同构基本定理，或称同态基本定理、同型定理（英語：Isomorphism theorems），包含三个定理，在泛代数领域有广泛的应用。它们证明了一些自然同构的存在性。 同构基本定理最早由埃米·诺特（Emmy Noether）在她于1927在德国数学期刊数学分析（Mathematische Annalen）发表的论文Abstrakter...

尽管这个定理被命名为“代数基本定理”，但它还没有纯粹的代数证明，许多数学家都相信这种证明不存在。另外，它也不是最基本的代数定理；因为在那个时候，代数基本上就是关于解实系数或複系数多项式方程，所以才被命名为代数基本定理。 高斯一生总共对这个定理...

伯特兰-切比雪夫定理 贝亚蒂定理 贝叶斯定理 博特周期性定理 闭图像定理 伯恩斯坦定理 不动点定理 布列安桑定理 布朗定理 贝祖定理 博苏克-乌拉姆定理 巴拿赫不动点定理 布尔素理想定理 贝尔纲定理 布劳威尔不动点定理 本迪克森-杜拉克定理 本原元定理 垂径定理 陈氏定理 采样定理 迪尼定理 等周定理 代数基本定理...

这时秩—零化度定理表述为： index T = dim(V) - dim(W) 可以看到，在这种表述下，我们可以很容易地得到 T 的指标，而不必对 T 作深入研究。更深入的结果可以参见阿蒂亞－辛格指標定理。阿蒂亞－辛格指標定理说明某些微分算子的指标可以通过涉及的空间的几何性质得到。 线性空间 秩 同构基本定理 Steven...

在「环 (代数)」條目中，有環的定義以及其基本的概念及性質。 一般： 环上的同构基本定理 中山引理 結構定理: Artin–Wedderburn theorem（英语：Artin–Wedderburn定理）確認半單環的結構。 雅各布森密度定理（英语：Jacobson density...

上的一个同余关系，因此在其商集 X/~ 上也可以自然地定义一个结构：[x] * [y] = [x * y]。这时，X 通过同态 f 在 Y 中的像必然同构于 X/~。这就是所谓的同构基本定理之一。注意到在有些情况下（比如说在群结构或环结构时），仅仅一个等价类 K 就可以决定商集的结构，因此这时我们可以将它记作...

伽罗瓦理论基本定理是抽象代数中的定理，通过群的概念来描述特定域扩张的细致结构。定理说明了，如果某个域扩张L/K是有限伽罗瓦扩张，则此扩张的伽罗瓦群的子群与其中间域（即子扩张K⊂F⊂L中的F）之间有一一对应关系。 伽罗瓦理论最初研究的目标是域上多项式方程的根式通解问题。18世纪时，数学家已经知道，任意...

在数理逻辑中，哥德尔不完备定理是库尔特·哥德尔于1931年证明并发表的两条定理。第一条定理指出： 这是形式逻辑中的定理，容易被错误表述。有许多命题听起来很像是哥德尔不完备定理，但事实上并不是。具体实例见对哥德尔定理的误解。 把第一条定理的证明过程在体系内部形式化后，哥德尔证明了第二条定理。该定理指出： 哥德尔不完备定理...

h(x) ∗ h(y)，以此类推。我们可以取代数的同态像h(A)。 A 的子代数是A的子集，对A的所有运算都封闭。某个代数结构集合的积，指的是集合在坐标上定义的运算的笛卡尔积。 同构基本定理，包括群、环、模等的同构定理。 伯克霍夫HSP定理，其指出，一类代数当且仅当在同态像、子代数与任意直积下封闭时，可以构成簇。...

中國剩餘定理，又稱孫子定理或中國餘數定理，是数论中的一個关于一元线性同余方程组的定理，说明了一元线性同余方程组有解的准则以及求解方法。该定理在中国古代也被称为「韓信點兵」、「求一术」（宋 沈括）、「鬼谷算」（宋 周密）、「隔墻算」（宋 周密）、「剪管術」（宋 杨辉）、「秦王暗點兵」、「物不知數」等。...

