在數學裡，代數整數（algebraic integer）是複數中的一类。一个複数α是代数整数当且仅当它是某个個整系數的首一多項式 P ( x ) {\displaystyle P(x)} 的根。其中首一（英文：monic）意謂最高冪次項的系數是1。 因此，所有代數整數都是代數數，但並非所有代數數都是代數整數。所有代数整数构成一个环，通常记作...

整數集作為一個帶有加法、乘法和序關係的集合就是一個代數結構。在其中我們只關心各種關係及其性質，而對於「數本身是甚麼」這樣的問題並不關心。常見的代數結構類型有群、環、域、模、線性空間等。 代數的起源可以追溯到古巴比倫的時代，當時的人們發展出了較之前更進步的算術系統，使其能以代數...

代數整數在加法、減法與乘法下構成一個環，但整數的許多性質並不能推廣到一般數域裡的代數整數上，其中一個例子是素因數分解的唯一性（又稱算術基本定理），這是十九世紀數學家試圖證明費馬大定理時遇到的主要阻礙，然而代數數論的應用不僅止於此。數學中一些較深入的理論有助於讓我們了解代數數與代數整數...

在代數數論中，這些屬於有理數的一般整數會被稱為有理整數，用以和高斯整數等的概念加以區分。 整數是一个集合，通常可以分为正整數、零（0）和負整數。正整數（符号：Z+或 Z + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}} ）即大於0的整數，是正数与整数的交集。而負整數（符号：Z-或 Z − {\displaystyle...

i}{3}}} 是三次单位根。艾森斯坦整数在复平面上形成了一个三角形点阵。高斯整数则形成了一个正方形点阵。 艾森斯坦整数环是仅有的九个由 Q ( D )   ( D < 0 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})~(D<0)} 中的代数整数构成的主理想环之一。另外的八个分别是...

代数整数是任何整系数首一多项式的根。显然代数整数是代数数的一部分，但代数数不全是代数整数。所有整数都是代数整数，其余的有理数则不是代数整数。代数整数的集合记作 A {\displaystyle \mathbb {A} } ，是代数数的子集。在某些上下文中，为了与代数整数区别，整数也被称作有理整数。...

种意义上推动了数学的发展，催生了大量的新思想和新方法。數論除了研究整數及質數外，也研究一些由整數衍生的數（如有理數）或是一些廣義的整數（如代數整數）。 整数可以是方程式的解（丟番圖方程）。有些解析函數（如黎曼ζ函數）中包括了一些整數、質數的性質，透過這些函數也可以了解一些數論的問題。透過數論也可以...

在抽象代數中，交換代數旨在探討交換環及其理想，以及交換環上的模。代數數論與代數幾何皆奠基於交換代數。交換環中最突出的例子包括多項式環、代數整數環與p進數環，以及它們的各種商環與局部化。 由於概形無非是交換環譜的黏合，交換代數遂成為研究概形局部性質的主要語言。...

的根。所以z是代数数。由上可知，任一代数数域的元素都是代数数。 代数整数是指能够成为某个首一整数系数多项式的根的数:4。显然代数整数是一种代数数。任何整数n都是一次整系数多项式X - n的根，因此是代数整数。给定代数数域F，F中所有代数整数构成一个环，称作F中的（代数）整数环，也称为F-整数环，记作 O...

在數學中，負一寫作 −1，是 1 的加法逆元，即當 −1 加上 1 之後就變為 0。−1 是介於 −2 與 0 之間的整數，亦是最大的負整數。 負一與歐拉恆等式相關聯，此恆等式表示為 e i π = − 1 {\displaystyle {{e}^{{i}\,{\pi }}}=-1} 。...

number）是指任何一個不是代數數的複數。只要它不是任何一個有理係數代數方程的根，它即是超越數。最著名的例子是自然對數底e以及圓周率π。 幾乎所有的實數和複數都是超越數，這是因為代數數的集合是可數集，而實數和複數的集合是不可數集之故。 超越數是代數數的相反，也即是說若 x {\displaystyle...

