凹函数（英語：Concave function）是指下境圖（英语：Hypograph (mathematics)）为凸集的一类函数。 如果一個有實值函數f对任意该区间内不相等的x和y和[0,1]中的任意t有 f ( t x + ( 1 − t ) y ) ≥ t f ( x ) + ( 1 − t )...

拟凸函数（Quasiconvex function）是一类定义在实向量空间的区间或凸子集上的实值函数，且满足对任意实数 a {\displaystyle a} ， ( − ∞ , a ) {\displaystyle (-\infty ,a)} 的原像都是凸集。反之如果原像都是凹集，则称为拟凹函数。...

在整個定義域上非負。直觀理解，凸函數的圖像形如開口向上的杯 ∪ {\displaystyle \cup } ，而相反，凹函数則形如開口向下的帽 ∩ {\displaystyle \cap } 。 在最优化研究中，凸函數的最小化問題有唯一性，即凸開集上的嚴格凸函數，至多只有一個極小值。 概率论中，凸函數 f {\displaystyle...

在数学上，凹可以指： 凹函数 凹多边形 凹多面體 此外，凹还可以指： 凹面鏡 凹透鏡 凸...

point）或稱反曲点，是一條连续曲線由凸轉凹，或由凹轉凸的點，或者等價地說，是使切線穿越曲線的點。 決定曲線的拐點有助於理解曲線的外形，這在描繪曲線圖形時特別有用。 若曲線圖形在一點由凸轉凹，或由凹轉凸，則稱此點為拐點。直觀地說，拐點是使切線穿越曲線的點。 若該曲線圖形的函數...

在数学中，給定函數定義域，當定義域中較小的自變量值小於較大的自變量值時，較小的自變量值對應的因變量值總是小於較大的自變量值對應的因變量值，那麼這個函數就是單調增加函數。當定義域中較小的自變量值小於較大的自變量值時，較小的自變量值對應的因變量值總是大於較大的自變量值對應的因變量值，那麼這個函數就是單調減少函數...

TCP）更加平缓和具有数学上的意义，其中的窗口大小是一个自上次拥塞事件以来的时间的三次函数，拐点被设置为拥塞事件发生时的窗口大小。因为它是一个三次函数，所以它有两个阶段进行窗口增加。第一部分是一个凹函数，将窗口大小快速提升至最后拥塞事件发生时的大小。第二个部分为一个凸函数，CUBIC探针以较缓和的速度寻求更大的带宽。CUBIC...

导数（英語：derivative）是微积分学中的一個概念。函数在某一点的导数是指这个函数在这一点附近的变化率（即函数在这一点的切线斜率）。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。当函数 f {\displaystyle f} 的自变量在一点 x 0 {\displaystyle x_{0}}...

\Gamma \,} 函数（伽瑪函數；Gamma函数），是階乘函數在實數與複數域上的擴展。如果 n {\displaystyle n} 為正整數，則： Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!} 根据解析延拓原理，伽瑪函數可以定義在除去非正整數的整個複數域上：...

函數比其他組的變數有更好的結果。 若目標函數f(x)為線性，約束的空间為多胞形，对应线性规划問題，采用著名的线性规划法求解。 若目標函數為凹函数（最大化）或是凸函数（最小化），且約束為凸集，对应凸規劃問題，常采用凸優化求解。若目標函數是凹函数和凸函数...

換言之，正弦函數的二階導數是自身的相反數。 函數 f {\displaystyle f} 的二階導數，描述其圖像凹的方向和程度，即凹性（concavity）。若二階導數在某區間恆正，則函數在該區間向上凹（向上彎，又稱為凸函數或下凸函數），意即其切线總位於圖像下方「承托」。反之，若二階導數在某區間恆負，則函數...

x ) {\displaystyle f(x)} 的不定积分（或原函数）是指任何满足导数是函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的函数 F ( x ) {\displaystyle F(x)} 。一个函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的不定积分不是唯一的：只要...

效用函数有两个关键的性质：单调递增，凹函数（concave）。（1）单调递增说明人们觉得钱越多越好：更多的钱产生更大的效应能够，而对于打赌，人们会选择一阶随机占优（first-order stochastically dominant）的那个。（2）效用函数是凹函数...

链式法则，台湾地区亦称连锁律（英語：Chain rule），用于求合成函数的導數。 兩函數 f {\displaystyle f} 和 g {\displaystyle g} 的定義域 ( D f {\displaystyle D_{f}} 和 D g {\displaystyle D_{g}} )...

函数和定义域内的一个点，在那个点的导数描述了该函数在那一点附近的表现。通过找出一个函数定义域内每一点的导数，可以生成一个新的函数，叫做原函数的导函数，或者导数。以数学术语說，导数是输入一个函数，输出另一个函数的线性算子。这比許多初等代数里所學的过程更為抽象，初等代数里的函数...

{\displaystyle -\infty } .。 不满足真条件的凸函数被称作“非真凸函数”。 若函数 g 的负函数 f = − g {\displaystyle f=-g} 为真凸函数， 则 g 为“真凹函数”。 对于Rn 上任意真凸函数f， 存在Rn上的 b 与实数 β， 使得所有 x满足 f ( x...

