数学上，可积函数是存在积分的函数。除非特别指明，一般积分是指勒贝格积分。否则，称函数为"黎曼可积"（也即黎曼积分存在），或者"Henstock-Kurzweil可积"，等等。 注意，函数可以有不定积分（反导数），而并不在如下的定义中可积。例如函数 F ( x ) = sin ⁡ ( x ) {\displaystyle...

等于0，那么任何可积函数在 A {\displaystyle A} 上的积分等于0。 函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。如果对...

在泛函分析中，捲積（convolution），或译为疊積、褶積或旋積，是透過两个函数 f {\displaystyle f} 和 g {\displaystyle g} 生成第三个函数的一种数学算子，表徵函数 f {\displaystyle f} 与经过翻转和平移的 g {\displaystyle...

transform，缩写：FT）是一种线性变换，通常定义为一种积分变换。其基本思想是一个函数可以用（可数或不可数，可数的情况对应于傅里叶级数）无穷多个周期函数的线性组合来逼近，从而这些组合系数在保有原函数的几乎全部信息的同时，还直接地反映了该函数的“頻域特征”。 因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，...

在数学中，局部可积函数是指在定义域内的所有紧集上都可积的函数。 设 Ω {\displaystyle \Omega } 为欧几里得空间 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 中的一个开集。设 f : Ω → C {\displaystyle \scriptstyle...

函数存在的时候，累積分佈函數是概率密度函数的积分。概率密度函数有时也被称为概率分布函数，但这种称法可能会和累积分布函数(CDF)或概率质量函数(PMF)混淆。一般来说，PMF 用于离散随机变量（在可数集上取值的随机变量），而 PDF 用于连续随机变量。 对于一维实随机变量X，设它的累积分布函数是...

中的稠密性。这些函数都是能够简单的推出定理的成立，例如阶梯函数或足够光滑的函数（如 C 1 {\displaystyle C^{1}} 的函数）。 证明的思路是首先证明对一类简单的函数定理成立，然后再利用这一类函数在可积函数函数集合中的稠密性，将每个可积函数看成是一列此类函数的极限，于是由函数的可积...

双重积分，而且交换逐次积分的顺序时，积分结果不变。「托內利定理」由数学家列奧尼達·托內利在1909年提出，与富比尼定理相似，但是是应用于非负函数而不是可积函数。 若 ∫ A × B | f ( x , y ) | d ( x , y ) < ∞ {\displaystyle \int _{A\times...

上是平方可积的。平方可积一词也可以用于有限区间如[0, 1]。 一个等价的定义是，函数本身的平方（而非它的绝对值）是勒贝格可积的。要想使其为真，实部的正和负的部分的积分都必须是有限的，虚部也是如此。 通常这个术语不是指某个特定函数，而是指几乎处处相等的一组函数。 平方可积函数（这里的“函数...

正交函数列。则数列 { f n / ‖ f n ‖ 2 } {\displaystyle \left\{f_{n}/\Vert f_{n}\Vert _{2}\right\}} 是L2-范数的函数，形成了一个正交数列。一个有定义的L2-范数，积分必须有界，这限制了函数需要是平方可积函数。 几组正交函数...

在数学中，Lp空间是由p次可积函数组成的空间；对应的ℓp空间是由p次可和序列组成的空间。它們有時叫做勒貝格空間。 在泛函分析和拓扑向量空间中，他们构成了巴拿赫空间一类重要的例子。Lp空间在工程学领域的有限元分析中有应用。 泛函分析中，常常会在某类函数的集合上架设拓扑结构乃至更复杂的结构，以便使用拓扑...

解析函数比一般光滑函数表现得更好。 平滑函数比一般可微函数表现更好。 连续可微函数比一般连续函数表现更好。函数可以微分的次数越多，它的表现就越好。 连续函数比稠密集上的黎曼可积函数表现更好。 黎曼可积函数比勒贝格可积函数表现更好。 勒贝格可积函数比一般函数表现更好。 在拓扑中，连续函数比不连续函数表现得更好。...

数学中，特定动力系统的可积性虽然有几种不同的正式定义，但非正式地讲，可积系统是指具有足量守恒量或首次积分的动力系统，其运动被限制在维度小于相空间的子空间中。 可积系统通常有3个特征： 存在守恒量的最大集合（完全可积性的通常定义） 存在代数不变量，在代数几何中有基（有时称作代数可积性） 以明确的函数形式明确确定解（不是内禀性质，通常称作可解性）...

integral）首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。黎曼积分在技术上的某些不足之处可由后来的黎曼－斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分得到修补。 讓函數 f {\displaystyle f} 為定義在區間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 的非負函數，我们想要計算 f...

错误：{{Lang-xx}}：參數 |links= 和 |link= 衝突（帮助））是一种定义一个函数的积分的方法，它是通过达布和构造的。达布积分和黎曼积分是等价的，也就是说，一个实值函数是达布可积的当且仅当它是黎曼可积的，并且积分的值相等。达布积分的定义比黎曼积分简单，并且更具操作性。达布积分的名字来自于数学家让·加斯东·达布。...

两个函数的乘积的导函数，等于其中一个的导函数乘以另一者，加上另一者的导函数与其的乘积 ( f g ) ′ = f ′ g + f g ′ {\displaystyle (fg)'=f'g+fg'\,} :125 两个函数的商的导函数也是一个分式。其中分子是分子函数的导函数乘以分母函数减去分母函数...

