V {\displaystyle V} 的张量代数（tensor algebra），记作 T ( V ) {\displaystyle T(V)} ，是 V {\displaystyle V} 上的（任意阶）张量的代数，其乘法为张量积。张量代数左伴随于从代数到向量空间的遗忘函子，在这种意义下它是 V...

張量（英語：Tensor）在数学中是一个代数对象，描述了与向量空间相关的代数对象集之间的多重线性映射。张量可以作为不同的对象之间的映射，例如向量、标量，甚至其他张量。张量有很多种类型，包括标量和向量、对偶向量、向量空间之间的多重线性映射，甚至还有一些运算，例如点积。张量...

{\displaystyle V} 的张量代数的理想（即双边理想），该理想是由所有形如 v ⊗ v {\displaystyle v\otimes v} 的张量生成的（其中 v ∈ V {\displaystyle v\in V} 任意），则将 V {\displaystyle V} 上的外代数 Λ ( V ) {\displaystyle...

设C为域K上的向量空间范畴 K-Vect，D为K上的代数范畴（假定满足unitall和结合律），U为将代数映射为所基向量空间的遗忘函子。 给定任何基于K的向量空间V，构造V的张量代数T(V)。此张量代数的泛性质体现为偶(T(V), i)（其中i : V → T(V)为一inclusion...

张量的内蕴定义 克罗内克函数 张量缩并 混合型张量 列维-奇维塔符号 张量代数，自由代数 对称代数，对称幂 外代数 外导数 爱因斯坦记号 对称张量 度量张量 更多参见：张量理论术语 多重线性代数以多种不同的形态出现在应用中： 张量的古典处理方法 并矢张量 狄拉克符号 几何代数 克里福代數 伪纯量 伪向量...

可对泊松流形进行类似的考虑，它允许辛双向量在流形的某些位置消没。 李代数的张量代数具有泊松代数结构。泛包络代数条目中给出了非常明确的构造。 构造过程中，首先要建立李代数底层向量空间的张量代数。张量代数，简单来说就是向量空间所有张量积的不交并（直积 ⊕)）。这样就可证明，李括号可被一致地提升到整个张量代数...

，这是参考了John David Jackson所编写的《经典电动力学》中所采用的形式；并且从头彻尾都使用了经典的张量代数以及爱因斯坦求和约定。 将电场和磁场统一起来可写成一个反对称张量，即电磁张量。当单位为伏特·秒/米2，其协变形式为 F α β = ( 0 E x c E y c E z c − E x...

在数学中，处理张量理论的现代无分量（component-free（英语：component-free））方法首先将张量视为抽象对象，表示多重线性概念的某些特定类型。他们一些熟知的性质可由作为线性映射或更广泛地定义得出；而张量的操作导致了线性代数扩张为多重线性代数。...

则称A交换。有些超代数在普通意义上是交换的，而在超代数意义上不是，因此为避免混淆，交换超代数常称作“宠爱交换”。 交换环K上任意代数都可视作K上的纯偶超代数，即将 A 1 {\displaystyle A_{1}} 视作平凡的。 任何Z-或N-分次代数都可通过读取次数模2被视为超代数。这包括张量代数和K上的多项式环等例子。...

各种代数结构中的对象可以通过定义不同的二元运算得到不同的积。比如说，平面向量可以定义点积，三维向量可以定义叉积和混合积。常见的积还包括： 向量空间中两个向量的内积 矩阵集合中矩阵的乘积 矩阵的阿达马乘积 矩阵的克罗内克乘积 张量的外积 张量的张量积 两个函数的 在研究抽象代数中的代数...

在数学中，张量积，记为 ⊗ {\displaystyle \otimes } ，可以应用于不同的上下文中如向量、矩阵、张量、向量空间、代数、拓扑向量空间和模。在各种情况下这个符号的意义是同样的:最一般的双线性运算。在某些上下文中也叫做外积。 例子: b ⊗ a → [ b 1 b 2 b 3 b 4...

在数学，物理和工程上，张量场（tensor field）是一个的非常一般化的几何变量的概念。它被用在微分几何和流形的理论中，在代数几何中，在广义相对论中，在材料的应力和应变的分析中，和在物理科学和工程的无数应用中。它是向量场和纯量场的想法的一般化，而向量场可以视为“从点到点变化的向量”。...

factor）。 两希尔伯特空间的张量积是其代数张量积的完备化。可定义冯·诺伊曼代数的张量积（代数视作环的代数张量积的完备化），所得也是冯·诺伊曼代数，并作用于对应希尔伯特空间的张量积。两有限代数的张量积有限，无限代数和非零代数的张量积无限。冯·诺伊曼代数张量积的类型取较大值。张量积交换定理指出 ( M ⊗...

对秩大于等于3的张量，这种分解一般并不正确，因为它们具有更复杂的对称性。 全反对称张量包括： 平凡地，所有标量与向量（阶为0、1的张量）是全反对称的（也是全对称的）。 电磁学中的电磁张量 F μ ν {\displaystyle F_{\mu \nu }} 。 伪黎曼流形上的黎曼体积形式。 反对称矩阵 外代数 列维-奇维塔符号...

在數學中，自由對象是抽象代數中的基本概念。就其通於各種代數結構（帶有限操作）而言，它也屬泛代數的一支，例子包括自由群、張量代數與自由格。在範疇論的框架下，可以將自由對象推廣為自由函子，這是遺忘函子的左伴隨函子。 範疇論為自由對象提供了普遍框架。考慮一種代數結構（如群、模等等）的範疇 C {\displaystyle...

