概率论与统计学中，连续时间随机过程或连续时空随机过程是指指数变量（index variable）在连续集中取值的随机过程，而离散时间过程的指数变量则只取离散值。另一种术语用连续参数，更加的一般。 连续随机过程是更加受限的过程，这里的术语通常（但不总是）指指数变量与过程的样本路径都连续。。鉴于可能出现的混淆，需要谨慎对待。...

在機率論以及相关领域中，隨機過程（英語：Stochastic process 或 Random process）通常定义为概率空间中一列随机变量，其中序列的指标集通常可以理解为时间。很多出现随机变化现象的系统可以用随机过程的数学模型所描述，例如菌群数量的变化，由热噪声导致的电流大小的波动，或者气体粒子的运动。随机过程...

^{-1/2}=I} 这样，通过上面的变换就可以将随机向量白化为平均值为0、协方差矩阵是单位矩阵的随机向量。 我们将模拟和白化这两个概念推广到连续时间随机信号或者随机过程。我们创建一个滤波器用于模拟，将白噪声注入其中，用输出信号模拟任意随机过程的一阶和二阶矩。对于白化，我们将任意随机信号注入所选滤波器中，滤波器输出是白噪声。...

数学中，维纳过程（英語：Wiener process）是一种连续时间随机过程，得名于诺伯特·维纳。由于与物理学中的布朗运动有密切关系，也常被称为“布朗运动过程”或简称为布朗运动。维纳过程是莱维过程（指左极限右连续的平稳独立增量随机过程）中最有名的一类，在纯数学、应用数学、经济学与物理学中都有重要应用。...

连续的。混合型随机变量的例子是排队等候时间的概率。顾客等待时间为零的可能性是离散的，而非零的等待时间是连续的。 谱 (物质科学)（英语：Spectrum (physical sciences)） 连续函数 计数数据（英语：Count data） 离散数学 离散时间与连续时间 连续时间随机过程 连续建模（英语：Continuous...

隨機微分方程（英語：SDE, stochastic differential equation），是常微分方程的擴展，其项是随机过程，解也是随机过程。其形容一個隨機變數的變動過程，也就是常微分方程加上一個白噪音項。一般微分方程的對象為可導函數，並以其建立等式。然而，隨機過程...

信号处理中常用的弱平稳也被称为广义平稳（Wide-sense stationary,WSS）或者协方差平稳。WSS 随机过程仅仅要求一阶和二阶矩不随时间变化。 这样，一个 WSS 的连续时间随机过程 x(t) 有下述数学期望函数 1. E { x ( t ) } = m x ( t ) = m x ( t + τ ) ∀...

随机过程他的状态X可取到一个离散集合中的值，该值随时间t变化，可将该值表示为X(t)。在这里，时间变量是离散或连续不影响讨论的结果。考虑任意一个“过去的时间”集合(...,p2, p1), 任何“当前时间”s, 以及任何“未来时间” t, 同时所有这些时间全都在X的取值范围之内，若有...

Poisson过程（Poisson process，大陆译泊松过程、普阿松过程等，台译卜瓦松過程、布瓦松過程、布阿松過程、波以松過程、卜氏過程等），是以法國數學家泊松（1781 - 1840）的名字命名的。泊松過程是隨機過程的一種，是以事件的發生時間來定義的。 這個過程...

过程是一种正态分布的独立增量连续随机过程。它是随机分析中基本概念之一。其基本性质为：布朗运动W(t)是期望为0、方差为t（时间）的正态随机变量。对于任意的r小于等于s，W(t)-W(s)独立于的W(r)，且是期望为0、方差为t-s的正态随机变量。可以证明布朗运动是马尔可夫过程、鞅过程和伊藤过程。...

時間是離散的，隨機漫步的路徑為一個由自然數索引的隨機變量序列(X t) = (X 1, X 2, ...)。但是，也可以定義在隨機時間採取步驟的隨機遊走，在這種情況下，必須定義X t的所有時間t ∈ [0,+∞)。 通常，我們可以假設隨機漫步是以马尔可夫链或馬可夫過程的形式出現，但是比較複雜的隨機...

在概率论中，连续时间马尔可夫链（continuous-time Markov chain，CTMC）是离散时间马尔可夫链的变体。连续时间马尔可夫链是一个连续随机过程，即将时间映射至一个随机变量，并且在每个时刻，该过程会等待一个依指数分布的随机时间，然后跳到由转移矩阵所确定的一个状态。 一个等价的描述是，该过程...

莱维过程（Lévy process）源于法国数学家保羅·皮埃爾·萊維，是连续时间上的一种拥有独立稳定增量的左极限右连续（Càdlàg）的随机过程。著名的例子有维纳过程和泊松过程。 一个随机过程 X = { X t : t ≥ 0 } {\displaystyle X=\{X_{t}:t\geq 0\}}...

在概率论和统计学中，高斯过程（英語：Gaussian process）是观测值出现在一个连续域（例如时间或空间）的随机过程。在高斯过程中，连续输入空间中每个点都是与一个正态分布的随机变量相关联。此外，这些随机变量的每个有限集合都有一个多元正态分布，换句话说他们的任意有限线性组合是一个正态分布。高斯过程...

chain），又稱離散時間馬可夫鏈（discrete-time Markov chain，縮寫為DTMC），因俄國數學家安德烈·马尔可夫得名，为狀態空間中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程。该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间...

_{X}(t)-1)}.\,} 一个速率为 λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} ，增量分布为G的复合泊松过程是一个连续时间随机过程 { Y ( t ) : t ≥ 0 } {\displaystyle \{\,Y(t):t\geq 0\,\}} ，定义如下 Y ( t...

