在量子力學裏，密度算符（英語：density operator）與其對應的密度矩陣（英語：density matrix）專門描述混合態量子系統的物理性質。純態是一種可以直接用態向量 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 來描述的量子態，混合態則是由幾種純態依照統計...

密度矩陣重整化群 (Density Matrix Renormalization Group)，簡稱DMRG，是一種數值演算法，於西元1992年由美國物理學家史提芬·懷特提出。 密度矩陣重整化群是用來計算量子多體系統（例如：Hubbard model、t-J模型、海森堡模型，等等）的一個非常精準的...

與算符類似，在薛丁格繪景裏的密度矩陣也可以變換到在狄拉克繪景裏。設定 ρ I {\displaystyle \rho _{\mathcal {I}}\,\!} 和 ρ S {\displaystyle \rho _{\mathcal {S}}\,\!} 分別為在狄拉克繪景裏和在薛丁格繪景裏的密度矩陣。假若，處於量子態...

一般而言，量子態可以是純態或混合態。上述案例是純態。混合態是由很多純態組成的機率混合。不同的組合可能會組成同樣的混合態。當量子態是混合態時，可以用密度矩陣做數學描述，這密度矩陣實際給出的是機率，不是密度。純態也可以用密度矩陣表示。 哥本哈根詮釋以操作定義的方法對量子態做定義：量子態可以從一系列製備程序來辨認，即這程序所製成的量子系統...

有諸多表示型(formalism)，一個量子態可由密度矩陣或稱密度算符表示，區分純態和混態的方法即可由此得之。純態S可用狄拉克符号的右括向量表示： S = | Ψ ⟩ {\displaystyle S=|\Psi \rangle } 或寫成密度矩陣表示型則為： S = ρ = | Ψ ⟩ ⟨ Ψ |...

|1\rangle } 順沿直角坐標系的z方向，則有諸多表示法。可採上述向量形式如狄拉克標記的右括向量，亦可將之表為行矩陣；另外有密度矩陣形式，可表為右括向量乘以左括向量，或表為方块矩阵，可見如下： 向量： z + = | 0 ⟩ = ( 1 0 ) , z − = | 1 ⟩ = ( 0 1 ) {\displaystyle...

m × n {\displaystyle m\times n} 的矩陣（英語：matrix）是一个有 m {\displaystyle m} 行（row） n {\displaystyle n} 列（column）元素的矩形阵列。矩陣裡的元素可以是数字或符号甚至是函数。 [ a 11 a 12 a 13...

_{i}} ； 對於兩體純態 | ψ ⟩ A B {\displaystyle |\psi \rangle _{AB}} ，假若子系統的約化密度矩陣是對角矩陣 ϱ = 1 N [ 1 0 0 ⋯ 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 ] {\displaystyle...

直观地看，随机矩阵表示一个马尔可夫链；对概率分布应用随机矩阵，就是将原始分布的概率质量进行重新分布，同时保持其总质量。如果反复应用此过程，分布就会收敛为马尔可夫链的平稳分布。 轉移矩陣可用以表示機率(或變化比率)，而矩陣相乘的結果可用以預測未來事件發生的機率。 設 A...

量子逻辑（英语：Quantum logic） 關係性量子力學 交易詮釋 高阶 相对论量子力学 量子场论 量子信息科学 量子计算 量子混沌（英语：Quantum chaos） 密度矩陣 散射理论（英语：Scattering theory） 量子统计力学 量子機器學習 科学家 阿哈罗诺夫 貝爾 贝特 布莱克特 布洛赫 玻姆 玻尔 玻恩...

(\rho \ln \rho ),} 其中Tr表示求跡（中文：跡）， ρ {\displaystyle \rho } 是體系的密度矩陣（中文：密度矩陣）。 運用密度矩陣的本徵態向量分解表示 ρ = ∑ i w i | ψ i ⟩ ⟨ ψ i | , {\displaystyle \rho =\sum...

矩陣力學是量子力學其中一種的表述形式，它是由海森堡、玻恩和约尔当（P. Jordan）於1925年完成的。矩陣力學的思想出發點是針對波耳模型中許多觀點，諸如電子的軌道、頻率等，都不是可以直接觀察的。反之，在實驗中經常接觸到的是光譜線的頻率、強度、偏極化，以及能階。海森堡計劃創造一個理論，只是用光譜...

度，而且很難適當地操縱環境，因此，一般而言，量子退相干具有不可逆性。 儘管對應於約化密度算符的矩陣（稱為約化密度矩陣）與描述混合態的密度矩陣在形式上完全相同，無法從矩陣區分出到底是糾纏系統的一部分還是混合態，約化密度算符所描述的不是「真混合物」（proper mixture）。而是一種「瑕混合物」（improper...

稀疏矩阵（英語：sparse matrix），在数值分析中，是其元素大部分为零的矩阵。反之，如果大部分元素都非零，则这个矩阵是稠密(dense)的。在科学与工程学领域中求解线性模型时经常出现大型的稀疏矩阵。 在使用计算机存储和操作稀疏矩阵时，经常需要修改标准算法以利用矩阵...

N只能为偶数，即包含有相等数量的+1和-1。满足条件的最小偶数是4而不是2，原因是存在3个泡利矩阵。也可以用狹義相對論慣用四維矩陣來理解，如四動量。 在不同基中这些系数矩阵有不同形式，最常见的形式为： β = ( I 0 0 − I ) α i = ( 0 σ i σ i 0 ) {\displaystyle...

矩陣常態分配（matrix normal distribution） 是一種機率分佈，屬於常態分配的之一。 機率密度函數相對於隨機矩陣（random matrix） X (n × p) 表達如下的矩陣常態分配方式 p ( X | M , Ω , Σ ) = ( 2 π ) − n p / 2 | Ω...

