(-,G(-))} ，則稱之為一對伴隨函子，其中 G {\displaystyle G} 稱為 F {\displaystyle F} 的右伴隨函子，而 F {\displaystyle F} 是 G {\displaystyle G} 的左伴隨函子。伴隨函子在範疇論中是個極基本而有用的概念。 設...

_{Y_{0}}} 中的函子C → D。常數函子亦之稱為選擇函子。 對角函子：對角函子被定義為由D至函子範疇DC的函子，將每個在D內的对象映射至此对象的常數函子上。 極限函子：對一固定的指標範疇，若每個函子J→C都有個極限（即若C為完全的），則極限函子CJ→C即為將每個函子映射至其極限的函子。此類函子...

與自由格。在範疇論的框架下，可以將自由對象推廣為自由函子，這是遺忘函子的左伴隨函子。 範疇論為自由對象提供了普遍框架。考慮一種代數結構（如群、模等等）的範疇 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 。其上具有一個遺忘函子 U : C → S e t {\displaystyle...

{\displaystyle A^{\dagger }} （狄拉克符号记法）。 有限維向量空間中算子可以以矩陣的形式表示，而伴隨算子的矩陣等於原矩陣的共軛轉置。 泛函分析中，上述對伴隨算子的定義可以直接套用於希尔伯特空间中的线性算子。 假設 H {\displaystyle H} 是一個希爾伯特空間，帶有內積 ⟨...

在範疇論中，正合函子（或譯作恰當函子）是保存有限極限的函子。在阿貝爾範疇中，這就相當於保存正合序列的函子。 設 C , C ′ {\displaystyle {\mathcal {C}},{\mathcal {C}}'} 為阿貝爾範疇， F : C → C ′ {\displaystyle F:{\mathcal...

為一對伴隨函子， F {\displaystyle F} 為 G {\displaystyle G} 的左伴隨，則複合 G ∘ F {\displaystyle G\circ F} 是單子。若 F {\displaystyle F} 與 G {\displaystyle G} 互為逆函子...

} g确定一个函子 V : C → D。此时，φi确定从1C（C上的恒等函子）到U V的一个自然变换。因此(V, U)构成一对伴随函子，V左伴随U，U右伴随V。 利用对偶原则同样可得U的右伴随函子V : C → D。 事实上，所有的伴随函子都产生与类似的泛构造。设F和G为一对伴随函子...

范畴的等价由所涉范畴的一个函子组成，这个函子要求有一个“逆”函子。但与通常代数语境的同构不同，这个函子与它的逆不必是恒等映射，二只要每个对象自然同构与在此复合函子下的像。从而我们可以说这个函子是差一个同构下的逆。这实际上是范畴的同构的概念，其中要求逆函子的严格性质，但这比“等价”概念用得要少。...

( i j ) {\displaystyle F(i_{j})} 為相應的內射。 可加範疇間常見的函子都是可加函子。事實上，可以證明加法範疇間的伴隨函子都是可加函子，而範疇論中的重要函子多以伴隨函子的面貌出現。 一個預阿貝爾範疇是使每個態射都有核與上核的可加範疇。 一個阿貝爾範疇是一個使態射均為嚴格態射的預阿貝爾範疇。...

如果X和Y是拓撲斯，一個幾何態射u: X→Y是一對伴隨函子(u∗,u∗)，使得u∗保持有限極限。注意u∗由於有右伴隨而自動保持余極限。 通過Freyd伴隨函子定理，給定一幾何態射X → Y相當於給定一保持有限極限和所有小余極限的函子u∗: Y → X。 因此拓撲斯間的幾何態射可以被看成locales的映射的類似。...

從X到UK的映射（將映射限制到X，並使用βX的泛性質），即是 Hom(βX, K) = Hom(X, UK) 故β是U的左伴隨函子。因此CHaus是Top的反射子範疇，反射函子為β。 構造βX的一個方法是考慮映射 X → [ 0 , 1 ] C {\displaystyle X\to [0,1]^{C}}...

伴随函子：两个映射方向相反的函子对称为伴随函子，随着结合的顺序不同，分别为左伴随和右伴随。通常来自于由泛性质所定义的结构；也可以作为泛性质的一种更加抽象和更加强有力的看法。 上述许多概念，特别是范畴的等价性、伴随函子和函子...

群範疇有兩個以群範疇為定義域的遺忘函子，其中一個是映射至幺半群的函子M: Grp → Mon；另一個是映射至集合範疇的函子U: Grp → Set。在這其中，M有兩個伴隨函子，其中一個I: Mon→Grp是右伴隨函子；而另一個K: Mon→Grp則是左伴隨函子；其中I: Mon→Grp是將所有的幺半群映射至其可逆元素的子幺半群的函子；而K:...

可表函子是在数学中范畴论里的概念，指从任意范畴到集合范畴的一种特殊函子。这种函子将抽象的范畴表达成人们熟知的结构（即集合与函数），从而使得对集合范畴的了解可以尽可能应用到其它环境中。 从另外一个角度看，范畴的可表函子是随范畴而生的。因此，可表函子理论可以视作偏序集合理论中的上闭集合以及群论中的凱萊定理的极大的推广。...

伴随关系中，F是左奎伦函子，G是右奎伦函子。 由公理可知，奎伦函子保留了（上）纤维化对象间的弱等价。奎伦的全导函子公理称，左全导函子 LF：Ho(C) → Ho(D) 是右全导函子 RG: Ho(D) → Ho(C) 的左伴随。这样的伴随(LF, RG)称为导伴随。 若(F, G)是上述的奎伦伴随，使...

