在数学中，格拉斯曼流形是一个向量空间 V 的给定维数的所有线性子空间。例如，格拉斯曼流形 Gr1(V) 是 V 中过原点直线的空间，从而与射影空间 PV 相同。格拉斯曼流形以赫尔曼·格拉斯曼命名。 通过给定子空间一个拓扑结构可以谈论子空间的一个连续选取或子空间集合的一个开集或闭集；通过给它们一个微分流形结构可以考虑子空间的光滑选取。...

流形的实例。地球表面这样的球面则是一个稍微复杂的例子。一般的流形可以通过把许多平直的片折弯并粘连而成。 流形在数学中用于描述几何形体，它们为研究形体的可微性提供了一个自然的平台。物理学上，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。位形空间中也可以定义流形。环面就是双摆的位形空间。...

格拉斯曼的看法。库默尔回信道格拉斯曼1846年的获奖文章（参看下文）包含了“……以有缺陷的形式表达的值得赞赏的材料。”库默尔的报告终结了格拉斯曼寻求大学教职的所有机会。这样的场景重复出现，格拉斯曼年代的出名人士无法欣赏他的数学的真正价值。 在德国1848-49年的政治骚乱中，赫尔曼和罗伯特·格拉斯...

数学中，实射影空间（real projective space），记作 RPn，是 Rn+1 中的直线组成的射影空间。它是一个 n 维紧光滑流形，也是格拉斯曼流形的一个特例。 与所有射影空间一样，RPn 是通过取 Rn+1 − {0} 在等价关系 x ∼ λx 对所有实数 λ ≠ 0 下的商空间。对所有...

格拉斯曼代數自身的左外乘法。 在量子場論中，格拉斯曼數為反交換算符的“經典類比”。它們用於定義費米子場的路徑積分，因此需要為格拉斯曼數的積分下定義，這種積分又叫別列津積分。 格拉斯曼數在為超流形（或超空間）下定義時有重要用途，此時它們被用作“反交換座標”。 格拉斯曼流形 格拉斯曼定律 (音韻學)...

格拉斯曼流形联系起来的映射）；还有亚历山大·格罗滕迪克的一种办法，表明公理上只需定义线丛的情况就够了。陈类也自然的出现在代数几何中。 直观地说，陈类和向量丛的截面"所需要的0"的个数相关。 陈类的理论导致了殆复流形的配边不变量的研究。 若M是一个复流形...

微分幾何中，黎曼幾何（英語：Riemannian geometry）研究具有黎曼度量的光滑流形，即流形切空間上二次形式的選擇。它特別關注于角度、弧線長度及體積。把每个微小部分加起來而得出整體的數量。 19世紀，波恩哈德·黎曼把這個概念加以推广。 任意平滑流形容許黎曼...

代数几何与微分几何中，卡拉比–丘流形（Calabi–Yau manifold）是第一陈类为0的紧n维凯勒流形（Kähler manifolds），也叫做卡拉比–丘 n-流形。其是里奇平坦流形，在理论物理学中有应用；特别是在超弦理论中，时空的额外维度有时被猜测为6维卡拉比-丘流形的形式，从中产生了镜像对称等想法。“卡拉比-丘流形”的名称最早见于Candelas...

光滑流形（英語：smooth manifold），或称 C∞-微分流形（differential manifold）、C∞-可微流形（differentiable manifold），是指一个被赋予了光滑结构的拓扑流形。一般的，如果不特指，微分流形或可微流形指的就是 C∞ 类的微分流形。可微流形...

在微分几何中，杜布罗温提出的弗罗贝尼乌斯流形是切空间上具有某种兼容乘法结构的平坦黎曼流形。这一概念将弗罗贝尼乌斯代数推广到切丛。 弗罗贝尼乌斯流形自然出现于辛拓扑，更具体地说是量子上同调之中。最广义的定义是黎曼超流形范畴，我们这里的讨论仅限于光滑（实）流形。也可限制在复流形。 令M为光滑流形...

surface） 可展曲面 流形 微分流形 微分流形 Banach流形（英语：Banach manifold） Fréchet流形（英语：Fréchet manifold） 张量场 切向量 切空间 切丛 餘切空間 余切丛 張量 张量场 向量場 张量场 微分形式 外微分 李导数 拉回 (微分几何) 前推 (微分)...

