贝塞尔函数（Bessel functions），是数学上的一类特殊函数的总称。通常单说的贝塞尔函数指第一类贝塞尔函数（Bessel function of the first kind）。一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数 y ( x ) {\displaystyle y(x)}...

{\begin{matrix}{\frac {\sin(a)}{a}}\end{matrix}}=\cos(a)\,} 。 非归一化 sinc 是第一类零阶球贝塞尔函数 j 0 ( x ) = sin ⁡ ( x ) x {\displaystyle j_{0}(x)={\begin{matrix}{\frac...

零次函数（常數函數）：零次多项式，图像为水平线。 一次函数：一次多项式，图像为斜直线。 二次函数：二元二次多项式，图像为圆锥曲线。 三次函数 四次函数 五次函数 有理函数：两个多项式函数的比。 开方 平方根 立方根 非代数函数即为超越函数。 指数函数 双曲函数：形式上相似于三角函数。 对数函数：指数函数的反函数；用于求解指数方程。...

{Z} }{\frac {(k^{2}\pi t)^{i}}{(1+k^{2}\pi t)^{i+\alpha +1}}};} 随意选定参量t，贝塞尔函数可以表示为： J α ( x ) ( x 2 ) α = e − t Γ ( α + 1 ) ∑ i = 0 L i ( α ) ( x 2 4...

− t ) {\displaystyle u(1-t)} ; Airy分布用 J 1 {\displaystyle J_{1}} （一阶第一类贝塞尔函数）表达。(Stein & Weiss 1971，Thm. IV.3.3) harv模板錯誤: 無指向目標: CITEREFSteinWeiss1971...

(2/3)π−δ}内。 从艾里函数的渐近表现可以推出，Ai(x)和Bi(x)在负的实数轴上都有无穷多个零点。Ai(x)在复平面内没有其它零点，而Bi(x)在扇形{z∈C : (1/3)π < |arg z| < (1/2)π}内还有无穷多个零点。 当自变量是正数时，艾里函数与变形贝塞尔函数之间有以下的关系： A...

常用的数学函数包括多项式函數、根式函數、冪函數、对数函數、有理函数、三角函数、反三角函數等。它们都是初等函数。非初等函数（或特殊函数）包括伽马函數和贝塞尔函数等。 函數可分為 奇函數或偶函數 連續函數或不連續函數 實函數或虛函數 純量函數或向量函數 单调增函数或单调减函数 在范畴论中，函数的槪念被推廣為態射的槪念。...

特殊函数是指一些具有特定性质的函数，一般有约定俗成的名称和记号，例如伽玛函数、贝塞尔函数、菲涅耳积分等。它们在数学分析、泛函分析、數學物理、工程应用中有着举足轻重的地位。许多特殊函数是微分方程的解或初等函数的积分，因此积分表中常常会出现特殊函数，特殊函数的定义中也经常会出现积分。传统上对特殊函数...

汉克尔变换是指对任何给定函数 f ( r ) {\displaystyle f(r)} 以第一类贝塞尔函数 J ν ( k r ) {\displaystyle J_{\nu }(kr)} 作无穷级数展开，贝塞尔函数 J ν ( k r ) {\displaystyle J_{\nu }(kr)} 的阶数不变，级数各项...

的质点都被拉普拉斯变换完全捕获。虽然在使用勒贝格积分时，我们没有必要取这个极限，但它让我们更自然地与拉普拉斯–斯蒂尔吉斯变换（英语：Laplace–Stieltjes transform）建立联系。 更廣義地，對於定義於整個實數軸上的實值函數或複值函數 f ( t ) {\displaystyle...

a}{\delta }})+i\,Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})}}} 其中Ber和Bei为0阶的开尔文-贝塞尔函数的相应原函数（具体见下）。 考虑一个半径为a，长度无限大的圆柱形导体。假设电磁场是時變場，則在圆柱中有频率为ω的正弦交流电流。由麦克斯韦方程组， 麦克斯韦-法拉第方程：...

{\displaystyle Re(f)} 代表 f {\displaystyle f} 的实数部分， J ν {\displaystyle J_{\nu }} 是第一类贝塞尔函数。 b e r v ( x ) = I m ( J ν ( x e 3 π i 4 ) ) {\displaystyle ber_{v}(x)=Im(J_{\nu...

等于0，那么任何可积函数在 A {\displaystyle A} 上的积分等于0。 函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。如果对...

指數函數是解析的。这个函数的泰勒级数在整个复平面上收敛。 三角函數、对数函数、幂函数在相应的定义域上都是解析的。 多数特殊函数（至少在复平面上的某些区域） 超几何函数 贝塞尔函数 伽马函数 典型的非解析函数有： 絕對值函數非解析函數，因為它在点0处不可微。分段定义的函数在分段处通常不是解析的。 複共軛函數 z ↦...

{dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0} （其中y為應變數）為二階微分方程，其解為贝塞尔函数。 偏微分方程（PDE）是指一微分方程的未知數是多個自變數的函數，且方程式中有未知數對自變數的偏微分。偏微分方程的階數定義類似常微分方程，但更細分為橢圓型、雙曲線型及拋物線型的...

在量子力學裏，量子系統的量子態可以用波函數（英語：Wave function）來描述。薛丁格方程式設定波函數如何隨著時間流逝而演化。 波函數 Ψ ( r , t ) {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)} 是一種複值函數，表示粒子在位置 r {\displaystyle...

