哥德尔完备性定理是数理逻辑中重要的定理，在1929年由库尔特·哥德尔首先证明。它的最熟知的形式声称在一阶谓词演算中所有逻辑上有效的公式都是可以证明的。 上述词语“可证明的”意味着有着这个公式的形式演绎。这种形式演绎是步骤的有限列表，其中每个步骤要么涉及公理要么通过基本推理规则从前面的步骤获得。给定这...

在数理逻辑中，哥德尔不完备定理是库尔特·哥德尔于1931年证明并发表的两条定理。第一条定理指出： 这是形式逻辑中的定理，容易被错误表述。有许多命题听起来很像是哥德尔不完备定理，但事实上并不是。具体实例见对哥德尔定理的误解。 把第一条定理的证明过程在体系内部形式化后，哥德尔证明了第二条定理。该定理指出： 哥德尔...

库尔特·弗雷德里希·哥德尔（德語：Kurt Friedrich Gödel，1906年4月28日—1978年1月14日），出生於奧匈帝國的美国數學家、邏輯學家和哲學家，维也纳学派（维也纳小组）的成员。哥德尔是二十世纪最伟大的逻辑学家之一，其最杰出的贡献是哥德尔不完备定理和连续统假设的相对协调性证明。...

含义，特别是在某些领域中，“完备化”的过程并不称为“完备化”，另有其他的表述，请参考代数闭域、紧化或哥德尔不完备定理。 一个度量空间或一致空间被称为“完备的”，如果其中的任何柯西列都收敛，请参看完备空间。 在泛函分析中，一个拓扑向量空间 V {\displaystyle V} 的子集 S {\displaystyle...

性、自洽性，是指一個形式系統中不蘊涵矛盾。 所謂的矛盾有二種解讀方式： 語義上：當一個命題S是由許多命題組成時，如果所有命題可同時為真，則S是一致的，否則S是不一致的。 語法上：公理系統不能推導出兩個相反的結果。亦即不存在命題P，使得P→Q和P→~Q同時成立。 哥德尔完备性定理 哥德爾不完備定理 完备性...

伯特兰-切比雪夫定理 贝亚蒂定理 贝叶斯定理 博特周期性定理 闭图像定理 伯恩斯坦定理 不动点定理 布列安桑定理 布朗定理 贝祖定理 博苏克-乌拉姆定理 巴拿赫不动点定理 布尔素理想定理 贝尔纲定理 布劳威尔不动点定理 本迪克森-杜拉克定理 本原元定理 垂径定理 陈氏定理 采样定理 迪尼定理 等周定理 代数基本定理...

庫爾特·哥德爾證明了兩條數理邏輯的重要定理： 哥德爾完備性定理 哥德爾不完備性定理...

系統中不存在無法證明或證否的有效命題。系統中真命題皆可證明（真命題皆為定理）且假命題皆可證否。 表达性（英语：Expressive power） (computer science)（Expressivity） 系统中可以表达哪些概念。 一些邏輯系統不擁有上述所有性質，比如庫爾特·哥德爾的哥德爾不完備定理...

有时候计算复杂性理论也会被认为是数理逻辑的一部分。 每个分支都有着重研究的方向,但是很多结论是共享的,分支和分支之间的界限不是非常严格。 比如哥德尔不完备定理不仅仅是证明论和递归论的重大成果,它还直接影响了模型论中的勒布定理(Löb's theorem). 因为都基于公理化集合论,数理逻辑的不同分支的证明方法也有相通之处，比如力迫可以用来研究模型论...

停机）。如果程序递归调用自己（对应不停机），测试程序就不调用它（对应停机）。无法回答的问题是，测试程序递归调用自己嗎？ 柴廷常數 理发师悖论 哥德尔不完备定理 未解決的數學問題 pp. 179-180，《离散数学及其应用》，Kenneth H. Rosen著，机械工业出版社 顾森解释停机问题 （页面存档备份，存于互联网档案馆）和证明...

