行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，其定义也被推广到诸如线性自同态和向量组等结构上。 行列式的特性可以被概括为一个交替多线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。...

matrix）是函數的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵。 當其為方形矩阵時，其行列式称为雅可比行列式（Jacobi determinant）。要注意的是，在英文中雅可比矩陣跟雅可比行列式都可稱作Jacobian。 其重要性在於，如果函數f : ℝn → ℝm 在點 x 可微的話，在點...

{\displaystyle \mathbf {A} } 的逆矩阵存在，则称 A {\displaystyle \mathbf {A} } 为非奇异方阵或可逆方阵。 與行列式類似，逆矩陣一般用於求解聯立方程組。 如果矩阵 A {\displaystyle A} 可逆，则 A − 1 = a d j ( A ) det (...

以下是一些重要的性質： 作為一個线性映射（变换矩阵），正交矩陣保持距離不變，所以它是一個保距映射，具體例子為旋转與鏡射。 行列式值为+1的正交矩阵，稱為特殊正交矩阵，它是一個旋转矩阵。 行列式值为-1的正交矩阵，稱為瑕旋轉矩陣。瑕旋轉是旋轉加上鏡射。鏡射也是一種瑕旋轉。 所有 n × n {\displaystyle...

定义：A关于第i行第j列的余子式（记作Mij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(n − 1)×(n − 1)矩阵的行列式。 定义：A关于第i行第j列的代数余子式是： C i j = ( − 1 ) i + j M i j {\displaystyle \mathbf...

在数学中，朗斯基行列式（Wronskian）名自波兰数学家約瑟夫·瑪麗亞·何內-朗斯基，是用于计算微分方程的解空间的函数。 对于给定的 n 个n-1 次连续可微函数，f1、...、fn，它们的朗斯基行列式 W(f1, ..., fn) 为： W ( f 1 , … , f n ) = | f 1 f...

的雏形。矩阵正式作为数学中的研究对象出现，则是在行列式的研究发展起来后。逻辑上，矩阵的概念先于行列式，但在历史上则恰好相反。日本数学家关孝和（1683年）与微積分的發現者之一戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（1693年）近乎同时独立建立了行列式論。其后行列式作为解线性方程组的工具逐步发展。1750年，加布里尔·克拉默发现了克莱姆法则。...

在線性代數中，餘因子是一種關於方陣之逆及其行列式的建構，餘因子矩陣的項是帶適當符號的子行列式。 對一個 n × n {\displaystyle n\times n} 矩陣 A {\displaystyle A} ，在 ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} 的子行列式（余子式） M i j {\displaystyle...

在线性代数中，一个矩阵A的子式是指将A的某些行与列的交点组成的方阵的行列式；而A的余子式（又称余因式或余因子展开式，英語：minor）是指将A的某些行与列去掉之后所余下的方阵的行列式，其相应的方阵有时被称为余子阵。 将方阵A的一行与一列去掉之后所得到的余子式可用来获得相应的代数余子式（英語：cof...

I_{n}B=B} 单位矩阵的特征值皆为1，任何向量都是单位矩阵的特征向量。具有重數 n {\displaystyle n} 。因为特征值之积等于行列式，所以单位矩阵的行列式为1。因为特征值之等于迹数，单位矩阵的迹为 n {\displaystyle n} 。 在部分領域中，如量子力學，單位矩陣是以粗體字的1表示，否則無法與I作區別。...

李代数的指数映射的像总是位于含有单位元的李群的连通分支内。在李群O(n)的情况中，这个连通分支是特殊正交群SO(n)，由所有行列式为1的正交矩阵组成。因此R = exp(A)的行列式为+1。于是，每一个行列式为1的正交矩阵都可以写成某个斜对称矩阵的指数。 斜埃尔米特矩陣 辛矩阵 Eves, Howard. Elementary...

斯莱特行列式是多电子体系波函数的一种表达方式，他以量子物理学家斯莱特的名字命名。这种形式的波函数可以满足对多电子波函数的反对称要求（即所谓泡利原理）：交换体系中任意两个电子，则波函数的符号将会反转。在量子化学中，所有基于分子轨道理论的计算方法都用斯莱特行列式的形式来表示多电子体系的波函数。 斯莱特行列式...

上矩陣是可逆的，當且僅當它的行列式是非零的。因此GL(n, F)的一個可替代定義是帶有非零行列式的矩陣。 在交換環 R 上，必須稍微小心一下：在 R 上的矩陣是可逆的，當且僅當它的行列式是 R 中的可逆元，就是說它的行列式在 R 中是可逆的。因此GL(n, R)可以被定義為行列式為可逆元的矩陣的群。 在非交換環...

v_{i},v_{j}\rangle } 给出。 格拉姆矩陣的一个重要应用是驗證一組向量是否線性獨立：一組向量彼此線性獨立当且仅当其格拉姆行列式（格拉姆矩阵的行列式）不等于零。 格拉姆矩阵以丹麦数学家约尔根·佩尔森·格拉姆（英语：Jørgen Pedersen Gram）命名。 最常见地，向量是欧几里得空间中元素，或...

莱布尼兹公式可以指： 牛顿-莱布尼兹公式：定積分可以用反導函數計算（微積分第二基本定理）。 π的莱布尼茨公式：將π/4寫成單位分數的（帶正負號）無窮和。 行列式的萊布尼茨公式：行列式的一種定义 莱布尼兹法则：高阶导数的求法...

