在數學裡，反函數，也称为逆函数（英語：Inverse function），為對一個定函數做逆運算的函數。 設 f {\displaystyle f} 為一函數，其定義域為 X {\displaystyle X} ，陪域為 Y {\displaystyle Y} 。如果存在一函數 g {\displaystyle...

u\right)\mathrm {d} v={\frac {\pi ^{2}}{8}}} 根據反函數定理，一個可逆函數（存在反函數的函數）的雅可比矩陣的逆矩陣即為該函數的反函數的雅可比矩陣。即，若函數 F : R n → R n {\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow...

反三角函數示意圖 在数学中，反三角函数（英語：inverse trigonometric function）是三角函数的反函数。 符号 sin − 1 , cos − 1 {\displaystyle \sin ^{-1},\cos ^{-1}} 等常用于 arcsin , arccos {\displaystyle...

函數。在三角學中，反正切被定義為一個角度，也就是正切值的反函數，由於正切函數在實數上不具有一一對應的關係，所以不存在反函數，但我們可以限制其定義域，因此，反正切是單射和滿射也是可逆的，但不同於反正弦和反餘弦，由於限制正切函數的定義域在 ( − π 2 , π 2...

数学分析中，反函数定理（英語：Inverse function theorem）给出了向量值函数在含有定义域中一点的开区域内具有反函数的一個充分条件。對滿足該條件的函數，该定理斷言其反函数的全导数存在，并给出了一个公式。反函数定理可以推广到定义在流形上、以及定义在无穷维巴拿赫空间（和巴拿赫流形）上...

{\displaystyle \tanh } 等，其推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数。 双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做双曲角。双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如說定义悬链线和拉普拉斯方程。 最簡單的幾種雙曲函數為： 雙曲正弦： sinh ⁡ x = e x − e − x 2...

”），但這種區別對於離散分佈很重要。二項式分布和泊松分布的表格的正確使用取決於此約定。此外，像數學家保羅·皮埃爾·萊維(Paul Lévy)的特徵函數反演公式等重要公式也依賴於“小於或等於”公式。 有界性 lim x → − ∞ F X ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to...

反正弦（arcsine， arcsin {\displaystyle \arcsin } ， sin − 1 {\displaystyle \sin ^{-1}} ）是一種反三角函數，也是高等數學中的一種基本特殊函數。在三角學中，反正弦被定義為一個角度，也就是正弦值的反函數。在实数域 R {\displaystyle...

具有左反函數的函數，必為單射。此處的條件（具有左反函數），比具有反函數弱：給定一函數f : X → Y，若存在一函數g : Y → X，使得對X內的每個元素x， g(f(x)) = x， 則稱g為f的左反函數，而上式也就推出f為單射函數。 相反地，每個具非空定義域的單射函數f 都會有個左反函數g。須注意的是，g...

小寫α用於物理學上： 角加速度 Alpha粒子和相關的Alpha衰變 精細結構常數 小寫α用於數學上： α(m,n)：阿克曼反函數，一個輸出值增長速度非常低的函數。 「Alpha」常用作形容詞，以顯示某件事物中最重要或最初的，例如軟體工程中的Alpha版本。 西里爾字母的 А 和拉丁字母的 A...

\,} 函数（伽瑪函數；Gamma函数），是階乘函數在實數與複數域上的擴展。如果 n {\displaystyle n} 為正整數，則： Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!} 根据解析延拓原理，伽瑪函數可以定義在除去非正整數的整個複數域上：...

反餘弦（arccosine, arccos {\displaystyle \arccos } , cos − 1 {\displaystyle \cos ^{-1}} ）是一種反三角函數，也是高等數學中的一種基本特殊函數。在三角學中，反餘弦被定義為一個角度，也就是餘弦值的反函數，然而餘弦函數...

3) - 3。 使用高德納箭號表示法則為 A(m, n) = 2↑m-2(n+3) - 3。 由於函數f (n) = A(n, n)的增加速率非常快，因此其反函數f−1則會以非常慢的速度增加。阿克曼反函數常用α表示。因為A(4, 4)的數量級約等於 2 2 10 19729 {\displaystyle...

它的反函數被稱為反誤差函數，為： Φ − 1 ( p ) = 2 erf − 1 ⁡ ( 2 p − 1 ) . {\displaystyle \Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\;\operatorname {erf} ^{-1}\left(2p-1\right).} 該分位數函數...

\infty } 有时会写作无定义（不存在）。 三角函数属周期函数而不是单射函数，严格来说并没有反函数，要定义其反函数必须先限制三角函数的定义域，使得三角函数成为双射函数。基本的反三角函数定义为： 对于反三角函数，符号 sin − 1 {\displaystyle \sin ^{-1}} 和 cos...

x^{2}+y^{2}-1=0} 確定的函數。而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数，也就是通常所说的函数，如 y = cos ⁡ ( x ) {\displaystyle y=\cos(x)} 。 隱函數定理說明了隱式方程在什麼情況下會給出定義良好的隱函數。 隐函数的一个常见类型是反函数。若 f {\displaystyle...