\Gamma \vDash _{L}P} 。 可靠性定理的逆命题是语义完备性定理。在强形式下，它声称对于一个演绎系统和语义理论，是一个句子集合的语义推论的任何句子可以在这个演绎系统中从这个集合推导出来。（在一阶完备性定理的情况下常叫做哥德尔完备性定理。）用符号表示：若 Γ ⊨ L P {\displaystyle...

真值表 逻辑等价 逻辑条件 逻辑与非 逻辑或非 数理逻辑 零阶逻辑 一阶语言 二階邏輯 布尔函数 推理规则列表 哥德尔完备性定理 哥德尔不完备定理 Mendelson, Elliott. Introduction to Mathematical Logic. Van Nostrand...

性定理等价于哥得尔完备性定理，并且二者都等价于超滤子引理，它是弱形式的选择公理。因为证明总是有限的，所以只涉及有限多个给定句子，就得出了紧致性定理。 哥德尔最初就是以这种方式证明紧致性定理的，但是后来又找到了紧致性定理的一些“纯语义”证明，就是说提及“真理”但不提及“可证明性”的证明。这些证明倚赖于依仗选择公理的超乘积：...

数学主题 哲学主题 公理模式 模型论——從數理邏輯的角度對數學結構的一類研究 哥德尔不完备定理——定理一個廣泛的邏輯系統不能既一致又完整 希尔伯特演绎系统 希爾伯特第六問題 逻辑史 邏輯主義 策梅洛-弗兰克尔集合论 如果所赋予的意义是现实世界中的对象和关系，而不是像抽象模型那样基于另外的公理系统，则这个模型称为具体的。...

集合论悖论 罗素悖论（书目悖论） 理发师悖论 柯里悖论 希爾伯特旅館悖論 康托爾悖論 布拉利-福爾蒂悖論 斯科倫悖論 数理逻辑悖论 停机问题 哥德尔不完备定理 飲者悖論 理查茲悖論 概率學悖论 生日悖論 意外絞刑悖論（老虎悖論） 聖彼得堡悖論 阿萊悖論 艾爾斯伯格悖論 伯特蘭悖論 錢包悖論 彩票悖論（英语：Lottery...

Chaitin），以及最著名的塔斯基和哥德尔。特别地，哥德尔证明了：给定任意有限多条皮亚诺算术的公理，都存在一些正确的命题，无法用所给公理来证明，即所谓的哥德尔不完备定理。某种意义上来说，这一结果是迄今为止元数学与数学哲学的最高成就。 Douglas Hofstadter, 1980. 《哥德尔、埃舍尔、巴赫》. Vintage...

尽管它仍然必须排除柯里悖论(Curry's Paradox）。 柯里悖论是逻辑学家哈斯凯尔·柯里（Haskell Brooks Curry）提出。 此外，次协调逻辑可以潜在的克服哥德尔不完备定理蕴涵的算术限制，而是完备的。 次协调逻辑分别于1954年和1963年在南美由弗洛伦西奥•阿森霍（Florencio...

的。哲学和数学一样，通过应用逻辑学的方法就可以获得确定的答案，而哲学家的工作就是发现一种能够解释世界本质的一种理想的逻辑语言。但是罗素的努力被哥德尔不完备定理证明是徒劳的。 罗素在20世纪初转向逻辑实证主义，提出逻辑原子論，要求从相当于逻辑上原始命题的原始事实出发，以这种事实作基本元素，由此构造出整...

一雄心勃勃的项目對於数学史和哲学史都是非常重要的，然而在1931年，哥德尔不完备性定理证明對於数学原理或其他任何類似的尝试，这个崇高的目标皆永远无法达到；也就是说，任何尝试以一组公理和推理规则來建立的数学系統，不是不自洽，就是不完備 (即存在一些数学真理不能由此系統推理演绎出來)。...

consequence）和语法蕴涵（syntactic consequence）等价，但这不总是可行。（参见哥德尔不完备定理，它陈述了包含为真但不能证明的句子的一些语言（比如算术））。在这种情况下，把等价分成两部分是有用的： 演绎系统S对于语言L是完备的，当且仅当 A ⊨ L X → A ⊢ S X {\displaystyle...