勒貝格积分（英語：Lebesgue integral）是现代数学中的一个积分概念，它将积分运算扩展到任何测度空间中。在最简单的情况下，对一个非负值的函数的积分可以看作是函数图像与 x {\displaystyle x} 轴之间的面积。勒贝格积分则将积分运算扩展到更广的函数（可测函数），并且也扩展了可以进行积分运算的集合（可测空间）。...

{\displaystyle K_{p}} 是 a > 0 {\displaystyle a>0} 且 b > 0 {\displaystyle b>0} 的第三类修正贝塞尔函数。在地质统计学、统计语言学以及金融等领域大量地使用着这种概率分布。这种概率分布最初是Etienne Halphen提出的。后来Ole...

)sin(\rho *\pi )*z^{1/2}*K_{p}(\xi )} 其中 K p ( ξ ) {\displaystyle K_{p}(\xi )} 是贝塞尔函数K B n ( z ) = ( p z ) 1 / 2 ( I − p ( ξ ) + I p ( ξ ) {\displaystyle...

是柱坐標下的坐標（分別為半徑、極角和高度），而 n 和 k 則是兩個常數，用以區分不同的柱諧函數。所有的柱諧函數一起，組成一組正交完備的基底，任何一個拉普拉斯方程的解都可以寫成這些函數的線性組合。 有時候，柱諧函數也用來指代貝塞爾函數（柱諧函數最重要的組成部分）。 柱坐標下的拉普拉斯方程為： ∇ 2 V = 1 ρ ∂...

全书十二章 第一章：函数用无穷级数和无穷乘积展开 第二章：二阶线性常微分方程 第三章：伽马函数 第四章：超几何函数 第五章：勒让德函数 第六章：合流超几何函数 第七章：贝塞尔函数 第八章：外氏椭圆函数 第九章：忒塔函数 第十章：雅氏椭圆函数 第十一章：拉梅函数 第十二章：马丢函数 《特殊函数概论》，王竹溪、郭敦仁合著，北京大学出版社，ISBN...

} 的本征函数系v。 在二维情形下，上述本征函数系可以理解成绷紧地张在边界B上的鼓面的自由振动模态。若B是一个圆，则这些本征函数是关于极角自变量θ的三角函数与关于极轴自变量r的整阶贝塞尔函数的乘积。更详细的说明参见英文版条目亥姆霍兹方程。 在三维形式下，若边界是空间中的球面，那么本征函数...

{\displaystyle U(a,b,z)=z^{1-b}U\left(1+a-b,2-b,z\right)} . 很多特殊函数都是合流超几何函数的特殊情形。 第一类、第二类虚宗量贝塞尔函数可以分别表示为： I ν ( z ) = z ν 2 ν e z Γ ( ν + 1 ) M ( ν + 1 2 ,...

}{2}})}}\left(J_{\nu }(z)-\cos(\pi (\mu -\nu )/2)Y_{\nu }(z)\right)} 其中 Jν(z) 是第一类贝塞尔函数， Yν(z) 是第二类贝塞尔函数。 Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi...

梅林变换有许多应用。出于它与狄利克雷级数的联系，它也被用以证明黎曼ζ函数与素数计数函数有关的的函数方程；进一步地，它也与解析数论有关，如在佩龙公式中。 同时，它与伽马函数密切相关，很多常见函数的梅林变换中都需要用到伽马函数或它衍生出的贝塔函数；这使得它被运用在梅林-巴恩斯积分和超几何函数...

{|z|}{\sigma _{X}\,\sigma _{Y}}}\right),} 其中 K 0 {\displaystyle K_{0}} 是修正貝塞爾函數（modified Bessel function） 它們的比符合柯西分布，滿足 X / Y ∼ C a u c h y ( 0 , σ X /...

{\pi }{2}}} 注意到 sin ⁡ t t {\displaystyle {\frac {\sin t}{t}}} 是sinc函数，也是第零个球贝塞尔函数。 有两种不同的余弦积分： C i ( x ) = γ + ln ⁡ x + ∫ 0 x cos ⁡ t − 1 t d t {\displaystyle...

}}}\right]^{2}} ， 其中 J 1 ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {J_{1}} (x)} 是贝塞尔函数。 設 I ( θ ) = 0 {\displaystyle I(\theta )=0} ，可得第一個零點 θmin 發生在： π a sin ⁡...

杰克逊q贝塞尔函数是英国数学家杰克逊在20世纪初创立的3个特殊函数，它们是贝塞尔函数的q模拟。定义如下 杰克逊q贝塞尔函数是通过阶乘幂和基本超几何函数定义的： J ν ( 1 ) ( x ; q ) = ( q ν + 1 ; q ) ∞ ( q ; q ) ∞ ( x / 2 ) ν 2 ϕ 1...

在泛函分析中，以馬克-安托萬·帕塞瓦爾命名的帕塞瓦尔恒等式是一个有关函数的傅里叶级数的可加性的基础结论。从几何观点来看，这就是内积空间上的毕达哥拉斯定理。 通俗地说，此恒等式表明“函数的傅里叶系数的平方和”与“函数平方后的积分值”可以直接换算 ∑ n = − ∞ ∞ | c n | 2 = 1 2...

在科學和數學中，狄拉克δ函數或簡稱δ函數（譯名德爾塔函數、得耳他函數）是在實數線上定義的一個廣義函數或分佈。它在除零以外的點上都等於零，且其在整個定義域上的積分等於1。δ函數有時可看作是在原點處无限高、无限细，但是总面积为1的一個尖峰，在物理上代表了理想化的質點或点电荷的密度。 從純數學的觀點來看，狄拉克δ函數...