GBM），也叫做指数布朗运动（英語：exponential Brownian motion）是连续时间情况下的随机过程，其中随机变量的对数遵循布朗运动，也称维纳过程。几何布朗运动在金融数学中有所应用，用来在布莱克-舒尔斯定价模型中模仿股票价格。 A 随机过程St在满足以下随机微分方程 (SDE)的情况下被认为遵循几何布朗运动： d S...

s\leq t,} 则称关於随机过程 Xt 的连续时间鞅是随机过程 Yt 。 上述定义表达了鞅的性质，即在 s ≤ t 的条件下，已知时刻 s 以及之前所有时刻的观测值，若时刻 t 的观测值的条件期望等於时刻 s 的观测值，则随机过程是鞅。 更為一般性的定义如下：若随机过程 Y : T × Ω → S...

随机分析（stochastic calculus）是对随机过程进行运算的概率论分支，主要内容有伊藤积分、随机微分方程（又包括随机偏微分方程和倒向随机微分方程）等等。 随机性模型是指含有随机成份的模型。与确定性模型的不同可以很好地用以下例子解释：在赌场里赌大小，如果有人认为三次连开大第四次必然开小，那...

随机过程的功率谱密度是其自相关函数的傅里叶变换。 諾伯特·維納在1930年证明了这个定理对于确定性函数的情况； 辛钦后来对于平稳随机过程得出了类似的结果并且于1934年发表了它。 阿尔伯特·爱因斯坦在1914年的一份简短的备忘录里阐述了这个想法，但并未给出证明。 对于连续时间的情形，维纳-辛钦定理表明若...

distribution）是一種連續機率分佈。指數分布可以用来建模平均发生率恒定、连续、独立的事件發生的間隔，比如旅客進入機場的時間間隔、電話打進客服中心的時間間隔、中文維基百科新條目出現的時間間隔、機器的壽命等。 指數分布即形狀母數α為1的伽瑪分布。 若隨機變數 X {\displaystyle...

隨機過程中，像布朗运动（維納過程）就可以用伊藤微积分進行分析。主要應用在金融數學及隨機微分方程中。伊藤微积分的中心概念是伊藤积分，是將傳統的黎曼－斯蒂爾傑斯積分延伸到隨機過程中，隨機過程一方面是一個隨機變數，而且也是一個不可微分的函數。 藉由伊藤积分，可以將一個隨機過程（被积分函数）對另一個隨機...

在数学中，右连左极函数（càdlàg，RCLL）是指定义在实数集或其子集上的处处右连续且有左极限的函数。这类函数在研究有跳跃甚至是需要跳跃的随机过程时很重要，这类随机过程不像布朗运动具有连续的样本轨道。给定定义域上的右连左极函数的集合称为斯科罗霍德空间（Skorokhod space）。 令 ( M...

{\displaystyle Y_{t}} 为连续时间随机过程。则 ( X t , Y t ) {\displaystyle (X_{t},Y_{t})} 是隐马尔可夫模型的条件是： X t {\displaystyle X_{t}} 是马尔可夫过程，其行为不可直接观测（“隐”）； P ⁡ ( Y...

伯努利过程是一个由有限个或无限个的独立随机变量 X1, X2, X3 ,..., 所组成的离散时间随机过程，其中 X1, X2, X3 ,..., 满足如下条件： 对每个 i, Xi 等于 0 或 1; 对每个 i, Xi = 1 的概率等于 p. 换言之，伯努利过程是一列独立同分布的伯努利试验。每个Xi...

击中时也称为命中时、首中时，是数学中随机过程研究裡出现的一个概念，表示一个随机过程首次接触到状态空间的某个子集的时间。在特定的例子中，也会被称为离时（脱离时间）或回时（首次回归时间）。 设 T {\displaystyle T} 是一个有序的指标集，比如说是自然数的集合 N {\displaystyle...

随机性（英語：Randomness）这个词是用来表达目的、动机、规则或一些非科学用法的可预测性的缺失。 一个随机的过程是一个不定因子不断产生的重复过程，但它可能遵循某个概率分布。 术语随机经常用于统计学中，表示一些定义清晰的、彻底的统计学属性，例如缺失偏差或者相關。随机...

在概率论中，尤其在随机过程的研究中，停时是一种特殊的“随机时刻”。 停止规则和停时理论常在概率论和统计学中被提到和应用，其中著名的有可选抽样定理（英语：Optional stopping theorem）。停时同时在数学证明中也被频繁应用——“驯服时间这一连续统” 。 定義 —  ( X , Σ ...

{y}}(n-l).} 上述定义在信号平方可积或平方可和（即有限能量）的前提下才成立。但“永远持续”的信号被处理成随机过程，就需要使用基于期望值的与之不同的定义。对于宽平稳随机过程，自相关函数定义为 R f f ( τ ) = E ⁡ [ f ( t ) f ¯ ( t − τ ) ] {\displaystyle...

标准布朗桥（英語：Brownian bridge）是概率论中常见的一个研究对象。 它是一种连续时间上的随机过程， 在0和1处取值为0. 注意不要和布朗运动混淆。 布朗桥有时又被称为绑在0和1处的布朗运动（此处仅为意译）。 非标准的 布朗桥 只是在条件 [ B t 1 = a , B t 2 = b ]...

费曼－卡茨公式是一个数学公式与定理，得名于理查德·费曼和马克·卡茨，将随机过程和抛物型偏微分方程结合在一起。使用费曼－卡茨公式可以通过将某些抛物型偏微分方程的解写成随机过程的条件期望的方式，从而将求此类微分方程的数值解转化为模拟随机过程的路径。反过来，此一类随机过程的期望可以通过确定性的计算（偏微分方程求解）得到。考虑偏微分方程：...