{\displaystyle K} 上的雙代數是兼具 K {\displaystyle K} 上之結合代數（具單位元）與餘代數的結構，而且這兩種結構彼此相容。最重要的特例之一是霍普夫代數。 相容性意味著餘乘法與餘單位元都是單位結合代數的同態，這也等價於乘法及單位元是餘代數之同態，因為兩者由相同的交換圖刻画。...

数学上，李代数是一个代数结构，主要用于研究像李群和微分流形之类的几何对象。李代数因研究无穷小变换的概念而引入。“李代数”（以索菲斯·李命名）一词是由赫尔曼·外尔在1930年代引入的。在旧文献中，无穷小群指的就是李代数。 李代數是一个在域 F 上的向量空間 g {\displaystyle {\mathfrak...

代数几何（英語：algebraic geometry）是数学的一个分支，经典代数几何研究多项式方程的零点。现代代数几何将抽象代数，尤其是交换代数，同几何学的语言和问题结合起来。 代数几何的基本研究对象为代数簇。代数簇是由空间坐标的若干代数方程的零点集。常见的例子有平面代数...

，则称代数是含幺的或酉的。例如，八元数是含幺的，而李代数绝不含幺。 A的非结合代数结构可与A的K-自同态的全代数的子代数（是结合代数）相关联，作为K-向量空间研究。两个例子是微分代数与（结合）包络代数，后者有“包含A的最小结合代数”的意味。 更一般地，有人提出交换环R上非结合代数的概念：具备R-双...

李雙代數（Lie bialgebra）是一種代數結構，比一般李代數精細一倍：它本体是李代數，它的對偶空間也是李代數，且兩種結構相容。李雙代數是泊松李群（Poisson-Lie group）的李代數（即可以當作是無限小的柏松－李變換）。 上循環d：d係一g⊗g 值「１－上循環」(1-cocycle)，即符号條件：...

在抽象代数中，一个双模（bimodule）是一个既为左模也为右模的阿贝尔群，且左右乘法相容。除了自然出现于许多数学领域，双模也扮演着澄清的角色，许多左模与右模之间的关系当将其用双模来表示时变得简单。 如果 R 和 S 是两个环，则一个 R-S-双模是一个阿贝尔群 M 使得： M 是一个左 R-模和一个右...

抽象代数中，*-代数（或对合代数）是由两个对合环R、A组成的数学结构，其中R是交换的，A具有R上结合代数的结构。对合代数推广了带共轭的数系的概念，如复数和共轭复数、复数上的矩阵和共轭转置、希尔伯特空间上的线性算子与埃尔米特伴随。 不过，代数也可能不允许任何对合。 数学中，*-环是具有映射 ∗ :  ...

数学和理论物理中，'超代数指的是Z2-分次代数。也就是说，它是交换环或域上的代数，可以分解为“奇偶”两部分，并有对次数进行运算的乘法算子。 “超”来自理论物理中的超对称。超代数及其表示（超模）为超对称提供了代数框架。对这类对象的研究有时也被称作超线性代数。超代数在相关的超几何领域也发挥着重要作用，它们进入了分次流形、超流形和超概形。...

體上的代數（algebra over a field）或體代數，一般可簡稱為代數，是在向量空間的基礎上定義了一個雙線性的乘法運算而構成的代數結構。根據此乘法是否具有結合律，可以進一步地分成結合代數以及非結合代數兩類。如果乘法單位元包含在此代數裡，則稱為單位代數。 若沒有特別指明，通常假設此代數...

数学中，冯·诺伊曼代数或W*-代数是希尔伯特空间上有界算子的*-代数，在弱算子拓扑中封闭，并包含恒等算子，是一类特殊的C*-代数。 冯·诺伊曼代数由约翰·冯·诺依曼提出，源于对单算子、群表示论、遍历理论和量子力学的研究。冯·诺伊曼双连续定理表明，解析定义等同于作为对称性代数的纯代数定义。 冯·诺伊曼代数的两个基本例子：...

