在數學上，歐拉函數的定義如下 ϕ ( q ) = ∏ k = 1 ∞ ( 1 − q k ) {\displaystyle \phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})} 此函數得名由萊昂哈德·歐拉。歐拉函數是典型的q級數及模形式函數，也是描述组合数学及複分析之間關係的典型範例。...

欧拉公式（英語：Euler's formula，又稱尤拉公式）是複分析领域的公式，它将三角函数與复指数函数关联起来，因其提出者莱昂哈德·歐拉而得名。歐拉公式提出，對任意实数 x {\displaystyle x} ，都存在 e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle...

x-\sinh x} 因為指數函數可以定義為任何複數參數，也可以擴展雙曲函數的定義為複數參數。函數 sinh ⁡ z {\displaystyle \sinh z} 和 cosh ⁡ z {\displaystyle \cosh z} 是全純函數。 指數函數與三角函數的關係由歐拉公式給出： e i x =...

\Gamma \,} 函数（伽瑪函數；Gamma函数），是階乘函數在實數與複數域上的擴展。如果 n {\displaystyle n} 為正整數，則： Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!} 根据解析延拓原理，伽瑪函數可以定義在除去非正整數的整個複數域上：...

cis函數示意圖 在微积分学中，cis函數又稱純虛數指數函數，是複變函數的一种，和三角函數類似，其可以使用正弦函數和餘弦函數 cis ⁡ x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle \operatorname {cis} x=\cos x+i\sin x}...

在科學和數學中，狄拉克δ函數或簡稱δ函數（譯名德爾塔函數、得耳他函數）是在實數線上定義的一個廣義函數或分佈。它在除零以外的點上都等於零，且其在整個定義域上的積分等於1。δ函數有時可看作是在原點處无限高、无限细，但是总面积为1的一個尖峰，在物理上代表了理想化的質點或点电荷的密度。 從純數學的觀點來看，狄拉克δ函數...

柯西积分公式表明每个全纯函数在圆盘内的值由它在盘边界上的取值所完全决定。 多复變函數的复解析函数定义为在一点全纯和解析，如果它局部可以扩张为收敛的各个变量的幂级数。这个条件比柯西-黎曼方程要强；事实上它可以这样表述为一个多复变量函数是全纯的当且仅当它满足柯西-黎曼方程并且局部平方可积。 全纯函数...

複分析（英語：Complex analysis）是研究複變的函數，特別是亞純函數和複變解析函數的數學理論。 研究中常用的理论、公式以及方法包括柯西积分定理、柯西积分公式、留数定理、洛朗级数展开等。複變分析的应用领域较为广泛，在其它数学领域和物理学中也起着重要的作用。包括数论、应用数学、流体力学、热力学和电动力学。...

_{n\rightarrow \infty }n(b^{1/n}-1)\\&=\ln(b).\\\end{aligned}}} 這裡的自然對數定義為歐拉提出，是他定義的指數函數的逆函數。 d d x ( 1 + x n ) n = n n + x ( 1 + x n ) n . {\displaystyle {\frac...

變量值對應的因變量值，那麼這個函數就是單調減少函數。單調增加函數和單調減少函數統稱單調函數。 这個概念最先出现在微积分中，后来推广到序理论中更加抽象结构中。尽管概念一般是一致的，两个学科已经发展出稍微不同的术语。在微积分中，我们经常说函数是单调递增和单调递减的，在序理论中偏好术语单调、反单调或序保持、序反转。...

x^{2}+y^{2}-1=0} 確定的函數。而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数，也就是通常所说的函数，如 y = cos ⁡ ( x ) {\displaystyle y=\cos(x)} 。 隱函數定理說明了隱式方程在什麼情況下會給出定義良好的隱函數。 隐函数的一个常见类型是反函数。若 f {\displaystyle...

tf(x)+(1-t)f(y).} 则我们称f在某區間（或者某個向量空間中的凸集）上是凹的 某函數f:R→R，在x和y之間的每一點z，在圖中的點(z, f(z) )是在以點(x, f(x) )和(y, f(y) )連成的直線之上。 如果一個可微函數 f {\displaystyle f} 它的導數 f ′ {\displaystyle...

結構工程中負荷與材質的安全係數 物質的比重量 下不完全Γ函數 三角形裏第三個角，在邊C的對面 數學上的歐拉-馬歇羅尼常數 伽馬射線和光子 熱力學上的絕熱指數 狹義相對論上的勞侖茲因子 阻尼係數（kg/s） 雙極性電晶體中射極電流與基極電流的比例 Δ代表： 有限差分 差分算子 對稱差 拉普拉斯算子 一條圓形曲線的圓心角 反矩陣的行列式...

初等函数（基本函數）是由常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、乘方、开方）及有限次函数复合所产生、并且在定义域上能用一个方程式表示的函数。 一般来说，分段函数不是初等函数，因为在这些分段函数的定义域上不能用一个解析式表示。 初等函数...

一般Γ函數與阿达马Γ函數 在數學中，阿達馬伽瑪函數或阿達馬的伽瑪函數（Hadamard's gamma function）是除了伽瑪函數之外的另一種階乘的擴展定義方式，以雅克·阿达马命名。此函數可以視為將階乘的參數向左平移1，並且在階乘的非整數部分插值，但是有別於歐拉伽瑪函數將階乘擴展到實數和複數的定義。阿達馬的伽瑪函數的定義為：...

