在數論上，算術函數（或稱數論函數）指定義域為正整數、陪域為複數的函數，即 f : Z + → C {\displaystyle f:\mathbb {Z} ^{+}\rightarrow \mathbb {C} } 。每個算術函數都可視為複數的序列。 最重要的算術函數是積性及加性函數。算術函數...

在數論中，積性函數是指一個定義域為正整數n 的算術函數f(n)，有如下性質：f(1) = 1，且當a 和b 互質時，f(ab) = f(a) f(b)。 若一個函數f(n) 有如下性質：f(1) = 1，且對兩個隨意正整數a 和b 而言，不只限這兩數互質時，f(ab) = f(a)f(b) 都成立，則稱此函數為完全積性函數。...

在數學中，解析函数（英語：Analytic function）是局部上由收斂冪級數給出的函數。解析函數可分成實解析函數與複解析函數，兩者有類似之處，同時也有重要的差異。两种类型的解析函数都是无穷可导的，但复解析函数表现出一些一般实解析函数不成立的性质。此外在超度量域上也可以定義解析函數，這套想法在當代數論與算術...

在代數的領域，加性函數指有對於任何a,b都有性質f(a+b)=f(a)+f(b)的函數(該性質即柯西函數方程)。 以下討論在數論中的加性函數：對於正整數n的一個算術函數f(n)，當中f(1)=1且當a,b互質，f(ab)=f(a)+f(b)，在數論上就稱它為加性函數。若某算術函數f(n)就算a...

在當代數論中，L函數是一類重要的複變數函數，蘊含重要的數論、算術代數幾何或表示理論信息，目前仍有大量待解的猜想。L函數是黎曼ζ函數的推廣，最簡單的例子是狄利克雷L函數，狄利克雷藉此研究等差數列中的素數密度。 許多L函數也有p進數版本。 L函數通常以無窮級數表示，有時也稱為L級數；這種級數通常只對虛部夠大的參數...

在算術函數集上，可以定義一種二元運算，使得取這種運算為乘法，取普通函數加法為加法，使得算術函數集為一個交換環。其中一種這樣的運算便是狄利克雷摺積。它和一般的卷积有不少相類之處。 對於算術函數 f , g {\displaystyle f,g} ，定義其狄利克雷摺積 ( f ∗ g ) ( n ) =...

_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\Pi _{0}(x^{1/n})} 知道了黎曼ζ函数的对数与馮·曼戈爾特函數 Λ {\displaystyle \Lambda } 之间的关系，并利用佩龙公式，可得： ln ⁡ ζ ( s ) = s ∫ 0 ∞...

天文測量學上的黃道座標系統 自動控制系統或電子電路中的回授因子(或回授函數) Γ代表： 傳輸或電訊線路的反射係數 波导的光學模式的限制因子 Γ函數（產生階乘的函數） 上不完全Γ函數 模群（英语：modular group） 伽瑪分佈（以Γ函數定義的連續機率分析） 第二種的克氏符號 圖中與一頂點中有邊相連的頂點...

表示第n個質數及其之後的質數間隙的 g n {\displaystyle g_{n}} 是數論函數的一個例子，在將之視為數論函數的狀況下，一般都把質數間隙給記做 d n {\displaystyle d_{n}} 並稱之為質數差函數。這函數非積性函數，也非加性函數。 数学主题 Bonse不等式 Interprime Gaussian...

柯西函數方程是以下的函數方程： f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y )   {\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\ } 此方程的解被稱為加性函數。 在有理數的範圍中，可以用簡單的代數得到唯一一類的解，表示為 f ( x ) = c x   {\displaystyle...

f_{p}(x)=\sum _{i=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}} 唯一定理：對於任意質數p，若兩個積性函數模p的貝爾級數都相等，則這兩個函數是相等的。 對於兩個算術函數的狄利克雷卷積，有 ( f ∗ g ) p ( x ) = f p ( x ) × g p ( x ) {\displaystyle...

{\displaystyle \log _{e}{x}} 的對數。 在數學上，切比雪夫函數（Chebyshev Function）可指一個標量化函數（切比雪夫加權標量化函數），或兩個彼此相關的函數的其中之一。 切比雪夫第一函數（First Chebyshev Function）在文獻中一般記做 ϑ ( x...

劉維爾函數（Liouville function） λ ( n ) {\displaystyle \lambda (n)} 是算術函數。對於正整數n， λ ( n ) = ( − 1 ) Ω ( n ) {\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}} 其中...

馮·曼戈爾特函數（Von Mangoldt function） Λ ( n ) {\displaystyle \Lambda (n)} 是一個算術函數，它出現在質數定理的研究中，以提出的19世紀數學家漢斯·馮·曼戈爾特命名。 若 n {\displaystyle n} 是質數冪， Λ ( n ) {\displaystyle...

分佈中的众数不一定只有一個，若概率质量函数或機率密度函數在x1, x2……等多個點都有最大值，就會有多個众数，最極端的情形是離散型均勻分佈，所有的點概率都相同，所有的點都是眾數。若機率密度函數有數個局部最大值，一般會將這幾個極值都稱為众数，此連續機率分佈會稱為多峰分布（英语：Multimodal...