環（英文：Ring）是一種帶有兩個二元運算（抽象化的「加法」和「乘法」）、並且符合特定運算規則的集合。它抽象化了諸如整數、有理數、實數、複數、多項式、矩陣、函數、算子等等的代數結構。它是環論的主要研究對象，並且是構成各種抽象代數理論的重要基本概念。 環的具體定義並沒有完全統一。不同研究方向的學者對於環是否要有乘法單位元有不...

布尔代数（英語：Boolean algebra）在抽象代数中是指捕获了集合运算和逻辑运算二者的根本性质的一个代数结构（就是说一组元素和服从定义的公理的在这些元素上运算）。特别是，它处理集合运算交集、并集、补集；和逻辑运算与、或、非。 例如，逻辑断言陈述a和它的否定¬a不能都同时为真， a ∧ ( ¬...

代数运算。 在欧几里得几何里，两條笛卡尔坐标向量的点积常称为内积（德語：inneres Produkt；英語：inner product）。點积是内积的一种特殊形式：内积是点积的抽象，內积是一种双线性函数，点积是欧几里得空间（内积空间）的度量。 从代数...

数学中，几何代数（也称作实克利福德代数）是初等代数的推广，用于处理向量等几何对象。几何代数由加法与几何积两种基本运算组成，向量的乘积是更高维对象，称作多重向量。与其他处理几何对象的形式相比，几何代数在支持不同维度的对象的向量除法与加法方面具有优势。 几何积最早由赫尔曼·格拉斯曼简单提及，他的兴趣主...

在代數幾何中，雙有理幾何（英語：birational geometry）處理的是代數簇在雙有理等價之下不變的性質，也就是由其函數域決定的性質。這些性質包括維度、算術虧格、幾何虧格、小平維度等等。 任何曲線都雙有理等價於一條平滑射影曲線。平滑射影曲線之間的有理映射能延拓為態射，雙...

下成为巴拿赫代数。 一致代数：巴拿赫代数，是复代数 C ( X ) {\displaystyle C(X)} 的子代数，具有上确范数，包含常数并分离了X的点（必须是紧豪斯多夫空间）。 自然巴拿赫函数代数：一致代数，其所有特征都在X的点上取值。 C*-代数：某希尔伯特空间上有界算子的代数的闭*-子代数，是巴拿赫代数。...

泛函分析中，C*-代数（或读作“C星代数”）是配备了满足伴随性质的对合的巴拿赫代数。典型例子是满足以下两个性质的複希尔伯特空间上连续线性算子的複代数A： A是算子范数拓扑中的拓扑闭集。 A是算子伴随运算下的闭集。 另一类非常重要的C*-代数包括X上的复值连续函数代数 C 0 ( X ) {\displaystyle...

一个泊松代数是域 K 上一个向量空间装备着两个双线性乘积， ⋅ {\displaystyle \cdot } 与 { , }，满足如下性质： 乘积 ⋅ {\displaystyle \cdot } 构成一个结合 K-代数； 乘积 { , }，叫做泊松括号，构成李代数，从而反对称并满足雅可比恒等式。 泊松括号是结合乘积...

对偶空间 双线性算子 内积 多重线性映射 行列式 克莱姆法则 张量的内蕴定义 克罗内克函数 张量缩并 混合型张量 列维-奇维塔符号 张量代数，自由代数 对称代数，对称幂 外代数 外导数 爱因斯坦记号 对称张量 度量张量 更多参见：张量理论术语 多重线性代数以多种不同的形态出现在应用中：...

代數數（英語：algebraic number）是代数与数论中的重要概念，指任何整係數多项式的複根。 所有代数数的集合构成一个域，称为代数数域（与定义为有理数域的有限扩张的代数数域同名，但不是同一个概念），记作 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 或 Q ¯ {\displaystyle...