研究複變函數的理論稱為複分析。它在應用數學和其他數學分支上都有許多實際應用。實分析和數論的結果，最自然的證明經常是以複分析的技巧完成（例子可見質數定理）。 複變函數的圖像是四維的，所以不像實變函數般可以用平面圖像表示。要表示複變函數的圖像，可以用有顏色的三維圖像表達四維資訊，或者以動畫表示函數對複平面的動態變換。...

Γ函數的倒數 在數學中，倒數伽瑪函數（英語：Reciprocal gamma function）是指伽瑪函數的倒數： f ( z ) = 1 Γ ( z ) {\displaystyle f(z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}} 其中，Γ(z)代表伽瑪函數。由於伽瑪函數...

欧几里得空间和复平面。 在现代数学里，微积分基础被包含在实变函数论中，后者包括了对微积分理论的完全数学证明。微积分的范围也被大大拓宽了。昂利·勒貝格建立了测度论，以測度概念来定义絕大多數函數（除卻特別病態的函數）上的积分。洛朗·施瓦茨引入了分布概念，可以用其取任意函數的导数。...

易出現灾难性抵消或數值誤差，因此出現了外正割和外餘割的函數與函數表來解決這類問題。不過這類問題在计算机和计算器普及後逐漸消失，因此這個函數已經幾乎沒再使用。 三角函数在物理学是研究振动和波不可或缺的工具，如简谐振动满足以下微分方程，正弦和余弦函数都满足 y ″ + y = 0 {\displaystyle...

是複變指數函數（日语：複素指数函数）。 也就是說，雙曲正弦等同於指數函數與其倒數之差的一半。雙曲正弦也可以視為自然指數函數的奇函數部分（英语：Even–odd decomposition#Even–odd decomposition） 在雙曲幾何中，雙曲正弦函數類似於歐幾里得幾何中的正弦函數。...

的「鄰域」。 一個具拓撲的集合稱之為拓撲空間。 拓撲空間之間的函數被稱為「連續」的，若任一開集合的原像均為開集合。若函數將實數映射至實數，則其連續之定義等價於微積分內對連續之定義。若一連續函數為一對一且滿射，且若其反函數亦為連續，則該函數稱之為同胚，且該函數的定義域被稱為同胚於其值域。...

\\\end{aligned}}} 指數函數可以擴展為對任何複數 x {\displaystyle x} 得出複數值為 e x {\displaystyle e^{x}} 的函數，只需要簡單使用 x {\displaystyle x} 為複數的無窮級數；這個指數函數的逆函數...

函數，是利用已知直角三角形的鄰邊和對邊這兩條直角邊長度的比值求出其夾角大小的函數，但其輸入值和反正切的輸入值互為倒數，是高等數學中的一種基本特殊函數。 反餘切可以視為餘切的反函數，但餘切函數是周期函數且在實數上不具有一一對應的關係，所以不存在反函數，但也可以視為多值函数，因此我們必須限制餘切函數的定義域使其成為單射和滿射也是可逆的。...

\mathrm {d} t} 兩個相異的可積函數，只有其在勒貝格測度為零的集合上具有不同的值時，才會有相同的拉普拉斯变换。因此以轉換的角度而言，存在其反轉換。包括可積分函數在內，拉普拉斯变换是单射映射，將一個函數空間映射到其他的函數空間。典型的函數空間包括有界連續函數、函數空間L∞(0, ∞)、或是更廣義，在...

學专业学生所學的高等数学課程内容相近，但內容更加深入，一般指以微积分学、无穷级数和解析函數等的一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础的一个较为完整的数学学科。 数学分析研究的內容包括實數、複數、實函數及複變函數。数学分析是由微積分演進而來，在微积分发展至现代阶段中，从应用中的方法总结升华为一类综...

是複變指數函數（日语：複素指数函数）。 雙曲餘弦與自然指數函數的關聯 也就是說，雙曲餘弦可以視為指數函數與其倒數的算術平均數，即雙曲餘弦為自然指數函數的偶函數部分（英语：Even–odd decomposition#Even–odd decomposition）。 在雙曲幾何中，雙曲餘弦函數類似於歐...

point）或稳定点在數學，特別在微積分中是指函數在一點处的一階導數為零，该点即函数的驻点。 也就是說若 p {\displaystyle p} 為駐點則 d y d x | p = 0 {\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{p}=0\,} 在這一點，函數的輸出值停止增加或減少。...

函数與其导数之间的关系。微分方程的解是一個滿足方程的函數，通常微分方程的解並不唯一，經常要給定恰當的初始條件或邊界條件才能確定。而在初等数学的代数方程裡，其解是常数。 微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理学中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气阻力]]為速度函數...

不定積分（英語：Indefinite Integration），也可稱反導函數（Antiderivative）或原函数。在微积分中，函数 f {\displaystyle f} 的不定积分是一个可微函數 F {\displaystyle F} ，其导数等于原來的函數 f {\displaystyle f} ，即 F ′...

在数学中，偏导数（英語：partial derivative）的定義是：一個多變量的函数（或稱多元函數），對其中一個變量（導數）微分，而保持其他变量恒定。 偏导数的作用与价值在向量分析和微分几何以及机器学习领域中受到广泛认可。 函数 f {\displaystyle f} 关于变量 x {\displaystyle...

和Madhava的Kerala學派。他一生中最重要的貢獻主要是在微積分學、複變函數和微分方程這三個領域。 奧古斯丁-路易·柯西一生曾發現和證明過很多微分方程，主要列表如下： 柯西判別法 柯西-施瓦茨不等式 柯西分佈 柯西-歐拉方程 積分檢驗 奧古斯丁-路易·柯西簡介 《大英百科全书》中的条目：奧古斯丁-路易·柯西（英文）...