數學上，分離變數法是一種解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用這方法，可以藉代數來將方程式重新編排，讓方程式的一部分只含有一個變數，而剩餘部分則跟此變數無關。這樣，隔離出的兩個部分的值，都分別等於常數，而兩個部分的值的代數和等於零。 假若，一個常微分方程可以寫為 d d x f ( x ) = g (...

换元积分法，又稱變數變換法（英語：Integration by substitution），是求积分的一种方法，由链式法则和微积分基本定理推导而来。 设 f ( x )   {\displaystyle f(x)\ } 为可积函数， g = g ( x )   {\displaystyle g=g(x)\...

可分離變數的偏微分方程（PDE）是指一種偏微分方程，在求解時可以用分離變數法分離為一組階數較低的微分方程。這一般是因為偏微分方程滿足某種形式或是對稱。因此可以利用求解一組較簡單的偏微分方程來求解原問題，若可以簡化為一維的問題，甚至可以用變成常微分方程。 分離變數法...

{\displaystyle {\hat {H}}} 不含时间的情况。對於這問題，應用分離變數法，可以將波函數 Ψ ( r , t ) {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)} 分離成一个只与位置有关的函数 ψ ( r ) {\displaystyle \psi (\mathbf...

{\displaystyle \mathbf {p} _{0}} ，依照前面所述方法，就可以求出舊正則坐標隨時間的演變。 哈密頓-雅可比方程最有用的時候，是當它可以使用分離變數法，來直接地辨明運動常數。假設，HJE 可以分為兩部分。一部分只跟廣義坐標 q k {\displaystyle q_{k}} 、哈密頓主函數的偏導數...

在数学中的最优化问题中，拉格朗日乘数法（英語：Method of Lagrange multiplier，以数学家约瑟夫·拉格朗日命名）是一种寻找多元函数在其变量受到一个或多个条件的约束时的局部极值的方法。 對一個有 n {\displaystyle n} 个变量与 k {\displaystyle...

=0,} 其中参数A,B是x,y的變數。 表示式为： A u x x + 2 B u x y + C u y y + ⋯ = 0 , {\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+\cdots =0,} 其中参数A,B,C是x,y的變數。如果在xy平面上有 A 2 +...

\theta ^{2}\partial r}}+{\frac {4}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \theta ^{2}}}=0} 可用分離變數法求解，其解為 Michell solution（英语：Michell solution） 。...

（其中y為應變數）為二階微分方程，其解為贝塞尔函数。 偏微分方程（PDE）是指一微分方程的未知數是多個自變數的函數，且方程式中有未知數對自變數的偏微分。偏微分方程的階數定義類似常微分方程，但更細分為橢圓型、雙曲線型及拋物線型的偏微分方程，尤其在二階偏微分方程中上述的分類更是重要。有些偏微分方程在整個自變數...

在物理科學中，如果描述某個系統的方程其輸入（自變數）與輸出（應變數）不成正比，則稱為非線性系統。由於自然界中大部分的系統本質上都是非線性的，因此許多工程師、物理學家、數學家和其他科學家對於非線性問題的研究都極感興趣。非線性系統和線性系統最大的差別在於，非線性系統可能會導致混沌、不可預測，或是不直觀的結果。...

應用分離變數法來解析拉普拉斯方程式，可以將問題的偏微分方程式改變為一組較容易解析的常微分方程式。對於一般問題，通常會採用直角坐標系、圓柱坐標系或球坐標系來分離拉普拉斯方程式。但是，對於其它比較特別的問題，另外還有八種坐標系可以用來分離拉普拉斯方程式。分離...

分離變數法的使用。擧一個典型的例題，有一塊寬度為 2 a {\displaystyle 2a} 的平板導體，請問其周圍的電場為什麼？應用橢圓柱坐標，我們可以有條不紊地分析這例題。 三維的波方程，假若用橢圓柱坐標來表達，則可以用分離變數法解析，形成了馬蒂厄微分方程 (Mathieu...

其重要性在於，如果函數f : ℝn → ℝm 在點 x 可微的話，在點 x 的雅可比矩陣即為該函數在該點的最佳線性逼近，也代表雅可比矩陣是單變數實數函數的微分在向量值多變數函數的推廣，在這種情況下，雅可比矩陣也被稱作函數 f 在點 x 的微分或者導數。 在代数几何中，代数曲线的雅可比行列式表示雅可比簇（英语：Jacobian...

分部積分法又稱作部分積分法（英語：Integration by parts），是一種積分的技巧。它是由微分的乘法定則和微積分基本定理推導而來的。其基本思路是将不易求得结果的积分形式，转化为等价的但易于求出结果的积分形式。 假設 h ( x )   {\displaystyle h(x)\ } 與 k...

f(y)} 的調整。基於此理由，扭曲幾何的度規常稱為「扭曲積度規」（warped product metric）。 扭曲幾何很有用處，以其可以運用分離變數法來解與它們有關的偏微分方程式。 許多愛因斯坦場方程式的基本解是為扭曲幾何，比如史瓦西解以及羅伯遜-沃爾克模型。 此外，扭曲幾何是弦論中藍道爾-桑壯模型（Randall-Sundrum...

z^{2}}\right)=k(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})\quad } 其中： u =u(t, x, y, z)表溫度，它是時間變數t與空間變數(x,y,z)的函數。 ∂ u {\displaystyle {\partial u}} / ∂ t {\displaystyle {\partial...

x y − 1 = − x 2 {\displaystyle y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}} 利用分离变数法，可得： w = 1 y {\displaystyle w={\frac {1}{y}}} w ′ = − y ′ y 2 . {\displaystyle...