曼逃離了那裡。他在第三次去意大利王國的途中因肺結核在塞拉斯卡（Selasca）去世，他被埋葬在此地的公墓。 他的名字出现在黎曼ζ函数、黎曼积分、黎曼-勒貝格定理、黎曼流形、黎曼映射定理、黎曼–希爾伯特問題、柯西-黎曼方程及黎曼曲面中。 黎曼积分 黎曼猜想 黎曼張量 《对可用高斯级数表示的函数的理论的补充》...

在微分拓扑中，莫尔斯理论使人们能通过流形上的可微函数分析流形的拓扑。根据马斯顿·莫尔斯的基本见解，流形上的可微函数在典型的情况下，直接反映了该流形的拓扑。莫尔斯理论允许人们在流形上找到CW结构和柄分解，并得到关于它们的同调的信息。 在莫尔斯之前，阿瑟·凯莱和麦克斯韦在测绘学中发展了莫尔斯理论中的一些思想。莫尔斯...

种通用相空间方法，适用于更广泛的可积层次。其中，典型对易动力可视作由格拉斯曼流形上的固定阿贝尔群作用决定。 τ函数被视为从群轨道到格拉斯曼流形内某个原点的[[]投影 (线性代数)|投影算子]]的行列式，而广田方程则表达了格拉斯曼流形普吕克嵌入在投影化的适当定义的（无限）外空间中，被视为费米子福克空间。...

topology），是微分几何的一个分支。其研究對象為辛流形，亦即带有闭非退化2-形式的微分流形。辛拓扑源于经典力学的哈密顿表述，其中特定经典系统的相空间有辛流形的结构。 symplectic這個名詞，是赫爾曼·外爾所提出來的。他原來把symplectic group（辛群）稱為complex...

微分幾何研究微分流形的幾何性質，是現代數學中的一主流研究方向，也是廣義相對論的基礎，與拓撲學、代數幾何及理論物理關係密切。 古典微分几何起源于微积分，主要内容为曲线论和曲面论。歐拉、蒙日和高斯被公认为古典微分几何的奠基人。近代微分几何的创始人是黎曼，他在1854年创立了黎曼几何（实际上黎曼提出的是芬斯...

i}{g^{2}}}.} AdS/CFT对偶、全像原理、类型IIB弦理论、量子引力 大N展開、平面楊米爾斯理論、 N 2 − 2 g {\displaystyle N^{2-2g}} 的费曼图 Yangian 扭量理论、格拉斯曼流形 11維M理論、 N → ∞ {\displaystyle N\rightarrow \infty...

微分拓撲學研究在微分流形上的可微函數，與微分幾何密切相關，並一齊組成微分流形的幾何理論。 幾何拓撲學主要研究流形與其對其他流形的嵌入。幾何拓撲學中一個特別活躍的領域為「低維拓撲學」，研究四維以下的流形。幾何拓撲學亦包括「紐結理論」，研究數學上的紐結。 拓撲學開始於對幾何上特定問題的研究。李昂哈德·歐拉...

斯同调的无穷维类似物，是一种新颖的不变量。安德烈斯·弗洛尔先后提出了多种构造： 在证明辛几何的阿诺德猜想时，提出了弗洛尔同调的第一个版本，现在称作拉格朗日弗洛尔同调； 为辛流形的拉格朗日子流形提出了密切相关的理论； 利用杨-米尔斯泛函，将同调群与闭3维流形联系起来。 这些构造及其后代在目前的辛流形...

流形类似。它们之间有一个精确的关系：勒让德子流形在切触流形的辛化中的提升是一个拉格朗日子流形。 勒让德子流形的最简单的例子是在一个切触三维流形中的勒让德纽结。不等价的勒让德纽结可能作为光滑纽结是等价的。 勒让德子流形是很刚性的对象；在一些情况下，子流形为了成为勒让德子流形...

微分几何中，辛流形是装备了闭非退化2-形式ω的光滑流形M，ω称为辛形式。辛流形的研究称为辛几何或辛拓扑。辛流形作为经典力学和分析力学中流形的余切丛自然出现，例如在经典力学的哈密顿表述中（这该领域的主要动机之一），系统所有可能构型的空间可以用流形建模，流形的余切丛描述了该系统的相空间。 一个辛流形...

