在数学中，集合M上的一个n-维微分结构（differential structure）或可微结构（differentiable structure）是一个带有附加结构（使得我们可以在该流形上做微积分）的拓扑流形，使其成为一个n-维微分流形。如果M已经是一个拓扑流形，我们要求新拓扑与原来已有的拓扑相同。...

微分幾何研究微分流形的幾何性質，是現代數學中的一主流研究方向，也是廣義相對論的基礎，與拓撲學、代數幾何及理論物理關係密切。 古典微分几何起源于微积分，主要内容为曲线论和曲面论。歐拉、蒙日和高斯被公认为古典微分几何的奠基人。近代微分几何的创始人是黎曼，他在1854年创立了黎曼几何（实际上黎曼提出的是...

图形在数学上可以依靠不同的附加结构而形成不同的门类，按附加结构的复杂程度，可以依次分述如下： 集合结构→点集拓扑（若附加离散集合则形成离散几何） 代数结构→组合拓扑（若附加分维结构则形成分形几何） 度量结构→度量几何（若附加第五公设则分化为欧氏和非欧氏几何） 微分结构→微分几何（若附加对易结构则分化为对易和非对易几何）...

图册也可用于定义流形上的附加结构。结构首先在每个卡上分别定义。如果所有变换映射和这个结构相容，该结构就可以转到流形上。 这是微分流形的标准定义方式。如果图册的变换映射对于一个拓扑流形保持Rn自然的微分结构（也就是说，如果它们是微分同胚），该微分结构就传到了流形上并把它变成微分流形。 通常，流形的结构...

在數學中，微分同胚是適用於微分流形範疇的同構概念。這是從微分流形之間的可逆映射，使得此映射及其逆映射均為光滑（即無窮可微）的。 對給定的兩個微分流形 M , N {\displaystyle M,N} ，若對光滑映射 f : M → N {\displaystyle f:M\to N} ，存在光滑映射...

微分形式（英語：Differential form）是多变量微积分，微分拓扑和张量分析领域的一个数学概念。现代意义上的微分形式，及其以楔积和外微分结构形成外代数的想法，都是由法国数学家埃里·嘉当引入的。 例如，一元微积分中的表达式f(x) dx是1-形式的一个例子，并且可以在f定义域内的一个区间[a...

李群（英語：Lie group，/ˈliː/）是一个数学概念，指具有群结构的光滑微分流形，其群作用與微分结构相容。李群的名字源於挪威数学家索菲斯·李的姓氏，以其為連續變換群奠定基礎。1893年，法文名詞groupes de Lie首次出現在李的學生亞瑟·特雷斯（Arthur Tresse）的論文第三頁中。...

复流形可以视为微分流形的一种特例。例如，一个1维复流形几何上就是一个曲面，称为黎曼曲面。变换函数必须全纯这个要求意味着和通常的微分流形不同，不同的Ck-微分结构对于不同k没有区别，因为全纯函数解析，一次每个全纯结构也是一个Ck结构，对于任意k ≥1成立。 复流形的理论和实流形的有相当不同的感受，因为複解析函数比光滑函数更为严格...

结构指在一个系統或者材料之中，互相关联的元素的排列、组织。 结构还可以指： 建築 建築物 建築結構 結構 (化學) 结构 (机械) 数学结构 结构 (计算机语言) 结构 (数理逻辑) 微分结构 哲學 結構主義 “結構”開頭的其他條目 “结构”开头的其他条目（简体中文）...

在数学，特别是在拓扑学中，一个图册（英語：atlas）描述了一个流形如何装备一个微分结构。每一小块由一个卡（英語：chart）给出（也称为坐标卡，coordinate chart，或局部坐标系，local coordinate system）。以圖冊來定義流形的概念是由夏尔·埃雷斯曼於1943年所提出。...