{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\geqslant {\sqrt {ab}}} 算术-几何平均值不等式仅适用于非負实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。 算术-几何平均值不等式有時被称为平均值不等式（或均值不等式），其實后者是一组更廣泛的不等式。...

Huxley）证明。 N ( r ) {\displaystyle N(r)} 的值可以由幾個形式給出，例如以下取整函數表示成以下和式： N ( r ) = 1 + 4 ∑ i = 0 ∞ ( ⌊ r 2 4 i + 1 ⌋ − ⌊ r 2 4 i + 3 ⌋ ) ....

真因數和可以用來描述質數、完全数、相親數鏈、亏数、过剩数和不可及数，也可以用於定義整數的真因數和數列。 真因數和函數 s ( n ) {\displaystyle s(n)} 與1次除數函數 σ 1 ( n ) {\displaystyle \sigma _{1}(n)} 的關係僅差 n {\displaystyle...

{\displaystyle p(0)=1} ，若n為負數則 p ( n ) = 0 {\displaystyle p(n)=0} 。 此函數應用於對稱多項式及對稱群的表示理論等。 分割函數p(n)，n從0開始： 1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77......(OEIS:A000041)...

x'_{n}\rangle )} 而求得。 以上的算術可以被一般化，以用於二階及三階導數。 然而，此算術的規則將會迅速變得複雜。 其複雜度將與最高階導數階數成平化。 取而代之的是使用限縮泰勒級數。 這是可行的，因為函數的泰勒級數中的通項為己知係數和函數導數的乘積。 使用自動微分來計算黑塞矩陣在某些最佳化已被證明是可行的。...

在數論上，除數函數 σ x ( n ) {\displaystyle \sigma _{x}(n)} 是一類算術函數，定義為 n {\displaystyle n} 的正因數的 x {\displaystyle x} 次冪之和，即 σ x ( n ) = ∑ d | n d x {\displaystyle...

在解析數論及代數數論中，狄利克雷特徵是一種算術函數，是 Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } 的特徵。它用來定義L函數。兩者都是由狄利克雷在1831年為了證明狄利克雷定理而引進。 狄利克雷特徵指有下面性質、由整數到複數的函數： 存在正整數k使得對於任意n都有χ(n)...

整数可以是方程式的解（丟番圖方程）。有些解析函數（如黎曼ζ函數）中包括了一些整數、質數的性質，透過這些函數也可以了解一些數論的問題。透過數論也可以建立實數和有理數之間的關係，並且用有理數來逼近實數（丟番圖逼近）。 數論早期也稱為「算術」（arithmetic），而算術一詞則表示「基本運算」，在现代数论诞生前，早期铺垫有三大内容：...

函數。這個圖靈機只需列舉出 n 的古德斯坦序列，並在遇到 0 時結束，並傳回其長度。因為每個古德斯坦序列終將結束，所以這個函數是完全的。但因為皮亞諾算術不能證明古德斯坦序列會終止，皮亞諾算術不能證明這個圖靈機計算了一個完全函數。 Non-standard model...

15, … 的第n項公式為n2 − 1。 有些整數數列只能列出其中的數都有的特性，但無法用公式來表示數列中的數值。以完全數為例，可以計算一個數的除數函數來判斷是否是完全數，但沒有公式可以計算各項的數值。 若一個整數數列，存在演算法可以針對任意數值的n，計算an，此數列為可計算數列（computable...

對於所有非負整數 n {\displaystyle n} ，蘭道函數 g ( n ) {\displaystyle g(n)} 定義為對稱群 S n {\displaystyle S_{n}} 的所有元素的秩之中，最大的一個。或者說， g ( n ) {\displaystyle g(n)} 是 n...

勒让德符号，或二次特征，是一个由阿德里安-马里·勒让德在1798年尝试证明二次互反律时引入的函数。这个符号是许多高次剩余符号的原型；其它延伸和推广包括雅可比符号、克罗内克符号、希尔伯特符号，以及阿廷符号。 勒让德符号 ( a p ) {\displaystyle ({\tfrac {a}{p}})}...

易出現灾难性抵消或數值誤差，因此出現了外正割和外餘割的函數與函數表來解決這類問題。不過這類問題在计算机和计算器普及後逐漸消失，因此這個函數已經幾乎沒再使用。 三角函数在物理学是研究振动和波不可或缺的工具，如简谐振动满足以下微分方程，正弦和余弦函数都满足 y ″ + y = 0 {\displaystyle...

那么我们将 z {\displaystyle z} 的算术平方根定义为： z = r e i φ 2 {\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {r}}e^{\frac {i\varphi }{2}}} 因此，平方根函数除了在非正实数轴上以外是处处全纯的。 1 + x {\displaystyle...

还有，哥德尔编号蕴涵了形式系统的每个推论规则都可以被表达为自然数的函数。如果 f 是哥德尔映射并且如果公式 C 可以推导自公式 A 和 B，通过推论规则 r，就是说 A , B ⊢ r C   {\displaystyle A,B\vdash _{r}C\ } ， 则有某个自然数的算术函数 gr 使得 g r ( f ( A )...

&{\text{ 若 }}\ x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}} 實際上，上取整與下取整函數作用於整數 n {\displaystyle n} ，效果等同恆等函數： ⌊ n ⌋ = ⌈ n ⌉ = n . {\displaystyle \lfloor n\rfloor =\lceil...