體上的代數（algebra over a field）或體代數，一般可簡稱為代數，是在向量空間的基礎上定義了一個雙線性的乘法運算而構成的代數結構。根據此乘法是否具有結合律，可以進一步地分成結合代數以及非結合代數兩類。如果乘法單位元包含在此代數裡，則稱為單位代數。 若沒有特別指明，通常假設此代數...

在數學上，一個域 F {\displaystyle F} 被稱作代數閉域，若且唯若任何係數属于 F {\displaystyle F} 且次數大於零的單變數多項式在 F {\displaystyle F} 裡至少有一個根。代数闭域一定是无限域。 舉例明之，實數域並非代數閉域，因為下列實係數多項式無實根：...

在抽象代数中，體（德語：Körper，英語：field）是一种具有加法跟乘法的集合（代数结构），且其加法跟乘法運算就如同普通的有理數還有實數。事實上，體正是数域以及四则运算的推廣，所以被廣泛運用在代數、數論等數學領域中。 體是环的一種。但區別在於域要求它的非零元素可以做除法，且體的乘法有交換律。...

代数基本定理（英語：fundamental theorem of algebra）说明，任何一个一元複系数多项式方程都至少有一个複数根。也就是说，複數域是代数封闭的。 有时这个定理表述为：任何一个非零的一元n次複系数多项式，都正好有n个複数根（重根視為多個根）。这似乎是一个更强的命题，但实际上...

X 上的 σ-代数（英語：σ-algebra）又叫 σ-域（英語：σ-field），是 X 的某群子集合所構成的特殊子集族。这个子集族对于補集运算和可數個聯集运算具有封闭性（因此对于可數個交集运算也是封闭的）。σ-代数在測度論裡可以用来定义所谓的“可测集合”，是测度论的基础概念之一。 σ-代数的...

代数几何（英語：algebraic geometry）是数学的一个分支，经典代数几何研究多项式方程的零点。现代代数几何将抽象代数，尤其是交换代数，同几何学的语言和问题结合起来。 代数几何的基本研究对象为代数簇。代数簇是由空间坐标的若干代数方程的零点集。常见的例子有平面代数...

的，从而就是M，于是f属于C。这便是说模M的自同态环是C，即“尽可能小”。更一般地，这个结论对任何代数封闭域上的代数以及至少是可数维单模也成立。如果域不是代数封闭的，自同态环尽可能小的情形是特别感兴趣的：一个k-代数上的单模称为绝对单如果其自同态环同构于k。这个条件一般强于是域k上的...

数域是近世代数学中常见的概念，指对加减乘除四则运算封闭的代数结构。通常定义的数域是指复数域 C {\displaystyle \mathbb {C} } 的子域。“数域”一词有时也被用作代数数域的简称，但两者的定义有细微的差别。 设 P {\displaystyle {\mathcal {P}}} 是复数域...

代数数域是数学中代数数论的基本概念，数域的一类，有时也被简称为数域，指有理数域 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的有限扩张形成的扩域。任何代数数域都可以视作 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上的有限维向量空间。 对代数数域的...

代數數（英語：algebraic number）是代数与数论中的重要概念，指任何整係數多项式的複根。 所有代数数的集合构成一个域，称为代数数域（与定义为有理数域的有限扩张的代数数域同名，但不是同一个概念），记作 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 或 Q ¯ {\displaystyle...

域扩张的基域，L称为K的扩域:2。如果某个域F既是K的扩域，又是L的子域，则称域扩张F/K是域扩张L/K的子扩张，称F（域扩张L/K的）中间域。 域扩张的记法L/K只是形式上的标记，不表示存在任何商环或商群等代数结构。有些文献中也会将域扩张记为L:K。 另外，因为ι是域...

可分扩张是抽象代数之域扩张理论中的概念。如果一个代数扩张L/K满足：任何一个L中元素在基域K上的极小多项式都是可分多项式，那么这个扩张就称作可分扩张。由于特征为0的域（包括常见的有理数域 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } ）以及有限域都是完美域，任何这些域上的代数...

数学上，李代数是一个代数结构，主要用于研究像李群和微分流形之类的几何对象。李代数因研究无穷小变换的概念而引入。“李代数”（以索菲斯·李命名）一词是由赫尔曼·外尔在1930年代引入的。在旧文献中，无穷小群指的就是李代数。 李代數是一个在域 F 上的向量空間 g {\displaystyle {\mathfrak...

非结合代数（或分配代数，distributive algebra）是域上的代数，其中乘法不必遵循结合律。即，有代数结构A、域K，若A是K上配备K-双线性乘法 A × A → A {\displaystyle A\times A\to A} （不必符合结合律）的向量空间，则称其为K上的非结合代数...

有限域在许多数学和计算机科学领域的基础，包括数论、代数几何、伽羅瓦理論、有限幾何學、密码学和编码理论。 有限域的阶（有限域中元素的个数）是一个素数的幂。 对于每个素数p和每个正整数n在同构的意义下存在惟一的 p n {\displaystyle p^{n}} 阶的有限域，并且所有元素都是方程 x p...

上聲名顯赫的人物。帕维尔·亚历山德罗夫、阿爾伯特·愛因斯坦、讓·迪厄多內、赫爾曼·外爾和諾伯特·維納等學者都把諾特譽為歷史上最傑出的女性數學家。她所開發的數學領域包括環、域和域上的代數；在物理方面，她所證明的諾特定理揭示了對稱性和守恆定律之間的緊密關係。 諾特出生於德國法蘭克尼亞地區埃爾朗根鎮的...