表示论和模理论中，弗罗贝尼乌斯代数是一种有限维酉结合代数，具有特殊的双线性形式，赋予了代数以良好的对偶理论。1930年代，理查德·布饶尔和Cecil J. Nesbitt开始研究弗罗贝尼乌斯代数，以费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯命名。中山正发现了丰富的对偶理论的雏形(Nakayama 1939)、(Nakayama...

中的一个元素。 因为张量代数的一般性，许多其它有趣的代数可以由张量代数开始构造，然后在生成元上施以一定的关系，即构造 T ( V ) {\displaystyle T(V)} 一定的商代数。这样的例子譬如外代数、对称代数、克利福德代数以及泛包络代数。 张量代数上的余代数结构如下。余积 Δ {\displaystyle...

形式可以指： 查看维基词典中的词条「形式」。 形式 (哲學) 代数形式，數學上的某類函數，简称“形式”，如： 二次形式 代数形式 双线性形式 多重线性形式 微分形式 模形式 自守形式 曲率形式 不定式 (数学)，如 0 0 {\displaystyle {\frac {0}{0}}} 。...

集合代数 乔治·布尔 布尔代数 布尔域 布尔函数 布尔逻辑 蕴涵项 布尔素理想定理 布尔值函数 布尔值模型 布尔可满足性问题 布尔三段论 规范形式 (布尔代数) 特征函数 紧致性定理 完全布尔代数 德·摩根 德·摩根定律 对偶性 (序理论) 实体图 存在图 一阶逻辑 形式系统 自由布尔代数 Heyting代数...

在线性代数裡，正定矩阵（英語：positive-definite matrix）是埃尔米特矩阵的一种，有时会简称为正定阵。在线性代数中，正定矩阵的性质類似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（複域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。 一个 n × n {\displaystyle...

卡茨-穆迪代数是一個李代數，通常無限維，其定義自（Victor Kac所謂的）廣義根系。卡茨-穆迪代数的應用遍及數學和理論物理學。 假定以下材料： C = ( c i j ) {\displaystyle C=(c_{ij})} ——一個r階廣義嘉當矩陣(generalised Cartan matrix)...

在數學中，霍普夫代數（英文: Hopf algebra）是一類雙代數，亦即具有相容的結合代數與餘代數結構的向量空間，配上一個對極映射，後者推廣了群上的逆元運算 g ↦ g − 1 {\displaystyle g\mapsto g^{-1}} 。霍普夫代數以數學家海因茨·霍普夫命名，此類結構廣見於代數拓撲、群概形、群論、量子群等數學領域。...

李超代数是李代数的推广，包含了Z2‑分次代数。李超代数在理论物理中十分重要，用于描述超对称的数学理论。其中，超代数的偶元素大多对应玻色子，奇元素大多对应费米子（也有相反者，如BRST超对称）。 形式上看，李超代数是交换环（一般是R或C）上的非结合Z2-分次代数，或“超代数”，其积为[·...

在代數幾何中，一條代數曲線是一維的代數簇。最典型的例子是射影平面 P 2 {\displaystyle \mathbb {P} ^{2}} 上由一個齊次多項式 f ( X , Y ) {\displaystyle f(X,Y)} 定義的零點。 定義在域 F {\displaystyle F} 上的仿射代數曲線可以看作是...

抽象代数中，同态是两个代数结构（例如群、环、或者向量空间）之间的保持结构不变的映射。英文的同态(homomorphism)来自希腊语:ὁμός (homos)表示"相同"而μορφή (morphe)表示"形态"。注意相似的词根ὅμοιος (homoios)表示"相似"出现在另一个数学概念同胚的英文(homeomorphism)中。...

外代数（英語：Exterior algebra）也稱為格拉斯曼代数（Grassmann algebra），以紀念数学家赫爾曼·格拉斯曼。 数学上，向量空间 V {\displaystyle V} 的外代數是一个特定有单位的结合代数，其包含了 V {\displaystyle V} 为其中一个子空间。它记为...