可微的。 径向基函数 Minasny...

q-贝塞尔多项式，也称q-贝塞尔函数，其通过基本超几何函数定义： y n ( x ; a ; q ) = 2 ϕ 1 ( q − N − a q n 0 ; q , q x ) {\displaystyle y_{n}(x;a;q)=\;_{2}\phi _{1}\left({\begin{mat...

广义超几何函数（generalized hypergeometric function），有时也称超几何函数，是一个用幂级数定义的函数，其中幂级数的系数由若干个升阶乘的积和商给出。下文中用“超几何函数”一词代指广义超几何函数，而用“高斯超几何函数”一词代指 p=2、 q=1 时的广义超几何函数。 超几何函数是用幂级数定义的：...