概率论中，连续映射定理（英語：Continuous mapping theorem）指出连续函数保持极限，即使其参数是一列随机变量。 海涅定义下的连续函数是指将收敛数列映为收敛数列的函数：如果 x n → x {\displaystyle x_{n}\rightarrow x} 那么 g ( x n...

在数理逻辑中，哥德尔不完备定理是库尔特·哥德尔于1931年证明并发表的两条定理。第一条定理指出： 这是形式逻辑中的定理，容易被错误表述。有许多命题听起来很像是哥德尔不完备定理，但事实上并不是。具体实例见对哥德尔定理的误解。 把第一条定理的证明过程在体系内部形式化后，哥德尔证明了第二条定理。该定理指出： 哥德尔不完备定理...

在泛函分析中，开映射定理（open mapping theorem，亦称巴拿赫-绍德定理 (Banach–Schauder theorem) 或巴拿赫定理 (Banach theorem)）是一个基本的结果，它说明如果巴拿赫空间之间的连续线性算子是满射的，那么它就是一个开映射。更加精确地(Rudin...

d'(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y)} 对于所有M内的x和y。 每一个压缩映射都是利普希茨连续的，因此是一致连续的。 一个压缩映射最多有一个不动点。另外，巴拿赫不动点定理说明，非空的完备度量空间上的每一个压缩映射都有唯一的不动点，且对于M内的任何x，迭代函数序列x，f (x)，f (f (x))，f...

要组成部分。此外，彼得-外尔定理的一个证明中用到了此定理。 以下的定義在定理的叙述和证明中会不斷使用到。 设 K 和 X 是两个度量空间， C ( K , X ) {\displaystyle C(K,X)} 是蒐集所有从 K 到 X 的连续映射的所形成的集合。如果 C ( K , X ) {\displaystyle...

连续的不同行为是层论的根源之一。作为对比，光滑函数的层趋向于不包含很多拓扑信息。 光滑流形之间的光滑映射可以用坐标图的方式来定义。因为函数的光滑性的概念和特定的坐标图的选取无关。这样的映射有一个一阶导数，定义在切向量上；它给出了在切丛的级别上的对应纤维间的线性映射。...

{\displaystyle f(x,y)=0} ，就有 y = φ ( x ) {\displaystyle y=\varphi (x)} 。 反函数定理 不动点定理 压缩映射定理 微分 （英文）Arne Hallam. The implicite function theorem (PDF). Iowa State...

是从环面到 R3的连续函数，当动画开始时，f 把环面映射为嵌入的甜甜圈的表面。g 把环面映射为嵌入的咖啡杯表面。动画展示了ht(x)作为时间的函数时的图像。每一次循环中，时间 t 从 0 变成 1，暂停一会，又从 1 变成 0。 当且仅当存在同伦 H 将 f 变换为 g时，称连续函数 f 和 g 是同伦的。同伦是...

)=0} 成立。由於零点定理可用來找一方程式的根，也稱為勘根定理。伯纳德·波尔查诺於1817年證明了這個定理，同時證明了這個定理的一般情況（即介值定理）。以現代的標準來說，他的證明並不算是非常嚴格。 介值定理意味着在地球的任何大圆上，温度、压强、海拔、二氧化碳的浓度（或其他任何连续...

尤其是对动态系统的研究中, 庞加莱映射, 或第一次回归映射是连续动力系统的状态空间中的周期轨道与确定的低维子空间的横向交点, 其中的低维子空间被称作庞加莱截面. 更精确的说, 对于具有初值位于庞加莱截面上的周期轨道, 轨道第一次回到庞加莱截面上的交点就定义了初值的庞加莱映射, 这就是第一次回归映射的由来. 设 (R...

博苏克-乌拉姆定理表明，任何一个从n维球面到欧几里得n维空间的连续函数，都一定把某一对对蹠点映射到同一个点。 n = 2的情形，就是说在地球的表面上，一定存在一对对蹠点，它们的温度和气压相同。这里假设了温度和气压的变化是连续的。 这个定理首先由乌拉姆猜想。1933年，Karol Borsuk证明了该定理...

在微分方程，利普希茨連續是皮卡-林德洛夫定理中確保了初值問題存在唯一解的核心條件。一種特殊的利普希茨連續，稱為壓縮應用於巴拿赫不動點定理。 利普希茨連續可以定義在度量空間上以及賦范向量空間上；利普希茨連續的一種推廣稱為赫爾德連續。 對於在實數集的子集的函數 f : D ⊆ R → R...

{\displaystyle f'(I)} 仍为区间。 当函数 f {\displaystyle f} 是一阶连续可导函数时，由介值定理，达布定理显然成立。当导函数 f ′ {\displaystyle f'} 不连续时，达布定理说明 f ′ {\displaystyle f'} 仍具有介值性质。 设 f : [ a ...

也是有界的。 從這定理可得出黑林格-特普利茨定理──希爾伯特空間上處處定義的對稱線性算子是有界的。 泛函分析中的定理 阿尔泽拉-阿斯科利定理 • 贝尔纲定理 • 巴拿赫-阿劳格鲁定理 • 巴拿赫-马祖尔定理 • 开映射定理 • 一致有界性原理 • 閉圖像定理 • 哈恩-巴拿赫定理 • 拉克斯-米尔格拉姆定理...

{\displaystyle \Phi } 成为一个收缩映射。根据完备空间的不动点存在定理，存在关于 Φ {\displaystyle \Phi } 的稳定不动点，于是可知微分方程（1）的解存在。 由于收缩映射的局部稳定不动点只有一个，因此在足够小的区间内解是唯一的。 局部的柯西-利普希茨定理并没有说明在较大区域上解的情况。事实上，对于微分方程（1）的任意解...