量子邏輯閘使用么正矩陣表示。就像傳統的邏輯閘一樣，它們是針對一個或兩個位元進行操作，常見的量子邏輯閘也是針對一個或兩個量子位元進行操作。這也代表這一些量子閘可以使用 2 × 2 或者 4 × 4 的么正矩陣表示。 量子閘常使用矩陣表示，操作K個量子位元的閘可以用2k × 2k的么正矩陣...

密度奇偶檢查碼並無法實作。近年，低密度奇偶檢查碼被重新發現，並隨著積體電路的技術演進，低密度奇偶檢查碼的實作逐漸可行，而成為各種先進通訊系統的信道編碼標準。 低密度奇偶檢查碼是基於具有稀疏矩陣性質的奇偶檢驗矩陣建構而成。對(n, k)的低密度...

，系統的哈密頓量是位置和動量的函數，但它們不再具有古典力學中的定義，而是由二階（代表著過程的初態和終態）傅立葉係數的矩陣給出。海森堡還發現，這些矩陣互不對易。這些論述後來發展成為矩陣力學。 從德布羅意論文的相對論性理論，薛定谔推導出一種波動方程式，稱為薛定谔方程式；用這方程式可以計算出氫原子的譜線...

}}.} 上式中這些通量雅可比矩陣Ax、Ay及Az，還是狀態向量m的函數，因此這種形式的歐拉方程跟原方程一樣，都是非線性方程。在狀態向量m平滑變動的區間內，這種非守恆形式跟原來守恆形式的歐拉方程是相同的。 將理想氣體定律用作狀態方程，可推導出完整的雅可比矩陣形式，矩陣如下： 總焓H為： H = E...

\mathbf {I} _{L\times m}} 為 L × m {\displaystyle L\times m} 的單位矩陣。 X 的单向量矩阵W相当于协方差矩阵的特征向量 C = X XT, X X ⊤ = W Σ Σ ⊤ W ⊤ {\displaystyle \mathbf {X} \mathbf...

_{i}\\\sigma _{i}&0\end{pmatrix}}} 是係數矩陣， I {\displaystyle I} 是2×2單位矩陣， σ i {\displaystyle \sigma _{i}} 是泡利矩阵。 狄拉克方程乃是時間的一階微分方程，適用於自旋-½粒子。它的解稱為旋量，擁有...

密度陣列，但兼具準確定量與定性；並且設備與技術門檻低，一般分子生物實驗室即可自行操作。 新的中密度qPCr array：OpenArray是Applied Biosystems（應用生命系統公司，隸屬於Life Technologies集團）產品，在玻片大小的疏水性基板中分為數十個矩陣區域；矩陣...

溫·薛丁格等等，他們使用的數學工具是微積分，他們共同創建了波動力學。第二個陣營的成員主要為維爾納·海森堡和馬克斯·玻恩等等，使用線性代數，他們建立了矩陣力學。後來，薛丁格證明這兩種方法完全等價。 德布羅意於1924年提出的德布羅意假說表明，每一種微觀粒子都具有波粒二象性。電子也不例外，具有這種性質。...

单射，一个矩阵可逆当且仅当所有特征值都不是0。 若尔当分解的一些更多的结果如下： 一个矩阵是對角矩陣当且仅当代数和几何重次对于所有特征值都相等。特别的有，一个n×n矩阵如果有n不同特征值，则总是可以对角化的。 矩阵作用的向量空间可以视为其广义特征向量所撑成的不变子空间的直和。对角线上的每个块对应于该...

的離散頻率和強度。他計算出代表位置與動量的無限矩陣。這些矩陣能夠正確地預測電子躍遷所發射出光波的強度。 同年6月，在閱讀了海森堡的論文之後，馬克斯·玻恩發現，海森堡的數學運算原來就是他在學生時代學到的矩陣微積分。另外，在分別表示位置與動量的兩個無限矩陣之間存在著一種很特別的關係──正則對易關係，以方程式表示為：...

{\displaystyle \rho } 是體系的密度矩陣。 根據定義，線性熵取值範圍为 [ 0 , 1 − d − 1 ] {\displaystyle [0,1-d^{-1}]} ，其中 d {\displaystyle d} 是密度矩陣的維數。所以有人定義歸一化的線性熵 S L = ˙ d...

的自由度的操作，其結果仍是一個矩陣，矩陣大小變為子系統 A 的自由度的大小。約化密度矩陣的矩陣元是 [ ρ A ] i j = ∑ k ϕ i k ∗ ϕ j k {\displaystyle [\rho _{A}]_{ij}=\sum _{k}\phi _{ik}^{*}\phi _{jk}} 可以看出約化密度矩陣是一個厄米矩陣，...

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在給定的量子力學波函數ψ(x)，維格納準概率分佈是所有空間自相關函數的一個母函數.因此1927時，赫爾曼·外爾 提出在量子機率密度函數，它扮演真實相空間函數及厄密特運算子的映射角色。事實上，它是密度矩陣中的維格納-魏爾變換，用來實現在相空間中的運算子。後來由讓威樂在1948年重新推導成為信號的本地時頻能量的二次表示法，可以有效的作為頻譜圖。...

对论的)量子力学认为自然界的基本粒子，如光子、电子或是質子，都能用薛定谔方程来描述。这个方程的解即为波函数，其絕對值平方表示粒子在某一處被發現的機率密度。更一般的來說，波函数是可以直觀視為觀測到粒子為特定位置的機率幅[註 2]，機率幅具有叠加性，它们就像波，描述不同途徑的機率幅可以用疊加的方式互相干涉。...