，以表明：我們無法在系統中定義何謂「系統標準模型的真理」。 庫爾特·哥德爾在1931年發表了著名的哥德爾不完備定理，他一部分是透過一階算術的語義表達技巧來完成定理的證明。在他的算術語言中，每條表達式都配有各自的編碼。這個過程稱為「哥德爾編碼」，而每組表達式也可配有各自的編碼組。如此一來，各種語義屬...

（例如，次协调逻辑）有很多动机。比如，不一致的（矛盾的）信息存在于信仰、道德、辩证法、人工智能、形式语义、集合论、算法和哥德尔不完备定理等领域，经典逻辑的会导致反直觉结果的协调性（一致性）的不满足。发明非经典逻辑的主要动机是坚信应该有可能以受控和区分的方式，对这些含不一致的信息的系统进行推理。...

书籍 尼爾‧布朗、史都華‧基理：《問對問題，找答案—批判性思考的智慧學》. ISBN 9867969669 理查德‧保罗、琳达‧埃尔德：《批判性思维：思维、写作、沟通、应变、解决问题的根本技巧》，2006. ISBN 9787802251861. Stella Cottrell,《批判性思考：跳脫慣性的思考模式》，2010...

完备阿基米德有序域加上声称这个域是第一个不可数势的公理的所有有限理论构成，这个例子展示了二阶逻辑中的一个句子是否是相容的是非常微妙的问题。 下一节中描述二阶逻辑的另外的限制。 作为哥德尔不完全性定理的必然结果，你不要打算让二阶公式的“可证明性...

性問題（也就是多種篩法都無法區別質數跟兩個質數相乘的合數的問題），但已建構了質數的分佈模式（亦即質數在大數時的統計模式）。19世紀晚期得到證明的質數定理指出：一個任意自然數n為質數的機率反比於其數位（或 n {\displaystyle n} 的对数）。 許多有關質數的問題依然未解，如哥德...

性問題。 德语“Entscheidungsproblem”，亦即“判定性问题”（Decision-problem），最早出自于大衞·希尔伯特的话：“在1928年的会议上，希尔伯特精确地描述了他的问题。首先，数学是否具有完备性？……其次，数学是否具有一致性？……再次，数学是否具有判定性...

希爾伯特計劃（德語：Hilbertprogramm）是由德國數學家大卫·希尔伯特在1920年代提出的一個數學計畫。它是一個關於公理系統相容性的嚴謹證明的一項計划。 這個計劃不應該和希尔伯特的23个问题混淆，不過這個計劃對數學的發展也有著重要的影響。 哥德爾不完備定理指出，希爾伯特計劃大多數目標無法實現。...

巴拿赫-塔斯基定理（Banach–Tarski paradox，或称豪斯多夫-巴拿赫-塔斯基定理，又名“分球怪论”），是一条数学定理。1924年，斯特凡·巴拿赫和阿尔弗雷德·塔斯基首次提出这一定理，指出在选择公理成立的情况下，可以将一个三维实心球分成有限（不可测的）部分，然后仅仅通过旋转和平移到其...

哥德尔不完备定理——定理一個廣泛的邏輯系統不能既一致又完整 停机问题 逻辑和谐 异质性 层次结构 高阶逻辑——邏輯學 整体论——哲学观点 同态——兩個代數結構間的保持結構不變的映射 幂等性 同一性——區別個人的品質 恒等函数 iff——if and only if 直接推理 命令式 不完备定理...

哥德爾完備性定理表明理论有一个模型当且仅当它是一致的，也就是说没有矛盾可以被该理论所证明。这是模型论的中心，因为它使得我们能够通过检视模型回答关于理论的问题，反之亦然。不要把完全性定理和完备理论的概念混淆。一个完备的理论是包含每个句子或其否命题的理论。重要的是，一个完备的协调理论可以通过扩展一个协调的理论得到。...

，只有仿射几何学才是欧几里得几何类中的完备系统。一致性与哥德爾不完備定理并不矛盾，前者断言不存在既真又假的命题，而后者断言存在既不可证明又不可证伪的命题，就好比第五公设之于欧几里得几何，连续统假设之于公理化集合论，选择公理之于策梅洛-弗兰克尔集合论。 數學的嚴謹可以應用於數學的證明方法和數學的實踐方法...