常微分方程数值方法是用以寻找常微分方程（ODE）解的数值近似值的方法。其使用也称作“数值积分”，不過「数值积分」主要是指积分的计算。 很多微分方程无法精确求解。但在工程学等领域的实际应用中，通常只需得到数值近似解。本文介绍的算法可用于计算这种近似值，另一种方法是用微积分技术得到解的级数展开表达。...

在数学和计算机科学中，欧拉方法（英語：Euler method），是一种一阶数值方法，用以对给定初值的常微分方程求解。 欧拉方法是常微分方程數值方法中最基本的显式方法；是一阶的方法，意味着其局部截断误差正比于步长的平方，并且其全局截断误差正比于步长。 考虑计算這樣的一个未知曲線的形状：它具有给定的起点并且满足一个给定的微分方程。...

数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。 微分方程可分為以下幾類，而隨著微分方程種類的不同，其相關研究的方式也會隨之不同。 常微分方程（ODE）是指一微分方程的未知數是單一自變數的函數。最簡單的常微分方程...

微分方程组或积分方程组数值解的數值方法。 在解偏微分方程的过程中，主要难点是如何构造一个方程来逼近原本研究的方程，并且该过程还需要保持数值稳定性。目前有许多处理的方法，他们各有利弊。当区域改变时（就像一个边界可变的固体），当需要的精确度在整个区域上变化，或者当解缺少光滑性时，有限元方法...

偏微分方程数值方法是数值分析的一个分支，研究如何得到偏微分方程(PDE) 的数值解。 一般来说，对于双曲型方程、 抛物型方程或椭圆方程都有专门的数值方法。   在这种方法中，函数由它们在某些网格点处的值表示，并通过这些值的差分来近似导数。 有限元法 (FEM)是一种数值技术，用于寻找微分方程...

在数学分析中，常微分方程（英語：ordinary differential equation，簡稱ODE）是未知函数只含有一个自变量的微分方程。对于微积分的基本概念，请参见微积分、微分学、积分学等条目。 很多科学问题都可以表示为常微分方程，例如根据牛顿第二运动定律，物体在力的作用下的位移 s {\displaystyle...

幾何分析（英語：Geometric analysis）是數學分析的分支，把非線性偏微分方程的方法解決幾何和理論物理學問題的數學領域。 華人數學家丘成桐在1978年的國際數學家大會的大會報告中系統描繪了幾何分析與高維單值化理論的發展，丘成桐在微分幾何中系統地發展了偏微分方程的方法，解決了卡拉比猜想的证明，為幾何與分析的融合，現在被稱為幾何分析的數學分支作出了貢獻。...

顯式方法（explicit method）和隱式方法（implicit methods）是数值分析中計算以時間為自變數的常微分方程和偏微分方程的數值近似法，也是偏微分方程中计算机模拟會使用的方法。顯式方法會用系統目前的狀態來計算下一個時間的狀態，隱式方法會將系統目前狀態和下一個時間的狀態以方程式的...

数值分析軟體中重要的一部份。 数值分析的目的是設計及分析一些計算的方式，可針對一些問題得到近似但夠精確的結果。以下是一些會用利用数值分析處理的問題： 數值天氣預報中會用到許多先進的数值分析方法。 計算太空船的軌跡需要求出常微分方程的數值解。...

历史上，数学分析起源于17世纪，伴随着牛顿和莱布尼兹发明微积分而产生的。在17、18世纪，数学分析的主题，如变分法，常微分方程和偏微分方程，傅立叶分析以及母函数基本上发展于应用工作中。微积分方法成功的运用了连续的方法近似了离散的问题。 贯穿18世纪，函数概念的定义成为了数学家们争论的主题。到了19世纪，柯西通过引入...

隨機微分方程（英語：SDE, stochastic differential equation），是常微分方程的擴展，其项是随机过程，解也是随机过程。其形容一個隨機變數的變動過程，也就是常微分方程加上一個白噪音項。一般微分方程的對象為可導函數，並以其建立等式。然而，隨機過程函數本身的導數不可定義，...

離散動力系統。 在应用数学中，离散模型是连续模型的离散近似。在离散模型中，离散方程由数据确定。使用递推关系是这种建模方式的一般方法。 时标微积分是差分方程理论与微分方程理论的统一，应用在需要建立离散和连续同步数据模型的领域。 Richard Johnsonbaugh, Discrete Mathematics...

在常微分方程的数值计算中，几何积分是一种保留微分方程的流的精确几何特性的数值方法。 可考虑单摆运动以引出几何积分的研究。 设摆锤质量为 m = 1 {\displaystyle m=1} ，摆杆长度为 ℓ = 1 {\displaystyle \ell =1} 。设重力加速度为 g = 1 {\displaystyle...

据挖掘、生物信息学、流体动力学和其他很多领域。矩阵方法尤其用于有限差分法、有限元法和微分方程建模。尼克·特雷費森（英语：Nick Trefethen）和大衛·鮑三世（David Bau III）注意到数值线性代数的广泛应用，认为它“同微积分和微分方程一样是数学科学的基础”，尽管是个相对较小的领域。由...

数值分析与科学计算中，反向欧拉法或隐式欧拉法是求解常微分方程最基本的数值方法之一。其类似于（标准）欧拉法，不过是一种隱式方法。反向欧拉法的时间误差为一阶。 考虑常微分方程 d y d t = f ( t , y ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm...

伯努利微分方程是形式如 y ′ + P ( x ) y = Q ( x ) y n {\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,} 的常微分方程。 y ′ + P ( x ) y = Q ( x ) y n {\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\...