数学上，可導雙射函數 f {\displaystyle f} 的反函數微分可由 f {\displaystyle f} 的導函數 f ′ {\displaystyle f'} 給出。若使用拉格朗日记法，反函数 f − 1 {\displaystyle f^{-1}} 的导数公式为： [ f − 1 ]...

不定積分（英語：Indefinite Integration），也可稱反導函數（Antiderivative）或原函数。在微积分中，函数 f {\displaystyle f} 的不定积分是一个可微函數 F {\displaystyle F} ，其导数等于原來的函數 f {\displaystyle f} ，即 F ′...

反伽瑪函數 Γ − 1 ( x ) {\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)} （反Γ函數，Inverse gamma function）是伽瑪函數（Γ函數）的反函數。 換句話說，如果反Γ函數以 Γ − 1 ( x ) = y {\textstyle \Gamma ^{-1}(x)=y}...

因此，當一複數的模為1，其反函數就是辐角（arg函數）。 cis {\displaystyle \operatorname {cis} } 函數可視為求單位複數的函數。 cis {\displaystyle \operatorname {cis} } 函數的實數部分和餘弦函數相同。 d d z cis...

(-\infty ,3]} 。 先求得所要计算的函数的反函数，则反函数的定义域即为原函数的值域。 例如： y = x 3 {\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}} 它的反函数为 x = y 3 {\displaystyle x=y^{3}} 反函数的定义域为： ( − ∞ , + ∞ )...

ln ⁡ x {\displaystyle \ln x} 或 log e ⁡ x {\displaystyle \log _{e}x} ，其反函数為指數函數 e x {\displaystyle e^{x}} 。 自然对数积分定義為對任何正實數 x {\displaystyle x} ，由 1 {\displaystyle...

在科學和數學中，狄拉克δ函數或簡稱δ函數（譯名德爾塔函數、得耳他函數）是在實數線上定義的一個廣義函數或分佈。它在除零以外的點上都等於零，且其在整個定義域上的積分等於1。δ函數有時可看作是在原點處无限高、无限细，但是总面积为1的一個尖峰，在物理上代表了理想化的質點或点电荷的密度。 從純數學的觀點來看，狄拉克δ函數...

便是雙射的了；其反函數為正平方根函數。 R → R : x ↦ ( x − 1 ) x ( x + 1 ) = x 3 − x {\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto (x-1)x(x+1)=x^{3}-x} 不是雙射函數，因為 − 1...

的距离是確定的。 常用的数学函数包括多项式函數、根式函數、冪函數、对数函數、有理函数、三角函数、反三角函數等。它们都是初等函数。非初等函数（或特殊函数）包括伽马函數和贝塞尔函数等。 函數可分為 奇函數或偶函數 連續函數或不連續函數 實函數或虛函數 純量函數或向量函數 单调增函数或单调减函数 在范畴论中，函数的槪念被推廣為態射的槪念。...

函數，但其輸入值和反正切的輸入值互為倒數，是高等數學中的一種基本特殊函數。 反餘切可以視為餘切的反函數，但餘切函數是周期函數且在實數上不具有一一對應的關係，所以不存在反函數，但也可以視為多值函数，因此我們必須限制餘切函數的定義域使其成為單射和滿射也是可逆的。 一般最常見的方式是限制餘切函數...

反雙曲函數示意圖 反双曲函数是双曲函数的反函数。与反圆函数不同之处是它的前缀是ar意即area（面积），而不是arc（弧）。因为双曲角是以双曲线、通过原点直线以及其对x轴的映射三者之间所夹面积定义的，而圆角是以弧长与半径的比值定义。 符号 s i n h − 1 , c o s h − 1 {\displaystyle...

&{\text{ 若 }}\ x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}} 實際上，上取整與下取整函數作用於整數 n {\displaystyle n} ，效果等同恆等函數： ⌊ n ⌋ = ⌈ n ⌉ = n . {\displaystyle \lfloor n\rfloor =\lceil...

m\leq 1} 。 剩下的九種橢圓函數能由這三種構造。 雅可比椭圆函数的反函数可以像三角函数与反三角函数那样被定义。因为椭圆函数往往是椭圆积分之逆，这些反函数也都可以用勒让德椭圆积分来描述。如同反三角函数一样，雅可比椭圆函数的反函数也是多值的，因此需要支割线。以下是部分反函数的积分表达： a r c s...

函數預測未來的最終波函數；它還具有逆反性，能夠將時間逆反地從最終態演化回最初態。波函數塌縮具有非決定性，從最初態按照機率分佈隨機地約化至最終態，無法預測這最終態到底是甚麼；它還具有非逆反性，測量動作將量子態的信息發掘出來，這是一種無法時間逆反的程序，獲得的額外信息無法再還原。...

定理的第一部分，称为微积分第一基本定理，此定理表明：給定任一連續函數，可以（利用積分）構造出該函數的反導函數。這一部分定理的重要之處在於它保證了連續函數的反導函數的存在性。 定理的第二部分，称为微积分第二基本定理或牛顿-莱布尼茨公式，表明某函數的定积分可以用該函數的任意一個反導函數...