} 在点 ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} 处的單位法向量的方向余弦。 这两个公式都叫做高斯公式，不過這兩公式僅僅是表達方式不同，其實是相同的定理，這可以用變數變換得到兩公式的右邊都等於 ∬ Σ ( P , Q , R ) ⋅ n d S {\displaystyle...

x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}\right)=E\psi } 。 應用分離變數法 。首先，假設 ψ ( x ,   y ) {\displaystyle \psi (x,\ y)} 是兩個不相關的函數 X ( x ) {\displaystyle...

度大的多，大多数非线性偏微分方程只能依靠数值解法。但多年来数学家们发现了一些行之有效的求解非线性偏微分方程的构造性解法，如反散射法、达布变换法，tanh、雅可比函数展开法等，得出非线性偏微分方程的解析解。解非线性偏微分方程，过程复杂，多数得力于Maple、Mathematica、Matlab等商用计算机代数系統。...

非監督式學習常使用的方法有很多種，包括： 分群法 K-平均演算法 混合模型 層次聚類 異常檢測 自編碼 深度置信网络（英语：Deep belief network） 赫布學習 生成對抗網路 自組織映射 學習潛在變數模型的方法 最大期望演算法 矩估計 盲信號分離技術，例如： 主成份分析 獨立成份分析...

( f g ) ′ = f ′ g + f g ′ {\displaystyle (fg)'=f'g+fg'\,} 這個法則可衍生出积分的分部積分法。 人們將這個法則的發現歸功於莱布尼兹，以下是他的論述：设u(x)和v(x)为x的两个可导函数。那么，uv的微分是： d ( u ⋅ v ) = (...

,   θ ,   ϕ ) {\displaystyle (r,\ \theta ,\ \phi )} 來表達這問題的薛丁格方程式。然後，使用分離變數法，可以將薛丁格方程式分為兩部分，徑向部分與角部分。 採用球坐標 ( r ,   θ ,   ϕ ) {\displaystyle (r,\ \theta...

x)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t))}}\right)} 为S的法向量。利用微分形式（2-form）的變數變換，我們有 ∫ S ω = ∬ S ( f x , f y , f z ) ⋅ d S = ∬ S ( f x , f y ,...

座標系，莫非是球座標系。例如，一個具有質量或電荷的圓球形位勢場。兩種重要的偏微分方程式，拉普拉斯方程與亥姆霍茲方程，在球座標裏，都可以成功的使用分離變數法求得解答。這種方程式在角部分的解答，皆呈球諧函數的形式。 天球坐标系统 欧拉角 雅可比矩阵 在圆柱和球坐标系中的del the angular coordinate...

分離變數法來成功的解析關於這問題的方程式。分離變數法是一種數學技巧，專門用來將一個複雜的 n {\displaystyle n} 維問題變為 n {\displaystyle n} 個一維問題。很多問題都可以簡化為拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程，這些方程式可以用很多種正交座標來分離...

常微分方程 柯西-利普希茨定理 皮亚诺存在性定理 分离变数法 级数展开法 积分因子 拉普拉斯算子 欧拉方法 柯西-欧拉方程 伯努利微分方程 克莱罗方程 全微分方程 线性微分方程 叠加原理 特徵方程式 朗斯基行列式 微分算子法 差分方程 拉普拉斯变换 偏微分方程 拉普拉斯方程 泊松方程 施图姆-刘维尔理论...

部分分式积分法，即通过将原函数拆分为部分分式来简化积分步骤，是计算积分时的一个常用技巧。任何有理函数都可拆分为多个多项式和部分分式的和，每个部分分式中的分子次数小于分母，然后根据积分表及利用其他积分技巧，将每个部分分式积分，就得到原函数的积分。 以下是一个简单的例子。计算 ∫ 10 x 2 + 12...

常微分方程 柯西-利普希茨定理 皮亚诺存在性定理 分离变数法 级数展开法 积分因子 拉普拉斯算子 欧拉方法 柯西-欧拉方程 伯努利微分方程 克莱罗方程 全微分方程 线性微分方程 叠加原理 特徵方程式 朗斯基行列式 微分算子法 差分方程 拉普拉斯变换 偏微分方程 拉普拉斯方程 泊松方程 施图姆-刘维尔理论...

拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域 D {\displaystyle D} 边界处的温度函数φ本身，而是φ沿 D {\displaystyle D} 的边界法向的导数。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。...

{a}}z^{2}+{\tilde {b}}z+{\tilde {c}}\right)f=0.} 在利用分离变数法处理在抛物柱面坐标在的拉普拉斯方程时，自然出现上列方程 通过解二次代数方程和变数代换可以将上列方程表示为两种标准形式: d 2 f d z 2 − ( 1 4 z 2 + a ) f =...