在數學中，辗转相除法，又称欧几里得算法（英語：Euclidean algorithm），是求最大公约数的算法。辗转相除法首次出现于欧几里得的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。 两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。辗转相除法...

为a的绝对值），然后令 x ′ = ( − x ) {\displaystyle x'=(-x)} 。 在欧几里得算法中，我们仅利用了每步带余除法所得的余数。扩展欧几里得算法还利用了带余除法所得的商，在辗转相除的同时也能得到貝祖等式中的x、y两个系数。以扩展欧几里得算法求得的系数是满足裴蜀等式的最简系数。...

相比质因数分解法，辗转相除法的效率更高。 计算 gcd ( 18 , 48 ) {\displaystyle \gcd(18,48)} 时，先将48除以18得到商2、余数12，然后再将18除以12得到商1、余数6，再将12除以6得到商2、余数0，即得到最大公因数6。我们只关心每次除法...

。在整数除法裡，余数可以要求为负，即满足关系： − | d | < r ≤ 0 {\displaystyle -\left\vert d\right\vert <r\leq 0} 。 如上在实数范围内扩展余数的定义在数学理论中并不重要；尽管如此，很多程序语言都实现了这个定义—参同餘。 整除 中国剩余定理 同余 輾轉相除法...

{\displaystyle r} ”。 带余除法的计算有长久的历史，有各种计算工具和计算方法。最常用的是长除法（竖式除法）。带余除法在数论中有不少用途，比如说辗转相除法的基本步骤就是带余除法。术语“欧几里得除法”是在二十世纪期间作为“欧几里得环的除法”的简称而介入的。 以下是整数带余除法...

P_{1}(y)=((-b/c)y)P_{2}(y),} 得到 P 3 ( y ) = 0 {\displaystyle P_{3}(y)=0} ，于是輾轉相除法结束。 注意在第一次除法中，必须假设 b 不为零。在此情形下，广义施图姆链为 ( P 0 ( y ) , P 1 ( y ) , P 2 ( y ) ) =...

在抽象代數中，歐幾里得整環（[Euclidean domain] 错误：{{Lang}}：无效参数：|3=（帮助））是一種能作輾轉相除法的整環。凡歐幾里得整環必為主理想環。 一個歐幾里得整环是一整環 D {\displaystyle D} 及函數 v : D ∖ { 0 } → N ∪ { 0 }...

{\displaystyle r} 的非负性及小于除数绝对值的性质确保了分解的唯一性。 该定义是数论中整除、同余等概念的基础，并广泛用于模运算、輾轉相除法等算法中。 带余除法的概念，已能凸显​​除零问题​​的本质：如何将一个量分成0份？显然，这没有实际意义。 随后，我们引入十进制数​​的概念，并通过​​递归...

{\displaystyle (a,b)=1} 。 例如8與10的最大公因數是2，不互質。 又如7、10、13的最大公因數是1，因此互質。 最大公因数可以通过辗转相除法得到。 三个或三个以上的整數互質有两种不同的情况： 這些整數的最大公因數是1，我們直接稱這些整數互質，也稱為整集互質（英語：setwise coprime）。以...

a ˙ ≡ 1 ( mod n ) {\displaystyle a^{-1}{\dot {a}}\equiv 1{\pmod {n}}} 可用輾轉相除法、歐拉定理、卡邁克爾函數求解。 存在最小的正整数d使得 a d ≡ 1 ( mod n ) {\displaystyle a^{d}\equiv...

10 22 {\displaystyle {\frac {1}{x^{2}+2x+3}}={\frac {x^{2}-6x+10}{22}}} 辗转相除法 数学主题 分母有理化与分子有理化. [2013-10-10]. （原始内容存档于2019-06-03）.  韩士安 林磊. 近世代数（第二版）...

這裡德文的方法（verfahren），就是英文所謂的演算法（algorithm）。對於演算法的概念我們是不陌生的，例如遠在古希臘時代，人們就知道可以使用輾轉相除法，求兩個自然數的最大公約數。還有，任給一個自然數，也存在著一個方法，在有限步驟內，可以判定這個數是不是質數。 雖然人們很早就有了演算法...

e_{3i})}=\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{\max(e_{1i},e_{2i},e_{3i})}} ， 证毕。 以下使用輾轉相除法求得最大公因數，之後再求最小公倍數。 int GCD(int a, int b) { if(b) while((a %= b) && (b %=...

梅森素数 孪生素数 三胞胎素数 四胞胎素数 x²+1素数 六素数 表兄弟素数 素数判定法则 因數 整除性的問題 最大公因數 輾轉相除法 質因數分解 素数公式 埃拉托斯特尼筛法 有趣的数 完全数 多重完全數 自守数 金兰数（Amicable Triple） 亲和数 拟形数 纯元数 回文数 卡普列加数...

可簡化的分數。如果分數的分子和分母劃分為它們的最大公因數，而這一項方法可以完全降低至最低的簡化條件。為了找出分子和分母的最小公因數，當然可以使用輾轉相除法或整数分解，就是要解決分數的分子和分母過大的問題。 最簡分數例如 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} 、 4 19...

第八卷：數論（二）。本卷繼續討論初等數論，包括歐几里得輾轉相除法、各種數的關係（如質數、合數、平方數、立方數等）。 第九卷：數論（三）。本卷設計了比例、幾何級數，給出了許多重要的初等數論定理。 第十卷討論了無理數。 第十卷：無理數。本卷定義了無理量（即不可公約量），並蘊含了極限思想（如窮竭法）。本卷篇幅最大，也較不易理解。...