起初人們只覺得某部分的數是數，後來隨著需要，逐步將數的概念擴大；例如畢達哥拉斯認為，數必須能用整數和整數的比表達的，後來發現无理数無法這樣表達，引起第一次數學危機，但人們漸漸接受無理數的存在，令數的概念得到擴展。 數的算術運算（如加減乘除）在抽象代數這一數學分支內被廣義化成抽象數字系統，如群、環和體等。...

皮索特-維賈亞拉加文數（Pisot–Vijayaraghavan number，簡稱皮索數或PV數）是指一大於1的實數代數整數，且其共軛代數數的絕對值小於1。皮索數是在1912年由數學家阿克塞尔·图厄發現，後來1919年戈弗雷·哈羅德·哈代在研究丟番圖逼近時再度發現皮索數，但一直到1938年查理·皮索特（英语：Charles...

均是整數。若其中能找到一組整數解 m 1 , m 2 . . . m n {\displaystyle m_{1},m_{2}...m_{n}} 者則稱之有整數解。 丟番圖問題一般可以有數條等式，其數目比未知數的數目少；丟番圖問題要求找出對所有等式都成立的整數組合。换言之，丟番圖問題定義了代數...

在代數幾何中，一條代數曲線是一維的代數簇。最典型的例子是射影平面 P 2 {\displaystyle \mathbb {P} ^{2}} 上由一個齊次多項式 f ( X , Y ) {\displaystyle f(X,Y)} 定義的零點。 定義在域 F {\displaystyle F} 上的仿射代數曲線可以看作是...

整数，属于偶数，其既不是正数也不是负数。 0是大多数记数系统的位值记号，同样作为占位符数字使用。这种用法起源于印度数学，中世纪时经伊斯兰数学家传播到欧洲，并由斐波那契推广。玛雅人也独立使用了相关概念。 在数论中，0不属于自然数；但在集合论和计算机科学中，0属于自然数。0在整数、实数和其他的代数結構中都有著單位元這個很重要的性質。...

他是有領導地位的代數學家。他貢獻主要在代數數論，特別是類體論。他建立了L函數的其中一個構作方法。他對環、群和域等基本概念的整理亦有所建樹。他發展了代數拓撲的分枝辮理論。 他對伽羅瓦理論和同調群亦十分了解。 他留於後世有兩大猜想。兩者均未證，分別關於： 伽羅瓦群的阿廷L函數的線性表示 給定整數a，求a是不同質數p模的原根的頻率。...

1 {\displaystyle r^{-1}=r^{n-1}} 亦為 R {\displaystyle R} 的元素）。 在代數數論裡，狄利克雷单位定理證明了許多代數整數環內可逆元的存在域。例如，在環 Z ( 5 ) {\displaystyle \mathbb {Z} ({\sqrt {5}})}...

在數學的抽象代數中，環上的模（英語：module）是對體上的向量空間的推廣，這裡不再要求向量空間裡的純量的代數結構是體，進而放寬純量可以是環。模同時也是交換群的推廣，因為交換群與整數環上的模相同。 因此，模同向量空間一樣是加法交换群；在環元素和模元素之間定義了乘積運算，并且環元素和模元素的乘積是符合結合律的和分配律的。...

group）是代數數論的基本對象之一，簡稱類群。 一個代数数域K的理想类群是形如 JK /PK 的商群; 此处JK 是代数数域K的整数环的所有分式理想构成的群; 而PK是这个群的子群，包含所有可以被一个元素生成的分式理想(类似主理想的定义)。 理想类群在一定程度上可以测量K的整数环中算术基本定理(唯一分解)被破坏程度:...