G/H连续的最细拓扑)。可以证明商映射q : G → G/H总是开映射。 若H是一个G的正规子群，则因子群，G/H成为一个拓扑群，而从普通群理论来的同构基本定理在这个範围中也是成立的。但是，若H不是G的拓扑下的闭集，则G/H不是T0的，即使G是。因此很自然可以要求限制到只考虑T0拓扑群的範畴，并且限制定义中的正规到正规且闭。...

但是，G的正规子群的特征子群总是G的正规子群。 G的所有2阶的子群都是正规子群。G中每个阶为n的子群都包含一个G的正规子群K，它对G的阶整除n!。特别地，当p是|G|的最小质因数时，G的所有p阶的子群都是正规子群。 群 子群 正规闭包 中心化子和正规化子 特征子群 等价类 可解群 同构基本定理 理想...

{Gal} (L/K)} ，即Gal(LF/F)和Gal(L/K)的一个子群同构。（由正规扩张和可分扩张的性质，KF/F是一个伽罗瓦扩张，因此可以讨论Gal(LF/F)） 伽罗瓦扩张的重要性在于，有限的伽罗瓦扩张满足伽罗瓦理论基本定理：伽罗瓦群的子群与域扩张的中间域之间存在着反向包含的一一对应关系。...

在代數拓撲中，基本群（或稱龐加萊群）是一個重要的同倫不變量。拓撲空間的基本群的元素是该空间中从某一點出发的環路的同倫等價類; 基本群的群運算是環路的同倫等价类的銜接运算。拓扑空间的基本形状, 或者孔洞的信息都可以在它的基本群中体现。所以基本群能用以研究兩個空間是否同胚，两个同胚的空间的基本群是同構的, 基本...

给出的哈密顿向量场是唯一的。 在达布定理所保证的正则坐标下，流形的体积形式就是辛形式的 d {\displaystyle d} 次楔积（乘上一个系数 1 / d ! {\displaystyle 1/d!} ）。由于哈密顿流保辛形式，所以也保体积形式。等价地说，这意味着自同构的雅克比行列式（英语：Jacobian...

同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。 微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。 泛函分析的主要定理包括： 一致有界定理（亦称共鸣定理），该定理描述一族有界算子的性质。 谱定理...

庞加莱-伯克霍夫不动点定理指出闭圆环的任一个保持边界不动的保面积自同构映射（辛同构）在圆环内部至少有两个不动点，更一般的保面积的扭曲映射（两个边缘转动方向相反，提升到带形上看得更清晰）至少有两个不动点。这个定理来自三体问题，最早由庞加莱1912年提出，他给出了不完整的证明，又称为“庞加莱最后的几何定理”；第二年，伯克赫夫第一次给出了完整的证明。...

，则其有限覆盖微分同胚于一个零流形. 灵魂定理：若M是一个不紧的完备正曲率n-维黎曼流形，则它微分同胚于Rn. Gromov的贝蒂数定理：有一个常数C=C(n)使得若M是一个由正截面曲率的紧连通n-维黎曼流形，则它的贝蒂数之和不超过C. Myers定理：若一个紧黎曼流形有正Ricci曲率则它的基本群有限。 分裂定理...

數學上，龐加萊對偶定理是流形的同調及上同調群的結構的基本定理，以昂利·龐加萊命名。這定理說若M是n維有向閉流形（即緊緻且無邊界），則M的第k階上同調群同構於M的第(n − k)階同調群。對所有整數k H k ( M ) ≅ H n − k ( M ) . {\displaystyle H^{k}(M)\cong...

mod，是 module 的簡稱）。 商群的重要性很大程度上源自他們與同態的關係。第一同構定理指出，任意群 G {\displaystyle G} 在同態下的像總是同構于 G {\displaystyle G} 的商。具體而言，同態 φ : G → H {\displaystyle \varphi :G\rightarrow...

在归入线性代数的各种数学分支中，同态的核测量同态不及于单射的程度。 核的定义在不同上下文中采用不同的形式。但是在所有形式中，同态的核是平凡的（在与那个上下文有关的意义上），当且仅当这个同态是单射。同态基本定理（或第一同构定理）是应用于核所定义的商代数的采用了各种形式的一个定理。 设 V 和 W 是向量空间并设...