微分代数（英語：Differential algebra）是代数学的一个分支，在代数中装备一个导子就可以得到微分代数。此外，在数学中，微分环、微分域和微分代数是环、域、代数装备一个导子，一个满足莱布尼兹乘积法则的一元函数。微分域的一个自然例子是复数域上的单变元有理函数 C(t)，其导子是关于 t 的微分。...

Donaldson，1957年8月20日—），英国数学家，研究领域为四维微分流形的几何与拓扑。利用从规范场论发展出来的技术手段，尤其是对椭圆偏微分方程的创造性应用，他于80年代找到了四维流形的系列不变量，进而发现特定的四维流形容许无穷多个微分结构，“震惊了数学界”（Atiyah，1986）。...

数学中，复微分形式是（复）流形上具有复系数的微分形式。 复形式在微分几何中有广泛的应用，在复流形上是十分基本的，是代数几何、凯勒几何、霍奇理论的基础；在非复流形上，也在殆复结构、旋子理论和CR结构的研究中发挥作用。 一般来说，之所以考虑复形式是因为它允许一些理想的分解。例如，复流形上任何复k形式都可唯一分解为所谓...

微分幾何中，黎曼幾何（英語：Riemannian geometry）研究具有黎曼度量的光滑流形，即流形切空間上二次形式的選擇。它特別關注于角度、弧線長度及體積。把每个微小部分加起來而得出整體的數量。 19世紀，波恩哈德·黎曼把這個概念加以推广。 任意平滑流形容許黎曼度量及這個額外結構幫助解決微分...

1945年后拓扑学发展迅速，逐渐地数学家将这个学科分为三个分支： 代数拓扑学（伦移等问题） 几何拓扑学（此分支中的庞加莱猜想已被佩雷尔曼于2003年成功证明） 微分拓扑学研究可微分结构等等 这些分支的基础是研究一般的拓扑空间的点集拓扑学。但是随着时间的发展这些区分又越来越显得是人为的区分了。...

_{x\in M}T_{x}(M).} 總空間T(M)每个元素都是一个二元组(x,v)，其中v是在点x的切空间Tx(M)內的一枚向量。 切丛有自然的2n维微分流形结构如下： 設： π : T ( M ) → M {\displaystyle \pi \colon T(M)\to M\,} 為自然的投影映射，将(x...

微分叠'是代数几何中的代数叠在微分几何中的类似物，可描述为微分流形上的叠，也可描述为森田等价下的李群胚。 微分叠很适合处理有奇点的空间（如轨形、叶空间、商），它们自然出现在微分几何中，且不是可微流形。例如，微分叠在叶状结构、泊松流形和扭K理论中都有应用。 回想在广群中纤维化的范畴（或称广群纤维化），包含范畴...

{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 」的拓樸空間，是微分幾何的主要研究對象。所有其他類型的流形（ manifolds ）都是帶有額結構的拓撲流形。例如可微流形是一個帶有額外的「微分結構」的拓撲流形；而光滑流形則要求這個「微分結構」要是無窮可微的。 一個 n {\displaystyle n}...

微分几何中，叶状结构（foliation）是n-流形上的等价关系，等价类是连通单射浸入子流形，都具有相同维度p，以实坐标空间 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 的分解为标准嵌入子空间 R p {\displaystyle \mathbb {R} ^{p}} 的陪集...

在微分几何中，对一个给定的结构群 G，n 维流形 M 上一个 G-结构是 M 的切标架丛 FM（或 GL(M)）的一个 G-子丛。 G-结构的概念包括了许多流形上其它结构，其中一些是用张量场定义的。例如，对正交群，一个 O(n)-结构定义了一个黎曼度量；而对特殊线性群，一个 SL(n,R)-结构就是一个体积形式；对平凡群，一个...