克萊姆法則或克拉瑪公式（英語：Cramer's rule / formula）是一個線性代數中的定理，用行列式來計算出線性等式組中的所有解。這個定理因加百列·克萊姆（1704年 - 1752年）的卓越使用而命名。在計算上，並非最有效率之法，因而在很多條等式的情況中沒有廣泛應用。不過，這一定理在理論性方面十分有效。...

一元素在一體K內的方陣M為可逆的（在所有相同大小方陣的集合內，於矩陣乘法下）若且唯若其行列式不等於零。若M的行列式為零，它便不可能會有一單面逆元素，因此一單面逆元素必為兩面逆元素。更多詳情請參見逆矩陣。 更一般地，一元素在一可交換環R內的方陣是可逆的若且唯若其行列式在R是可逆的。 一函數g是一函數f的左（右）逆元素（在複合函數之下），若且唯若當...

計算各基本平面圖形面積及基本立體圖形的表面積公式早已為古希臘及古中國人所熟知。 面積在近代數學中佔相當重要的角色。面積除與幾何學及微積分有關外，亦與線性代數中的行列式有關。在分析學中，平面的面積通常以勒貝格測度（英語：Lebesgue measure）定義。 最基本的面積公式是長方形的公式。當l是長，w是寬時，其公式為：...

人家会多一天井。房屋的建筑材料以黄泥、沙、石灰为主，采光较差。广府型民居多用青砖垒筑，宗祠排在前排或建在围外；或者以宗祠的建筑为中心，其他的房屋以行列式的组合方式在祠堂的左、右、后方有序的建造。以若干房间为一排依次序而建，前排的地势稍低，后排的略微高出，后面有龙山、风水林。排屋与排屋之间留小巷，若...

在数学中，拉普拉斯展开（英語：Laplace expansion，或称拉普拉斯公式）是一个关于行列式的展开式。将一个 n × n {\displaystyle n\times n} 矩阵 B {\displaystyle B} 的行列式进行拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵 B {\displaystyle B}...

行列式印表機是一种可以同时打印一行的高速撞击式印表機。它们大多在计算机时代初期出现，但是至今这种技术仍在使用。行列式印表機通常打印速度约为600~1200行/分钟（大约是10到20页/分钟）。 有四种典型设计： 滚筒式印表機 链条式印表機 条式印表機 梳式印表機...

j}=\alpha _{i}^{j-1}} （部分作者將上述矩陣寫成轉置後的形式，也就是一整排的 1 不列在左邊，而是列在上面。） n階范德蒙矩陣為方塊矩陣，其行列式可以表示為： det ( V ) = ∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( α j − α i ) {\displaystyle \det(V)=\prod...

\sum _{i=1}^{n}\det(x_{1},x_{2},\cdots ,f(x_{i}),\cdots ,x_{n})} 根据行列式理论，这个函数也是一个行列式型的函数，也就是说存在一个只取决于 f {\displaystyle f} 的量 S p ( f ) {\displaystyle \mathrm...

线性代数中，柯西-比内公式（Cauchy–Binet formula）将行列式的可乘性（两个方块矩阵的行列式等于两个行列式的乘积）推广到非方块矩阵。 假设 A 是一个 m×n 矩阵，而 B 是一个 n×m 矩阵。如果 S 是 { 1, ..., n } 中具有 m 个元素的子集，我们记 AS 为 A...

是一个实向量空间，b1 和 b2 是 V 的两个有序基。线性代数中一个标准结论说存在惟一一个线性变换 A : V → V，将 b1 变为 b2。如果 A 的行列式为正，则称基 b1 与 b2 有相同定向（或一致定向）；不然它们有相反的定向。有相同定向的性质在 V 的所有有序基上定义了一个等价关系。如果 V...

矩阵与行列式 矩阵 · 行列式 · 线性方程组 · 秩 · 核 · 跡 · 單位矩陣 · 初等矩阵 · 方块矩阵 · 分块矩阵 · 三角矩阵 · 非奇异方阵 · 转置矩阵 · 逆矩阵 · 对角矩阵 · 可对角化矩阵 · 对称矩阵 · 反對稱矩陣 · 正交矩阵 · 幺正矩阵 · 埃尔米特矩阵 · 反埃尔米特矩阵...

方塊矩陣 A {\displaystyle A\,} 的行列式是其 n {\displaystyle n\,} 個特征值的積，但亦可經由莱布尼茨公式計算出來。可逆矩陣正好是那些行列式非零的矩陣。 高斯-若爾當消元法非常重要，可以用来計算矩阵的行列式，秩，逆矩陣，并解決線性方程組。 矩陣的迹是 n × n...

I_{n}} 是 n × n {\displaystyle n\times n} 單位矩陣。此外， Ω {\displaystyle \Omega } 行列式值等於一，且其逆矩陣等於 − Ω {\displaystyle -\Omega } 。 凡扭對稱矩阵皆可逆，其逆矩陣可表為 M − 1 = Ω −...

学）中。由于线性代数是一套完善的理论，非线性数学模型通常可以被近似为一般線性模型。 线性代数的研究最初出现于对行列式的研究上。行列式当时被用来求解线性方程组。莱布尼茨在1693年使用行列式。随后，加布里尔·克拉默在1750年推导出求解线性方程组的克萊姆法則。然后，高斯利用高斯消元法发展出求解线性系...

u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3},u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}\end{pmatrix}}} 外积可以表达为这样的行列式： u × v = | i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 | {\displaystyle \mathbf {u\times...

-\lambda \mathbf {I} } 的行列式必须是零： det ( A − λ I ) = 0 {\displaystyle \det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0} det: determinant，行列式 按照行列式的展开定义，上面式子的左端是一个关于...