抽象代数（英語：Abstract algebra）作为数学的一门学科，主要研究对象是代数结构，比如群、环、域、模、向量空间、格與域代数。「抽象代數」（abstract algebra）一詞出現於20世紀初，作為與其他代數領域相區別之學科。 代數結構與其相關之同態，構成數學範疇。範疇論是用來分析與比較不同代數結構的強大形式工具。...

在程式設計的型別系統中，数据类型（英語：Data type），又稱資料型態、資料型別，是用來約束数据的解釋。在程式語言中，常見的数据类型包括原始类型（如：整數、浮點數或字元）、多元組、記錄單元、代數資料類型、抽象数据类型、參考型別、类以及函式型別。資料類型描述了數值的表示法、解釋和結構，並以演算法操作，或是物件在記憶體中的儲存區，或者其它儲存裝置。...

Noether，1882年3月23日—1935年4月14日），德國數學家，是抽象代數和理論物理學上聲名顯赫的人物。帕维尔·亚历山德罗夫、阿爾伯特·愛因斯坦、讓·迪厄多內、赫爾曼·外爾和諾伯特·維納等學者都把諾特譽為歷史上最傑出的女性數學家。她所開發的數學領域包括環、域和域上的代數；在物理方面，她所證明的諾特定理揭示了對稱性和守恆定律之間的緊密關係。...

Wos、Steve Winker和Bob Veroff的工作之上，肯定的回答了这个长期存在的问题：所有的Robbins代数都是布尔代数。这项工作是使用McCune的自动推理程序EQP完成的。 布林代數的運算包含下列幾種，基本包含“與”(AND)、“或”(OR)、“非”(NOT)，其中由這三種又可組合成NAN...

表示對應的兩頂點之間是否有連邊。簡單無向圖的鄰接矩陣是實對稱矩陣，從而可正交對角化（英语：Orthogonal diagonalization），其特徵值皆是實代數整數。 雖然鄰接矩陣取決於如何標記頂點以作排序，但是矩阵的谱是圖不變量，不取決於標記方式。（不過也不是完備不變量，不足以完全刻畫圖的全部性質。）...

{\displaystyle \alpha } 的極小多項式的所有根的積。 代數整數的範數仍是代數整數。 在代數數論亦可為理想定義範數。若 I {\displaystyle I} 是代數數域 K {\displaystyle K} 的整數域 O k {\displaystyle O_{k}} 中的理想， N...

代數、代數數論與代數幾何裡的重要工具與研究對象。整數環的質理想為理想 (0)、(2)、(3)、(5)、(7)、(11)、…算術基本定理被廣義化成準素分解，可將每個在可交換諾特環裡的理想表示成準素理想（為質數冪次的一適合廣義化）的交集。 透過環的譜這個概念，質理想成為代數...

抽象代数中，环论（英語：Ring Theory）是針對一種稱為环的代数结构之研究，环類似可交換群，有定義運算「+」，此外又定義另一種運算「·」（此處的「+」和「·」不一定是一般的加法及乘法，但和在整數中定義的加法及乘法有類似性質）。环论研究環的結構、環的代數表現方式（英语：representation...

同構。 有理數域 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 是整數環 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 的分式環。 有理函數域是多項式環的分式環 代數數域是代數整數環的分式環。 在一個連通複流形上，亞純函數域是全純函數環的分式環。 對於一般的交換環...

整数可以被认为是自然数的扩展。負整數与0则统称为非正整数。 負整數是指小於零的整數。負整數存在最大值負一，但不存在最小值；負整數與負整數的和仍是負整數，而負整數與負整數的積會變為正整數。 由於負整數與負整數的積會變為正整數，因此負整數的平方與其相反數的平方數相同 (...

theory）是算术的同義詞。数论後來演變成研究整數的性質，以及一些有關質數、因數以及變數為整數的方程，例如費馬最後定理。其中一些問題很容易陳述，但問題的本質相當困難，需要用到許多其他數學分支的定理才能證明。 数论中的問題也帶來一些新的數學分支，例如解析數論、代數數論、丟番圖幾何及算术几何。像費馬最後定理...