{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\geqslant {\sqrt {ab}}} 算术-几何平均值不等式仅适用于非負实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。 算术-几何平均值不等式有時被称为平均值不等式（或均值不等式），其實后者是一组更廣泛的不等式。...

f(x)，我们就把点x*对应的函数值f(x*)称为一个函数f的局部最大值。从函数图像上看，局部最大值就像是山顶。 局部（相对）最小值：如果存在一个ε > 0，使得所有满足|x-x*| < ε的x都有f(x*)≤ f(x)，我们就把点x*对应的函数值f(x*)称为一个函数f的局部最小值。从函数图像上看，局部最小值就像是山谷的底部。...

x^{2}+y^{2}-1=0} 確定的函數。而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数，也就是通常所说的函数，如 y = cos ⁡ ( x ) {\displaystyle y=\cos(x)} 。 隱函數定理說明了隱式方程在什麼情況下會給出定義良好的隱函數。 隐函数的一个常见类型是反函数。若 f {\displaystyle...

函数的一阶导数对自变量 x i {\displaystyle x_{i}} 严格递减 (也就是说函数是凹函数): ∂ 2 f ( x ) / ∂ x i 2 < 0 {\displaystyle \partial ^{2}f(x)/\partial x_{i}^{2}<0} , 一阶导函数在任一自变量...

在数学中，偏导数（英語：partial derivative）的定義是：一個多變量的函数（或稱多元函數），對其中一個變量（導數）微分，而保持其他变量恒定。 偏导数的作用与价值在向量分析和微分几何以及机器学习领域中受到广泛认可。 函数 f {\displaystyle f} 关于变量 x {\displaystyle...

函數值和凸函數的積分值間的關係，在此不等式最簡單形式中，闡明了對一平均做凸函數轉換，會小於等於先做凸函數轉換再平均。若將簡森不等式應用在二點上，就回到了凸函數的基本性質：过一个凸函数上任意两点所作割线一定在这两点间的函数图象的上方，即： t f ( x 1 )...

极限（英語：limit）是函数在自變量無限變大或無限變小或在某個區間時所接近的值，也是數學分析或微積分的重要基础概念，连续和导数都是通过极限来作定义。極限分為描述一个序列的下標愈來越大时的趋势（序列極限），或是描述函数的自变量接趨近某個值時的函数值的趋势（函數極限）。 函数...

函数的导数是标量值函数，而多元函数的梯度是向量值函数。多元可微函数 f {\displaystyle f} 在点 P {\displaystyle P} 上的梯度，是以 f {\displaystyle f} 在 P {\displaystyle P} 上的偏导数为分量的向量。 就像一元函数...

Y\rightarrow \mathbb {R} } 为连续的凸-凹函数（即 f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} 关于 x {\displaystyle x} 是凸函数，关于 y {\displaystyle y} 是凹函数）。则： max y ∈ Y min x ∈ X f (...

matrix）是函數的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵。 當其為方形矩阵時，其行列式称为雅可比行列式（Jacobi determinant）。要注意的是，在英文中雅可比矩陣跟雅可比行列式都可稱作Jacobian。 其重要性在於，如果函數f : ℝn → ℝm 在點 x 可微的話，在點 x 的雅可比矩陣即為該函數...

初等函数（基本函數）是由常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、乘方、开方）及有限次函数复合所产生、并且在定义域上能用一个方程式表示的函数。 一般来说，分段函数不是初等函数，因为在这些分段函数的定义域上不能用一个解析式表示。 初等函数...

在一維空間裏，鞍點是駐點，也是反曲點。因為函數圖形在鞍點由凸轉凹，或由凹轉凸，鞍點不是區域性極點。 设一個只有一個變數的函數。這函數在鞍點的一次導數等於零，二次導數換正負符號·例如，函數 y = x 3 {\displaystyle y=x^{3}\,} 就有一個鞍點在原點。 设一個擁有兩個以上變數的函數...

雙曲正弦在實數中是一個連續函數，在複數中是一個全純函數，因此在整個複數域中雙曲正弦處處可微，其導函數為雙曲餘弦函數。 雙曲正弦是一個奇函數。 在實數域中，雙曲正弦是一個嚴格遞增函數。其中在區間 [ − ∞ , 0 ] {\displaystyle \left[-\infty ,0\right]} 上是凹函數、在區間 [ 0 ,...

定理的第一部分，称为微积分第一基本定理，此定理表明：給定任一連續函數，可以（利用積分）構造出該函數的反導函數。這一部分定理的重要之處在於它保證了連續函數的反導函數的存在性。 定理的第二部分，称为微积分第二基本定理或牛顿-莱布尼茨公式，表明某函數的定积分可以用該函數的任意一個反導函數来计算。这一部分是微積分或數學分析中相當關鍵且應用很廣的...

函数的微分（英語：Differential of a function）是指对函数的局部变化的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。 微分在数学中的定义：由 y {\displaystyle y} 是 x {\displaystyle x} 的函数(...