（n大于5）是不交换单群的事实推出，一般的n次（n大于5）多项式方程不可解:439:213。 伽罗瓦理论 可解群 伽罗瓦理论基本定理 即限制在K上的部分为恒等映射 即，如果知道了某个K-自同构对P的所有根的映射结果，那么就知道了这个K-自同构对L中所有元素的映射结果。 Galois, Évariste. OEuvres mathématiques...

一般来讲，所有代数几何的构造都是函子式的：概念范畴，函子和自然变换起源于此。基本群，同调和上同调群不仅是两个拓扑空间同胚时的不变量；而且空间的连续映射可以导出所相关的群的一个群同态，而这些同态可以用于证明映射的不存在性（或者，更深入的，存在性）。 代数拓扑的经典应用包括： 布劳威尔不动点定理：每个从n维圆盘到自身的连续映射存在一个不动点。...

個自同構。它們對應於Fano平面的成員，它的 7 個點對應於 7 個非單位元元素。連接三個點的線對應於群運算: a, b 和 c 在一條線上意味 a+b=c, a+c=b 和 b+c=a。參見在有限域上的一般線性群。 對於阿貝爾群除了平凡的之外的所有自同構叫做外自同構。 非阿貝爾群有非平凡的內自同構群，并可能也有外自同構。 同構基本定理...

(H)\oplus \operatorname {Aut} (K)} 的事實。 基本定理證明了要計算 G {\displaystyle G} 的自同構群，分別計算西羅 p {\displaystyle p} -子群的自同構群就足夠了（也就是所有的循環子群的直和，每個都有 p {\displaystyle...

同构结构之间的性质转移是合理的。 古希腊数学中，“空间”指日常生活中观察到的三维现实的几何抽象。约公元前300年，欧几里得给出了关于空间性质的公理，将所有数学都建立在几何基础上，甚至通过比较线段长度来定义数字。 1637年，勒内·笛卡尔提出了直角坐标系（解析几何）。当时，几何定理...

的子群。同态 h {\displaystyle h} 是单射（并叫做单同态）当且仅当 k e r ( h ) = { e G } {\displaystyle \mathrm {ker} (h)=\{e_{G}\}} 。 同态的核和像可以被解释为对它接近于同构的程度。第一同构定理说明了群同态的像 i...

中的点，态射是道路的同伦类。因为这个范畴中任意态射是同构态射，故这个范畴是一个群胚，称为 X 的基本群胚。这个范畴中的环路是自同态（事实上所有都是自同构）。点 x0 ∈ X 的自同构群恰好是以 x 为基点的基本群。基本群的重要定理塞弗特－范坎彭（Seifert–van Kampen）定理在基本群胚的框架下有简明的描述与推广。...

年近半个世纪之久。 单群可以被视作所有有限群的 “基本建筑单元”，性质上近似素数之于整数的关系。Jordan–Hölder 定理是一个说明有限群本质的更精确的途径。然而，和整数分解工作的一个重要区别在于，这种 “建筑单元” 并不一定确定某个唯一的群，因为可能具有许多非同构群具有相同的合成群列，换言之，扩张问题并不存在唯一解。...

在代数学中，胡尔维兹定理（又名“1,2,4,8定理”）是以在1898年证明它的阿道夫·胡尔维兹命名。该定理表明：任何带有单位元的賦範可除代數同构于以下四个代数之一：R,C,H和O，分别代表实数、复数、四元数和八元数。对实賦範可除代數的分类始于弗洛比纽斯 ，发扬于胡尔维兹，由佐恩整理为一般形式。一个简短的历史摘要可见Badger。...

在数学中，胡列维茨定理是代数拓扑的一个基本结论。定理通过“胡列维茨同态”将同伦论与同调论联系起来，是庞加莱此前部分结论的推广。胡列维茨定理以維托爾德·胡列維茨（英语：Witold Hurewicz）命名。 胡列维茨定理是连接同伦群和同调群的关键一环。 对于任意空间 X {\displaystyle X}...