不变量的量子场论。其共同特征是某些相关函数不依赖于背景时空流形的度量。 虽然拓扑量子场论由物理学家发明，但是在数学上也具有重要意义，与纽结理论、代数拓扑中的4-流形（英语：4-流形）、代数几何中的模空间等分支均有联系。西蒙·唐纳森、沃恩·琼斯、爱德华·威滕和马克西姆·孔采维奇都因对拓扑场论方面的研究而获得菲尔兹奖。...

微分几何中，一個微分流形上的联络的完整（英語：holonomy，又譯和樂），描述向量繞閉圈平行移动一週回到起點後，與原先相異的現象。平聯絡的和樂是一種單值性現象，其於全域有定義。曲聯絡的和樂則有非平凡的局域和全域特點。 流形上任意一種聯絡，都可由其平行移動映射給出相應的和樂。常見的和樂由具有特定對稱...

若考虑一个黎曼流形或一个伪黎曼流形，使得存在一个可逆，非退化的度量，则该余度量可以简单的由该度量的逆给出。哈密顿-雅可比方程的解就是流形上的测地线。特别的有，这个情况下的哈密顿流就是测地流。这些解的存在性和解集的完备性在测地线条目中有详细讨论。 当余度量是退化的时，它不是可逆的。在这个情况下，这不是一个黎曼...

《流形的命运》（Manifold Destiny）是一篇由西尔维亚·娜萨和大卫·格鲁伯撰稿，于2006年8月28日刊登在《纽约客》杂志上的文章。此文在2006年8月21日左右就已由《纽约客》杂志刊登上网。 此文詳細講述了圍繞龐加萊猜想之格里戈里·佩雷尔曼證明所發生的一些背景，并追蹤了三組數學家試圖驗證佩雷尔曼證明的過程。...

勞倫·清美·威廉斯（英語：Lauren Kiyomi Williams，約1978年－）是一名美國數學家，因其在簇代數（英语：Cluster algebra）、熱帶幾何、代數組合學、振幅多面體（英语：Amplituhedron）和格拉斯曼流形方面的研究工作而知名。她是哈佛大學德懷特·帕克·羅賓遜數學教授。 威廉斯...

D-模理论的发展相通。其中一部分是调和系统的现代理论：PDE 超定（over-determined）到具有无穷维解空间的程度。 他在使用了无穷维格拉斯曼流形的非线性孤子理论中亦有基本贡献。在数论中他因L-函数的佐藤-泰特猜想（英语：Sato-Tate conjecture）而闻名。...

S_{p}} 在 p {\displaystyle p} 點的高斯曲率。形式上，截面曲率是流形上的2维格拉斯曼纤维丛的光滑实值函数。 截面曲率完全决定了曲率张量，是非常有用的几何概念。 设 M {\displaystyle M} 为黎曼流形， σ {\displaystyle \sigma } 为 M...

这个例子是比射影空间更早发现的第一个格拉斯曼流形。在数学的通常使用中有许多更深入的典型线性群的齐性空间。 准齐性向量空间概念由佐藤幹夫提出。 它是带有一个代数群G作用的有限维向量空间X，使得存在G的一个轨道在扎里斯基拓扑下是开集（从而稠密）。一个例子是GL1作用在一维空间空间上。...

C^{\infty }(X)} ，所以方程大大简化了。 可直接在2维流形上研究杨–米尔斯方程。迈克尔·阿蒂亚、拉乌尔·博特研究了底流形为紧黎曼曲面时的杨–米尔斯方程理论，这时复向量丛E上杨–米尔斯联络的模空间有各种丰富的解释，是理解高维方程的最简单情形。杨–米尔斯方程即变为 ⋆ F A = λ ( E ) Id E...

流形上稳定丛的埃爾米特－愛因斯坦度量的存在性，推广唐纳森关于射影代数曲面，以及 Narasimhan 和 Seshadri 关于代数曲线的结果。 丘成桐与蕭蔭堂合作解决弗蘭克爾猜想，即紧致正曲率凯勒流形与複射影空间双全纯同构。 丘成桐与米克斯（ William H. Meeks） 合作解决三維流形...