Rn 上实值可微函数组成的代数上的一个 R-导子。关于一个向量场的李导数是可微流形上可微函数代数上的 R-导子；更一般地，它是流形上张量代数的导子。平彻尔导数（英语：Pincherle derivative）是一个抽象代数上的导子的例子。如果代数 A 非交换，则关于 A 中一个元素的交换子定义了...

{\displaystyle U(-)} 為 U {\displaystyle U} （單位結合代數） ↦ U {\displaystyle \mapsto U} （李代數）的左伴隨函子。 首先考慮張量代數 T ( L ) {\displaystyle T(L)} ，此時有自然的包含映射 i 0 :...

代数几何（英語：algebraic geometry）是数学的一个分支，经典代数几何研究多项式方程的零点。现代代数几何将抽象代数，尤其是交换代数，同几何学的语言和问题结合起来。 代数几何的基本研究对象为代数簇。代数簇是由空间坐标的若干代数方程的零点集。常见的例子有平面代数...

identity)或代数比安基恒等式(Algebraic Bianchi identity)，因为和下面的比安基恒等式相像。 这三个恒等式组成曲率张量对称性的完整列表，也就是给定说任何满足上述恒等式的张量，可以找到一个黎曼流形在某点的曲率张量和它一样。简单的计算表明这样一个张量有 n 2 ( n 2...

\!\!\!\!\!d}\ \dots .} 就像流形上向量场的外代数（张量代数也是）构成一个（基域 K 上的）李代数，流形上微分形式的德拉姆复形形成一个李余代数。进一步，在向量场与微分形式之间有一个配对。 但形式要微妙些：李代数不是光滑函数 C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty...

究源于包含多个未知数的线性方程组。这样的方程组可以很自然地表示为矩阵和向量的形式。 线性代数既是纯数学也是应用数学的核心。例如，放宽向量空间的公理就产生抽象代数，也就出现若干推广。泛函分析研究无穷维情形的向量空间理论。线性代数与微积分结合，使得微分方程线性系统的求解更加便利。线性代数的理论已被泛化为算子理论。...

{\displaystyle \mathbb {R} } 指明該克里福代數定義在實域上，即該代數的元素系數皆為實數。此組正交基可藉正交對角化（英语：orthogonal diagonalization）找出。 由 V {\displaystyle V} 生成的自由代數是張量代數 ⨁ n ≥ 0 V ⊗ V ⊗ ⋯ ⊗ V ⏟...

在代数几何上，模问题用于描述代数簇所依赖的参数。对于这样一个参数使用模这一词和模形式相似：一个模形式通常是模空间（Moduli space，即其坐标为模的空间）上的某种微分形式（或者张量密度），因为这些形式通常有一个權重。 在椭圆曲线的情况，有一个模，所以模空间是代数...

幂结合代数，是满足幂结合恒等式的代数。例如所有结合代数、所有交替代数、GF(2)以外任意域上的约尔丹代数（上详）与十六元数。 R上的双曲四元数代数，是为解释狭义相对论而引入闵可夫斯基时空前的实验性代数。 更多种类代数： 分次代数，包括大部分对多重线性代数具有重大意义的代数，如张量代数、对称代数、给定向量空间上的外代数等等。分次代数可推广到滤子代数。...

以下表格给出各计算机代数系统的比较。 这些计算机代数系统有时结合了一个提供良好的用户界面的“前端”程序，例如多功能的GNU TeXmacs. 以下是各系统中重要的符号功能的摘要。 可能需要使用模拟器，或者自行編譯。 一些图形计算器也有CAS的特点。 有几种不同的开源的定义。HP49 CAS的源代码...

中的向量用黑斜体字母来标记，把张量用正黑体字母来标记。 在多重線性代數裡，並矢張量(dyadic tensor)是一個以特別標記法寫出的二階張量，是由成對的向量並置形成的。針對這特別標記法，有一套專門計算這種表達式，類似於矩陣代數規則的方法。並矢張量的每一對向量的並置稱為並矢(dyad)。兩個單位基底向量的並矢積稱為單位並矢(unit...

在数学上，特别是线性代数中，对于一个给定的方阵 A {\displaystyle A} ，它的特征向量（eigenvector，也譯固有向量、本征向量） v {\displaystyle v} 经过这个线性变换之后，得到的新向量仍然与原来的 v {\displaystyle v} 保持在同一條直線上，但其长度或方向也许會改变。即...

在代数几何学中, 可逆层是在赋环空间X上的一个凝聚层S，使得 S关于OX-模上的张量积存在一个逆元素T。这是拓扑意义上的线丛在代数几何学中的类比。 可逆层也被等价定义为秩为1的局部自由层。可逆层在研究代数簇时起到了重要的作用。 可逆层被定义为在赋环空间 ( X , O X ) {\displaystyle...

運動時，其長度和時間流逝的速率保持定值，這表示牛頓力學中的許多問題用代數就能解決。然而，相對論中的物體在運動速度接近光速時，長度和時間流逝的速率會有可觀的改變，這表示要計算物體的運動必須用上更多變數和複雜的數學，如向量、張量、偽張量、曲線座標（英语：curvilinear coordinates）等概念。...

\;} 从上面的定义可以看出，对于一个A无穷代数，它的同调实际上形成一个结合代数。这也就是一个A无穷代数称为强同伦结合代数的原因。 如果读者熟悉余代数的概念，那么考虑 V {\displaystyle \;V\;} 的元素度数降低1然后生成的张量代数，记为 T V [ 1 ] {\displaystyle...

{\displaystyle \wedge ^{\rho }(\mathrm {T} ^{*}\mathrm {M} )} ，Μ的余切丛的ρ-次外幂，的张量积丛的一个光滑截面。这样的形式的空间记作 Ω ρ ( M , E ) = Γ ( E ⊗ ∧ ρ T ∗ M ) . {\displaystyle \Omega...