在代數幾何中，一條代數曲線是一維的代數簇。最典型的例子是射影平面 P 2 {\displaystyle \mathbb {P} ^{2}} 上由一個齊次多項式 f ( X , Y ) {\displaystyle f(X,Y)} 定義的零點。 定義在域 F {\displaystyle F} 上的仿射代數曲線可以看作是...

在集合代数中，域，或者代数，是指一种有序对 ( Ω , F ) {\displaystyle \,(\Omega ,{\mathcal {F}})\,} ，其中 Ω {\displaystyle \Omega } 是集合， F {\displaystyle \,{\mathcal {F}}\,} 是由集合...

代數的研究對象不僅是數字，还有各種抽象化的結構。例如整數集作為一個帶有加法、乘法和序關係的集合就是一個代數結構。在其中我們只關心各種關係及其性質，而對於「數本身是甚麼」這樣的問題並不關心。常見的代數結構類型有群、環、域、模、線性空間等。 代數的起源可以追溯到古巴比倫的時代，當時的人們發展出了較之前更進步的算術系統，使其能以代數的...

。 代数扩张的基础是代数元的概念。给定域扩张L/K，L某个元素如果是一个以K中元素为系数的非零多項式的根，则称其为K上的代数元。如果L中所有元素都是K上的代数元，就称域扩张L/K为代数扩张。 設有域擴張L/K，L可以看作是K上的向量空間，将其維度稱作這個擴張的次數，记作[L:K]。有限次數的...

在數學中，代數數論（英語：Algebraic number theory）是數論的一支，在这个数学分支中，「數」的概念延伸到代数数上，以解決具體的數論問題。這類數是有理係數多項式的根。與此相關的概念是數域，這是有理數域的有限擴張。依照同样的动机，整數可以被推广为為代數整數，然后研究一個數域裡的代數整數。...

在泛代数中代数结构（英語：Algebraic structure）是在一种或多种运算下封闭的一个或多个集合。 例如，群、环、域和格的代数结构。更复杂的结构可以被定义为通过引入多个操作，不同的基础集，或通过改变限定公理。更复杂的代数结构的实例包括向量空间，模和代數 (環論)。关于代数结构的的详细情况，参见各个链接。...

theory）是对函数空间上线性算子的研究，始于微分算子和积分算子。算子可按特征抽象地表示，例如有界线性算子和闭算子，也可以考虑非线性算子。研究在很大程度上依赖于函数空间的拓扑，是泛函分析的分支。 若算子集合构成域上的代数，则就是算子代数。对算子代数的描述是算子理论的一部分。 单算子理论涉及算子的性质与分类，如据谱分类正规算子。...

泛函分析中，得名于斯特凡·巴拿赫的巴拿赫代数是实数或复数（或非阿基米德完备赋范域）上的结合代数A，同时也是巴拿赫空间，即在范数导出的度量中完备的赋范空间。范数要满足 ‖ x y ‖   ≤ ‖ x ‖ ‖ y ‖ ∀ x , y ∈ A . {\displaystyle \|x\,y\|\ \leq...

在抽象代數中，一個域上的代數元 α {\displaystyle \alpha } 之極小多項式（或最小多項式）是滿足 P ( α ) = 0 {\displaystyle P(\alpha )=0} 的最低次首一多項式(多項式內最高次項之係數為1) P {\displaystyle P} 。此概念對線性代數與代數擴張的研究極有助益。...

在抽象代数中，内部代数是采用了集合的拓扑内部概念的特定类型的代数结构。内部代数之对于拓扑和模态逻辑 S4 如同布尔代数之对于集合论和普通命题逻辑。内部代数形成了模態代數的一个簇。 内部代数是带有如下标识(signature)的代数结构< S, ·, +, ', 0, 1, I >，其中< S, ·,...

在数学中，赋范代数 A 指具备次可加范数的域上的代数： ∀ x , y ∈ A ‖ x y ‖ ≤ ‖ x ‖ ‖ y ‖ {\displaystyle \forall x,y\in A\qquad \|xy\|\leq \|x\|\|y\|} 视需要，有时要求赋范代数具有乘法恒等元 1A，并满足 ║1A║...

R} 成为实封闭域的最主要的实例。证明这一点就是对代数基本定理的证明的前半部分。 实数集拥有一个规范的测度，即勒贝格测度。 实数集的上确界公理用到了实数集的子集，这是一种二阶逻辑的陈述。不可能只采用一阶逻辑来刻画实数集：1. Löwenheim-Skolem定理说明，存在一个实数集的...

次分圆域，记作 Q ( ζ n ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})} 。 由于与费马最后定理的联系，分圆域在现代代数和数论的研究中扮演着重要的角色。正是因为库默尔对这些数域上（特别是当 p为素数时）的算术的深入研究，特别是在相应整环上唯一分解定理的...

代数簇、代數區體，亦作代數多樣體，是代數幾何學上多项式集合的公共零点解的集合。代数簇是经典（某种程度上也是现代）代数几何的中心研究对象。 術語簇（variety）取自拉丁语族中詞源（cognate of word）的概念，有基於“同源”而“變形”之意。 历史上，代数基本定理建立了代数和几何之间的...

program)是由数论中的朗兰兹纲领陈述在代数曲线的函数域上而得到的一系列猜想与结论。它联系了代数几何、表示论与量子场论，并对这些学科都产生了深远的影响。在定义于有限域的代数曲线上证明朗兰兹纲领的想法出自于德林費爾德对 G L 2 {\displaystyle \mathrm {GL} _{2}} 情形的证明。洛朗·拉福格推广了他的技巧，给出了...