数学分析中，反函数定理（英語：Inverse function theorem）给出了向量值函数在含有定义域中一点的开区域内具有反函数的一個充分条件。對滿足該條件的函數，该定理斷言其反函数的全导数存在，并给出了一个公式。反函数定理可以推广到定义在流形上、以及定义在无穷维巴拿赫空间（和巴拿赫流形）上的映射...

在數學的拓撲學中，開映射是兩個拓撲空間之間的映射，使得任何開集的像都是開集；閉映射是兩個拓撲空間之間的映射，使得任何閉集的像都是閉集。所以f: X → Y是開映射（閉映射），如果X中的開集（閉集）在f下的像都為Y的開集（閉集）。 開映射和閉映射的定義中，並不要求映射連續。與之比較，映射f: X → Y為連續映射...

中值定理包括微分中值定理和积分中值定理。 微分中值定理分为罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，内容粗略的说是指平面上一段固定端點的可微曲线，兩端點之中必然有一点，它的斜率與連接兩端點的直線斜率相同（严格的数学表达参见下文）。 當提到均值定理時在沒有特別說明下一般指拉格朗日均值定理。 如果函数...

连续线性泛函所构成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。 微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。 泛函分析的主要定理包括： 一致有界定理（亦称共鸣定理），该定理描述一族有界算子的性质。...

0 {\displaystyle \epsilon \leq d_{2}(f(x_{k_{n}}),f(y_{k_{n}}))\to d_{2}(f(x),f(x))=0} ，矛盾，定理得证。 一致连续相比于连续是一个更强的结论。一般情况下，连续不意味着一致连续。 连续 利普希茨连续 赫爾德連續...

在巴拿赫不动点定理中给出了一般准则：如果满足該准则，保证迭代函数程序可以产生一个固定点。 布劳尔不动点定理的结果说：任何封闭单位球的连续函数在n维欧几里德空间本身必须有一个不动点，但它并没有说明如何找到不动点（见：斯苯纳引理（英语：Sperner's lemma））。 例如，余弦函数在[−1, 1]区间连续且映射到[−1...

连续。相对地，离散时间信号具有可数定义域，如自然数。 连续振幅、连续时间的信号常常称作模拟信号，在每一瞬间都有一定值。与温度、压力、声音等物理量成比例的电信号一般是连续信号。连续信号的其他例子有正弦波、余弦波、三角波等等。 信号的定义域可能是有限的也可能不是，定义域到信号值有一个泛函映射...

连续映射可以导出所相关的群的一个群同态，而这些同态可以用于证明映射的不存在性（或者，更深入的，存在性）。 代数拓扑的经典应用包括： 布劳威尔不动点定理：每个从n维圆盘到自身的连续映射存在一个不动点。 n维球面可以有一个无处为0的连续单位向量场当且仅当n是奇数。（对于n=2，这有时被称为"毛球定理"。）...

支是有界的（内部），另外一个是无界的（外部）。X的像是它们的公共边界。 若尔当曲线定理还有另外一种推广，它说明平面上的任何若尔当曲线，视为从圆S1到平面R2的映射，都可以延伸到平面的一个同胚。这个表述比若尔当曲线定理更强。这个推广在更高的维数不成立，亚历山大角球（英语：Alexander horned...

到拓扑群H的同态，简称同态。如果同态f是双射, 而且逆映射 f {\displaystyle f} 也是连续的，那么f称为拓扑群 G {\displaystyle G} 到拓扑群H上的同构映射，简称“同构”。拓扑群全体带上拓扑群间的同态，构成一个范畴。这个范畴就是拓扑群论研究的对象。 在数学中，拓扑群概念最初是由连续...

下面提一些关于复插值的有用的定理： 定理 (插值): [ [X,Y]a , [X,Y]b ]c = [X,Y]cb+(1-c)a. 定理 (算子的插值): 若{X,Y}和{A,B}是插值对，并且若T是一个线性映射，定义与X+Y到A+B中，使得T在X到A和Y到B上连续，则T从[X,Y]t到[A,B]t上连续。并且有如下的插值不等式：...

1980）。这揭示了哈恩-巴拿赫定理与凸性的密切联系。 这个定理有一些重要的结果，其中有些也有时称为“哈恩-巴拿赫定理”： 如果V是一个赋范向量空间，其子空间为U（不一定是闭的），且φ : U → K是连续和线性的，那么存在φ的一个扩张ψ : V → K，也是连续和线性的，且范数与φ相同（关于线性映射...

连续函数（英語：continuous function）是指函数在数学上的属性为连续。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。 如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续函数，或者说具有不连续性。非连续函数一定存在间断点。...

一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念則成為內積空間。 一個向量空間加上拓撲結構并滿足連續性要求（加法及標量乘法是連續映射）則成為拓撲向量空間。 一個向量空間加上雙線性算子（定義為向量乘法）則成為域代數。 對一般域F，V记為F-向量空間。若F是實數域ℝ，则V稱為實數向...

前一种情形下，哈德曼–格罗布曼定理给出了存在连续函数的条件，其将映射的定点邻域映射为线性映射J · x，因此是结构稳定的。向量场的微小变化只会导致庞加莱映射的微小变化，将反映在J的特征值在复平面的微小位置变化上，意味着庞加莱映射仍是双曲的。 KAM理论给出了椭点附近的行为。 演化映射...

泛函分析和鄰近數學分支中，巴拿赫-阿勞格魯定理或阿勞格魯定理（英語：Banach–Alaoglu theorem或Alaoglu's theorem）斷言，任意賦範向量空間的連續對偶空間中，閉單位球在弱*拓撲中為緊。常見證明將弱*拓撲中的單位球看成一系列緊集之積的閉子集。根據吉洪诺夫定理，該些緊集的積拓撲空間仍為緊，故該球亦然。 定理...