是一个运算符号。 这个积分的具体含义取决于被积函数的类型。它存在的一个必要条件是在 f {\displaystyle f} 在 [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} 上局部可积。对于在无穷大处衰减的局部可积函数或指数型函数，这积分可以被理解成（恰当）勒贝格积分。然而，在很多应用中，我们有必要将其视作在...

可积的函数都有分布意义上的弱导数。在偏微分方程的研究中，常常使用分布来表示方程的广义解函数，因为很多时候传统意义上的解函数不存在或难以求出。分布理论在物理学和工程学中都十分有用，因为在应用中常会出现解或初始条件是分布的微分方程，例如初始条件可能是一个狄拉克δ分布。 广义函数...

条件收敛（英语：Conditionally Convergent）是数学中无穷级数和广义积分的一种性质。收敛但不绝对收敛的无穷级数或广义积分称为条件收敛的。一个积分条件收敛的函数也称为条件可积函数。 给定一个实数项无穷级数 A = ∑ n a n {\displaystyle A=\sum _{n}a_{n}} ，如果它自身收敛于一个定值...

\sigma (\tau _{Z})} 可測函數。 两个可测的实函数的和与积也是可测的。 可数个實可测函数的最小上界也是可测的。 可测函数的逐点极限是可测的。（连续函数的对应命题需要比逐点收敛更强的条件，例如一致收敛。） 卢辛定理 勒贝格可测函数是一个实函数f : R → R，使得对于每一个实数a，集合...

{\sqrt[{n}]{z}}:=z^{1/n}} 。 因为复微分是线性的，并且服从积、商、链式法则，所以全纯函数的和、积及复合是全纯的，而两个全纯函数的商在所有分母非0的地方全纯。 每个全纯函数在每一点无穷可微。它和它自己的泰勒级数相等，而泰勒级数在每个完全位于定义域 U {\displaystyle...

在数学中，弱微分（Weak Derivative）是一个函数的微分（强微分）概念的推广，它可以作用于那些勒贝格可积（Lebesgue Integrable）的函数，而不必预设函数的可微性（事实上大部分可以弱微分的函数并不可微）。一个典型的勒贝格可积函数的空间是 L 1 ( [ a , b ] ) {\displaystyle...

设 f ( x )   {\displaystyle f(x)\ } 为可积函数， g = g ( x )   {\displaystyle g=g(x)\ } 为连续可导函数，则有： ∫ α β f ( g ) g ′ d x = ∫ g ( α ) g ( β ) f (...

在科學和數學中，狄拉克δ函數或簡稱δ函數（譯名德爾塔函數、得耳他函數）是在實數線上定義的一個廣義函數或分佈。它在除零以外的點上都等於零，且其在整個定義域上的積分等於1。δ函數有時可看作是在原點處无限高、无限细，但是总面积为1的一個尖峰，在物理上代表了理想化的質點或点电荷的密度。 從純數學的觀點來看，狄拉克δ函數...

绝对收敛是数学中无穷级数和广义积分的一种性质。一个数项级数或一个积分绝对收敛当且仅当级数的每一项或者积分的函数取绝对值（或范数）後仍然收敛或可积。比如，一个实数项或复数项级数 ∑ n a n {\displaystyle \sum _{n}a_{n}} 绝对收敛当且仅当 ∑ n = 0 ∞ | a...

[x_{0},x_{0}+P]} 上是平方可积的，那么此傅里叶级数在几乎处处的点都收敛于该函数。 一个相同幅度和频率的锯齿波的近似的可视化 另一个分别采用傅里叶级数的前 1, 2, 3, 4 项近似方波的可视化。（可以在这里看到一个交互式的动画） 收敛于某个任意函数的例子。注意其中的吉布斯现象 符号 c...

在微积分学中 解析函数的性质要好于更一般的光滑函数； 光滑函数的性质要好于更一般的可微函数； 连续可微函数的性质要好于更一般的连续函数。函数的可微阶数越高性质就越好。 连续函数的性质要好于更一般的黎曼可积函数； 黎曼可积函数的性质要好于更一般的勒贝格可积函数； 勒贝格可积函数的性质要好于一般函数。 在拓扑学中，连续函数的性质要好于不连续的函数...

在泛函分析中，以馬克-安托萬·帕塞瓦爾命名的帕塞瓦尔恒等式是一个有关函数的傅里叶级数的可加性的基础结论。从几何观点来看，这就是内积空间上的毕达哥拉斯定理。 通俗地说，此恒等式表明“函数的傅里叶系数的平方和”与“函数平方后的积分值”可以直接换算 ∑ n = − ∞ ∞ | c n | 2 = 1 2...

{\displaystyle f(x)=\max(0,x)} 作为這一層神經的激勵函數（Activation function）。它可以增强判定函数和整个神经网络的非线性特性，而本身并不会改变卷积层。 事实上，其他的一些函数也可以用于增强网络的非线性特性，如双曲正切函数 f ( x ) = tanh ⁡ ( x ) {\displaystyle...

f:[a,b]\rightarrow \mathbf {R} } 为一连续函数， g : [ a , b ] → R {\displaystyle g:[a,b]\rightarrow \mathbf {R} } 要求g(x)是可积函数且在积分区间不变号，那么存在一点 ξ ∈ [ a , b ] {\displaystyle...

乘积法则（英語：Product rule），也称積定則、莱布尼兹法则，是数学中关于两个函数的积的導數的一个计算法则。 若已知两个可導函数 f , g {\displaystyle f,g} 及其导数 f ′ , g ′ {\displaystyle f',g'} ，则它们的积 f g {\displaystyle...