函子 U : Top → Set（其中Set為集合範疇），將每個拓撲空間指派給同個拓撲空間內的集合，每個連續函數給為同個連續函數的函數。 可遺函子U有一個左伴隨函子 D : Set → Top（將每個集合加上離散拓撲） 及一個右伴隨函子 I : Set →...

在數學的範疇論中，自然變換是將一個函子變為另一個函子，使相關範疇的內在結構（就是態射間的複合）得以保持。因此可以將自然變換視為「函子間的態射」。這一看法其實也能形式化，定義出函子範疇。自然變換與範疇及函子一樣，都是範疇論很基本的概念。 設C和D是範疇，F和G是C和D之間的函子。一個從F到G...

( − , − ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (-,-)} 函子無論對哪個變數都是左正合的。 設 ( F , G ) {\displaystyle (F,G)} 是一對伴隨函子。若 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 存在任意有限歸納極限，則...

在范畴论中，函数空间叫做指数对象。它以一种方式出现为表示规范双函子；但是作为类型[X, -]的（单一）函子，它出现为对在对象上的类型（-×X）的函子的伴随函子。 在lambda演算和函数式编程中，函数空间类型被用来表达高阶函数的想法。...

H G ) {\displaystyle (\mathrm {Ind} _{H}^{G},\mathrm {Res} _{H}^{G})} 為一對伴隨函子。 若以特徵標表之，上述同構化為一個較弱但較具體的等式： ( χ I n d H G ( W ) , χ V ) = ( χ W , χ R e s...

I} -進拓撲 R {\displaystyle R} -模（態射為連續同態）的函子；透過自然同態 M → M ^ {\displaystyle M\to {\hat {M}}} ，它是與之反向的遺忘函子的左伴隨函子，因而是右正合的。 對於諾特環， R ^ {\displaystyle {\hat...

剛昌漫畫系列《名偵探柯南》的第27部劇場版，由永岡智佳執導，大倉崇裕（日语：大倉崇裕）編劇。 在北海道函館市的斧江財閥倉庫中，兩把與土方歲三有關的短刀被發預告的怪盜基德盜走，身為基德剋星的柯南伴隨毛利小五郎以及服部平次一同在場看守。平次決定藉此報之前的“一吻之仇”，追上基德並以劍術斬落其禮帽時，卻...

设X为一拓扑空间（按上述方法看作一范畴），C为一小范畴。定义由从X到C的所有逆变函子为对象，自然变换为态射的范畴。该范畴称为X上以C为值的预层范畴。如果C存在始对象c，则将任何开集映射为c的常函子为该范畴的始对象（始预层）。类似，如果C存在终对象，则对应该终对象的常函子为此范畴的终预层。 给定阿贝尔群的一群同态f : A →...

在拓扑空间范畴，态射是连续函数，而同构称为同胚。 在光滑流形范畴中，态射是光滑函数而同构称为微分同胚。 函子可以视为小范畴的范畴中的态射。 在函子范畴中，态射是自然变换。 更多的例子参看范畴论条目。 零态射 正规态射 isomorphism - 同構...

F:\mathrm {Hom} (A,B)\to \mathrm {Hom} (F(A),F(B))} 為群同態，則稱之為加法函子。形式地說，加法函子是濃化範疇之間的濃化函子。 例如，設 R , S {\displaystyle {\mathcal {R}},{\mathcal {S}}} 分別為環...

在數學的範疇論分支，若干個函數的等化子（英語：equaliser）是使其值相等的參數的集合。換言之，兩個函數 f , g {\displaystyle f,g} 的等化子，是方程 f ( x ) = g ( x ) {\displaystyle f(x)=g(x)} 的解集（英语：solution...

{\hat {v}}^{*}} 与相关联层函子的复合是 v ∗ {\displaystyle v_{*}} 的左伴随 v ∗ {\displaystyle v^{*}} 。此外， v ∗ {\displaystyle v^{*}} 保有限极限，所以伴随函子 v ∗ ,   v ∗ {\displaystyle...

此时，此唯一态射f也常表示为<f1,f2>。 积为范畴论中的一种极限。积也即C中离散子范畴的极限。积不一定存在。但若存在，则由其定义易知其在同构的意義下唯一。 空积（I为空时所得的积）即终对象。 若C中对任意基于I的对象集均存在积，则该积也可以看做一个从CI到C的函子。 集合{Xi}的积通常记为∏i Xi。态射πi也称为自然投影。如下自然同构成立：...

设R是一个交换环，A是一个以R中元素为系数的n×n的矩阵。A的伴随矩阵可按如下步骤定义： 定义：A关于第i行第j列的余子式（记作Mij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(n − 1)×(n − 1)矩阵的行列式。 定义：A关于第i行第j列的代数余子式是： C i j = ( − 1 ) i + j M i...

的次序的完全格(但是上确界(并运算)可能不同于 P 的)。在 P 上的闭包算子自身形成一个完全格；在闭包算子上的次序定义为 C1 ≤ C2 当且仅当 C1(x) ≤ C2(x) 对于所有 P 中的 x。 如上面提及的，闭包可以被看作来自伽罗瓦连接。如果把伽罗瓦连接推广为伴随函子，闭包的对应是 單子。 Brown D.J. and...

{\displaystyle p} 次連續可微映射。 所有小範疇的范畴 C a t {\displaystyle {\mathsf {Cat}}} ，其態射為函子。 所有局部小范畴的范畴 C A T {\displaystyle {\mathsf {CAT}}} 。 所有集合的关系范畴 R e l {\displaystyle...