Mauchly）的一篇文章裡，然而利用已排序的物件序列去加快搜尋的構想早已在公元前200年的巴比倫尼亞出現。另一個單一子問題的分治算法是找出2個數的最大公因數的輾轉相除法（透過將數字化小至使子問題變得簡單），於公元前數世紀已經出現。 一個早期有多個子問題的分治算法是高斯在1805年描述關於快速傅立葉变换的算法，儘...

_{P(x)=0}Q(x)\,} 此式僅依賴於 Q {\displaystyle Q} 除以 P {\displaystyle P} 的餘式。 承上，可透過輾轉相除法求得結式。 r e s ( P , Q ) = ( − 1 ) deg ⁡ P ⋅ deg ⁡ Q ⋅ r e s ( Q , P ) {\displaystyle...

|a/d|} ，等號只會在 a {\displaystyle a} 及 b {\displaystyle b} 其中一個是另一個的倍數時成立。輾轉相除法給出的解會是這兩解中的一個。 丟番圖方程 504 x + 651 y = 14 {\displaystyle 504x+651y=14}...

下列輾轉相除法編程碼的抽象語法樹: while b ≠ 0: if a > b: a := a - b else: b := b - a return a...

進制之間的轉換。 用于求取最大公约数的輾轉相除法使用取模运算。 密码学中的应用：从古老的凯撒密码到现代常用的RSA、椭圆曲线密码，它们的实现过程均使用了取模运算。 模 (消歧义)和模 (术语)（英语：modulo (jargon)） —— “模数（Modulo）”这个词的许多用法，都是 1801 年卡爾·弗里德里希·高斯引入模算數时产生的。...

{\displaystyle N} 計算最大公因數gcd（ a {\displaystyle a} , N {\displaystyle N} ）。這裡可以使用輾轉相除法來計算。 若gcd( a {\displaystyle a} , N {\displaystyle N} ) ≠ 1，則我們有了一個 N {\displaystyle...

，這是因為   7 ( m o d   5 ) = 2 {\displaystyle \ 7_{(}mod\ 5)=2} 。而除法能理解為對其乘法反元素作乘法，並可以使用擴充版的輾轉相除法來計算。   G F ( 2 ) {\displaystyle \ \mathrm {GF} (2)}...

Robison假設的丟番圖函數，因而證明了希爾伯特第十問題是不可解的。 考慮以輾轉相除法求兩個正整數的最大公因數，分析此算法的運行時間。同等輸入規模下，最壞情況（用時最長）發生於輸入為兩個相鄰斐氏數時。 归并排序算法有一多相（polyphase）版本用到斐氏數列，是將未排序的數組分為兩份，長度為相鄰...

x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}k_{i}M_{i}} 而计算乘率的方法就是大衍求一术。秦九韶完整地叙述了“大衍求一术”，其实质是辗转相除法的应用。于是，针对同余模数两两互素的情况，秦九韶得到了系统的解法，在模数不是两两同余时，需要将定数修正（剔除公因数）以应用大衍求一术。由于没有素...

b + y n {\displaystyle ax=b+yn} （ y {\displaystyle y} 是整数），也就是线性丢番图方程。运用辗转相除法可以求得该方程的解，有无限多个；但是在原同余方程中，解的个数受到 gcd ( a , n ) {\displaystyle \gcd(a,n)}...

乘法公式(交換律、結合律、分配律) 整係數多項式、多項式次數（粤语：多項式次數） 因式分解、因式定理、餘式定理、不可约多项式、艾森斯坦判別法 多項式除法、綜合除法、多項式輾轉相除法及最大公因數 代數方程、代數基本定理、根、解析解、重根、共軛複根、有理数根定理、根與係數、判別式、笛卡儿符号法则 多项式变换、配方法...

因數：b 可以被 a 整除。即稱 a 是 b 的因數。 最大公因數：能夠整除多個整數的最大正整數。 最小公倍數：能夠被多個整數整除的最小正整數。 輾轉相除法：求最大公因數的算法。 互素：多個整數的最大公因數為1。 歐幾里德引理：在歐幾里得《幾何原本》中提出，和三個整數整除和互質關係有關的定理...

數論早期也稱為「算術」（arithmetic），而算術一詞則表示「基本運算」，在现代数论诞生前，早期铺垫有三大内容： 欧几里得证明质数无穷多。 寻找质数的埃拉托斯特尼筛法；欧几里得求最大公约数的辗转相除法。 公元420至589年（中国南北朝时期）的孙子定理。 在中世紀早期，除了1175年至1200年住在北非和君士坦丁堡的数学家斐波那契...

的最大公因數將給我們這些因數；而這可以輾轉相除法快速得出。 平方同餘在整數分解演算法裡相當地有用、且廣為使用於，舉例來說，二次篩選法、 普通數域篩選法、連續分數因式分解法、 以及狄克森因式分解法。反過來說，因為要找到模一合數下的平方根概率上在多項式時間等價於分解該數， 任何整數分解演算法皆用於找到一個平方同餘數。...

第一部分：同余概论。建立了到今天仍在使用的同余的概念和记号。 第二部分：主要研究线性同余方程，给出了算术基本定理、辗转相除法、中国剩余定理等初等数论的基本结果。 第三部分：“幂剩余论”。讨论了费马小定理、原根的存在性和威尔逊定理。...