如果流形有一个微分结构，我们可以使用微分形式语言。 另一种考虑可定向性的方式是将其视为在流形的每一点选取一个“右手性”或“左手性”。 正式说，一个 n {\displaystyle n} -维可微流形称为可定向的如果它有一个 n {\displaystyle n} 阶微分形式（即体积形式） ω...

theorem）、旋度定理（Curl Theorem）、开尔文-斯托克斯定理（Kelvin-Stokes theorem），是微分几何中关于微分形式的积分的定理，因為維數跟空間的不同而有不同的表現形式，它的一般形式包含了向量分析的几个定理，以乔治·加布里埃尔·斯托克斯爵士命名。 设 S...

在複切丛 (1,0)-向量场上相当于乘以 i，在 (0,1)-向量场上相当于乘以 -i。 和从余切丛的外幂构造微分形式一样，我们可以构造複余切丛的外幂（典範同构于複切丛的对偶空间丛）。殆複结构在每个 r-形式上诱导了分解 Ω r ( M ) C = ⨁ p + q = r Ω ( p , q ) (...

光滑流形（英語：smooth manifold），或称 C∞-微分流形（differential manifold）、C∞-可微流形（differentiable manifold），是指一个被赋予了光滑结构的拓扑流形。一般的，如果不特指，微分流形或可微流形指的就是 C∞ 类的微分...

数学上，流形M的子流形是子集S，且本身也有流形的结构，并且内含映射S → M满足特定属性。根据具体所需的属性，有各种不同类型的子流形。不同作者经常采用不同的定义。 下面假设所有流形为Cr类微分流形，r ≥ 1，并且所有映射为Cr类可微。 流形M的浸入子流形是流形N，带有给定浸入f : N → M（f :...

1983年，阿蒂亚的学生西蒙·唐納森在这个工作之上证明了光滑4-流形的可微性分类和同胚性分类非常不同。麥可·弗里德曼采用唐納森的工作证明奇異R4的存在，也就是，歐幾里得4维空间上的奇异微分结构。这导致对于规范场论作為數學理論的兴趣逐漸增加，独立于它在基础物理中的成功。 1994年，爱德华·威滕和内森·塞伯格发明了基于超对称的规范场技术，...

(1983)证明了唐纳森定理，限制了紧单连通4-流形的第二上同调群上可能的二次型。从定理可以导出，存在异R4，光滑h-配边定理在4维失效。因此，唐纳森理论的结果依赖于有微分结构的流形，对大部分拓扑4-流形不成立。 唐纳森理论中的许多定理现在都可用塞伯格-威滕理论更轻松地证明，不过仍留有一些未解决问题，如威滕猜想、阿蒂亚–弗洛尔猜想等。...

刘维尔定理指出，一个初等函数如果有初等的原函数，那么一定能写成同一个微分域的函数加上有限项该域上函数的对数的线性组合，否则即表明不存在初等的原函数。 一个域 F {\displaystyle F} （元素是函数）及相应的运算 δ {\displaystyle \delta } （对函数的导数）构成的代数结构 ( F , δ ) {\displaystyle...

微分拓撲學是一門學科，研究在微分流形上的可微函數，與微分幾何密切相關，並一齊組成微分流形的幾何理論。 更具體來說，微分拓撲考慮只依靠定義在流形上之光滑結構的性質與結構。可在光滑流形上附加額外的幾何結構，以用來阻礙存在於微分...

{\displaystyle b_{k}(X)=b_{n-k}(X)} 在微分幾何及微分拓撲中，所論的空間 X {\displaystyle X} 通常是閉流形，此時拓撲不變量 b k {\displaystyle b_{k}} 可以由源自流形微分結構的微分形式計算。具體言之，考慮複形 0 → A 0 ( X ) →...

在数学中，泊松流形（Poisson manifold）是一个微分流形 M 使得 M 上光滑函数代数 C∞(M) 上装备有一个双线性映射称为泊松括号，将其变成泊松代数。 每个辛流形是泊松流形，反之则不然。 M 上一个泊松结构（Poisson structure）是一个双线性映射 { , } : C ∞...