运算机科学高度发展的今天，其基础运算理论的发展使运算数学进入现代化阶段。 逼近论与函数逼近 非线性方程求解 矩阵及特征值理论 最优化及其算法 微分方程及其数值解 建立在上面基础之上的数学建模及其应用 计算科学家 信息与计算科学 Cucker, F. Foundations of Computational...

在数值分析中，數值積分（英語：Numerical integration）是计算定積分数值的方法和理论。在数学分析中，给定函数的定積分的计算不总是可行的。许多定积分不能用已知的積分公式得到精确值。数值积分是利用黎曼积分等数学定义，用数值逼近的方法近似计算给定的定积分值。借助于电子计算设备，数值积分可以快速而有效地计算复杂的积分。...

方法的總稱，研究如何應用數學知識到其他範疇（尤其是科學）的數學分支，可以說是純數學的相反，應用純數學中的結論擴展到物理學等其他科學中，應用數學的發展是以科學為依據，作為科學研究的後盾。包括線性代數、矩陣理論、向量分析、複變分析、微分方程、拉普拉斯變換、傅里葉分析、數值...

努梅罗夫方法属于四阶线性多步法，用于求解不出现一阶微分项的二阶常微分方程。努梅罗夫方法属于隐式方法，但如果微分方程线性，则可转化为显式方法。该方法由 俄国天文学家Boris Vasil'evich Numerov提出。 可由努梅罗夫方法求解的微分方程形式为 ( d 2 d x 2 + f ( x )...

在 数值分析 和 计算科学， 梯形法则 是一个 求解常微分方程的数值方法。 该方法由 梯形公式 推导出，用于计算积分。 梯形法则是一个隐式的二阶的方法，这可以被视为一个 龙格–库塔法 和 线性多步法. 假设我们欲求解如下微分方程 y ′ = f ( t , y ) . {\displaystyle y'=f(t...

在数学中，有限差分法（finite-difference methods，簡稱FDM），是一种微分方程数值方法，是通过有限差分來近似导數，从而寻求微分方程的近似解。 首先假設要近似函數的各級導數都有良好的性質，依照泰勒定理，可以形成以下的泰勒展開式： f ( x 0 + h ) = f ( x 0 )...

）是一种以数值方法解偏微分方程的計算方式。 在有限體積法中，將要描述的物理實體切分為網格單元來描述，並使用发散定理，將所有包含发散项的偏微分方程中的體積積分轉換為表面积分。然后將每個網格的项加總，便成為每個有限體積表面的通量。因为進入给定體積的通量与离开相鄰體積的通量相同，所以这些方法是守恆的。该方法用於许多计算流体动力学軟體。...

在数学領域中，剛性方程（stiffness equation）是指一个微分方程，其數值分析的解只有在時間間隔很小時才會穩定，只要時間間隔略大，其解就會不穩定。目前很難去精确地去定義哪些微分方程是刚性方程，然而粗略而言，若此方程式中包含使其快速變動的項，則其為剛性方程。 在積分微分方程時，若某一區域的解曲線（英语：Integral...

方法。这就需要计算机操作，至此，计算机使很多繁琐的统计研究变得可行。 最大似然估计用于根据观测数据估计假定概率分布的参数。其方法是最大化似然函数，使观测数据在假定的统计模型下最有可能实现。 蒙特卡洛法是依靠重复随机抽样获得数值结果的统计方法，其概念是利用随机性解决原则上确定性的问题，常...

微分方程。当f不是零函数时，所有的解构成一个仿射空间，由对应的齐次方程的解空间加上一个特解得到。这样的方程称为非齐次线性微分方程。线性微分方程可以是常微分方程，也可以是偏微分方程。 线性微分方程是一类特殊的微分方程。一个线性微分方程...

数值分析中, 冯诺依曼稳定性分析 (亦作傅立叶稳定性分析) 用于验证计算线性偏微分方程时使用特定有限差分法的数值稳定性，该分析方法基于对数值误差的傅立叶分解。1947年英国研究人员約翰·克蘭克和菲利斯·尼科爾森在文章中对该方法进行了简要介绍， 尔后又出现在冯诺依曼合作的文章中 。 洛斯阿拉莫斯国家实验室对该方法进行了进一步发展。...

形容词“连续”用于“算法”一词时，可以表示: 对表示连续数量的数据进行操作的算法，即使这些数据是由离散近似表示的ーー这种算法是在数值分析中研究的; 或 一种微分方程形式的算法，在模拟计算机上运行，不断地对数据进行操作。 基本算法 枚举 搜索 深度优先搜索 广度优先搜索 启发式搜索 遗传算法 数据结构的算法...

在数值分析中，预估-校正方法是一类求解常微分方程的算法 - 找到一个未知的函数以满足一定微分方程。 所有这类算法以如下两个步骤进行： 首先，"预估"步，基于之前若干步的一组函数值及导数值拟合出的函数出发，进而外插此函数在后续点的值。 其次，"校正"步，通过使用函数的 预估 值和 另一种方法...

张量 向量代数 多元微积分 外微积分 几何微积分（英语：Geometric calculus） 张量微积分 向量微积分 数值分析 数值线性代数 常微分方程数值方法 偏微分方程数值方法 变分法 概率论 概率分布（随机变量） 随机过程 / 随机分析 泛函积分 马利阿温微积分（英语：Malliavin calculus）...

一些有效的解析法解偏微分方程方法： 通过分离变量法减少偏微分方程中的变量，将一个偏微分方程分解成若干个常微分方程。 沿着一阶偏微分方程的特征线，偏微分方程简化为一个常微分方程。沿着特征线求出对应常微分方程的解就可以得到偏微分方程的解。 利用积分法，将偏微分方程变换为可分离的偏微分方程，方便求解。一般为傅里叶变换分析。...