此名词来源于复分析，例如复对数函数便是其中一例。函数原本的定义中不允许 X {\displaystyle X} 的元素对应多于一个 Y {\displaystyle Y} 中的元素；但复分析中，为了作区分，将原来定义的函数称为单值函数。 有些多值函数拥有主分支，而使得多值函数可以转化为单值函数。此时该单值函数的值称为主值（principal...

常用的数学函数包括多项式函數、根式函數、冪函數、对数函數、有理函数、三角函数、反三角函數等。它们都是初等函数。非初等函数（或特殊函数）包括伽马函數和贝塞尔函数等。 函數可分為 奇函數或偶函數 連續函數或不連續函數 實函數或虛函數 純量函數或向量函數 单调增函数或单调减函数 在范畴论中，函数的槪念被推廣為態射的槪念。...

集值函数（set-valued function），或对应（correspondence）是一种函数，将一个集合（定义域）中的元素映射到另一集合的子集。集值函数见于众多数学领域，如最优化、控制理论与博弈论等。 有些文献将集值函数称作多值函数，但在本文和数学分析的其他文献中，多值函数指的是具有连续性的集值函数f，也就是说在集合...

f(x)=x^{\frac {1}{n}}} 的幂函数定义为 f ( x ) = x n {\displaystyle f(x)=x^{n}} 的多值反函数。但实际上，我们还是只取主值。 无理数幂可以使用两个有理数幂的商逼近得到。 扩大的幂函数定义为 x a ≡ e a ⋅ ln ⁡ x {\displaystyle...

初等函数（基本函數）是由常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、乘方、开方）及有限次函数复合所产生、并且在定义域上能用一个方程式表示的函数。 一般来说，分段函数不是初等函数，因为在这些分段函数的定义域上不能用一个解析式表示。 初等函数...

散列函数（英語：Hash function）又称散列算法、哈希函数，是一种从任何一种数据中创建小的数字“指纹”的方法。散列函数把消息或数据计算成摘要，使得数据量变小，将数据的格式固定下来。该函数将数据打乱混合，重新创建一个叫做散列值（又叫哈希值）（hash values，hash codes，hash...

在向量微积分中，梯度（英語：gradient）是一种关于多元导数的概括。平常的一元（单变量）函数的导数是标量值函数，而多元函数的梯度是向量值函数。多元可微函数 f {\displaystyle f} 在点 P {\displaystyle P} 上的梯度，是以 f {\displaystyle f}...

在数学中，极值（extremum）是极大值（maximum）与极小值（minimum）的统称，意指在一个域上函数取得最大值或最小值的点的函数值。而使函数取得极值的点（的横坐标）被称作极值点。这个域既可以是一个邻域，又可以是整个函数域（这时极值称为最值、全局极值、绝对极值）。 局部（相对）最大值：如果存在一个ε...

从几何定义中能推导出很多三角函数的性质。例如正弦函数、正切函数、余切函数和余割函数是奇函数，余弦函数和正割函数是偶函数。正弦和余弦函数的图像形状一样（见右图），可以看作是沿著坐标横轴平移得到的两組函数。正弦和余弦函数关于 x = π 4 {\textstyle x={\frac {\pi }{4}}} 轴对称。正切函数...

函數。在三角學中，反正弦被定義為一個角度，也就是正弦值的反函數。在实数域 R {\displaystyle \mathbb {R} } 内，正弦函數的值域为 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle \left[-1,1\right]} ，不是一個双射函數，故在整个定义域上無法有单值的反函數；但若限定正弦函數的定義域在...

向量值函数，有时也称为向量函数，是一个单变量或多变量的、值域是多维向量或者无穷维向量的集合的函数。向量值函数的输入可以是一个标量或者一个向量（定义域的维度可以是1或大于1）；定义域的维度不取决于值域的维度。 一类常见的向量值函数依赖于单个实参数t（通常表示时间），而其输出是向量 v(t)。...

{\displaystyle w} 。 它是周期的全纯函数。我们看到除了多项式的所有初等函数都以某种方式起源于指数函数。 扩展自然对数到復平面上的多值函数 ln ⁡ z {\displaystyle \ln z} ，我们可以接着定义更一般性的指数函数： z w = e w ln ⁡ z {\displaystyle...

在数学中，常数函数（也称常值函数）是指值不发生改变（即是常数）的函数。例如，我们有函数 f ( x ) = 4 {\displaystyle f(x)=4} ，因为 f {\displaystyle f} 映射任意的值到4，因此 f {\displaystyle f} 是一个常数。更一般地，对一个函数 f :...

在数学优化与决策论中，损失函数（亦称成本函数或误差函数）是将事件或变量值映射至实数域的函数，其数值直观体现与该事件相关的“代价”。优化问题的核心目标即是最小化损失函数。与之相对的目标函数在不同领域有不同称谓——收益函数、效用函数、适应度函数等——这类函数则需要通过最大化来实现价值。值得注意的是，损失函数的设计往往融合多层级结构的要素。...

與插值密切相關的另一個問題是通過簡單函數逼近複雜函數。假設給定函數的公式是已知的，但是太複雜以至於不能有效地進行評估。來自原始函數的一些已知數據點，或許會使用較簡單的函數來產生插值。當然，若使用一個簡單的函數來估計原始數據點時，通常會出現插值誤差；然而，取決於該問題领域和所使用的插值方法，以簡單函數...

导数是函数的局部性质。不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导(可微分)，否则称为不可导(不可微分)。如果函数的自变量和取值都是实数的话，那么函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在這一点上的切线斜率。 对于可导的函数 f {\displaystyle...

布尔值函数是 f : X → B {\displaystyle f:X\to \mathbb {B} } 类型的函数，这里的 X {\displaystyle X} 是一个任意集合，而 B {\displaystyle \mathbb {B} } 是一般性的 2 元素集合，典型的是 B = { 0 ...

整流線性單位函数（Rectified Linear Unit, ReLU），又称修正线性单元，是一种人工神经网络中常用的激勵函数（activation function），通常指代以斜坡函数及其变种为代表的非线性函数。 比较常用的线性整流函数有斜坡函数 f ( x ) = max ( 0 , x )...

在数学中，給定函數定義域，當定義域中較小的自變量值小於較大的自變量值時，較小的自變量值對應的因變量值總是小於較大的自變量值對應的因變量值，那麼這個函數就是單調增加函數。當定義域中較小的自變量值小於較大的自變量值時，較小的自變量值對應的因變量值總是大於較大的自變量值對應的因變量值，那麼這個函數就是單調減少函數...

{L}{1+e^{-k(x-x_{0})}}}} 其中： x0为S形曲线中点的x值； L为曲线的最大值 k为逻辑斯谛增长率或曲线的陡度。 当x趋向于正无穷时，f(x)的值逼近L，而x趋向于负无穷时，f(x)的值逼近0。 逻辑斯谛函数应用领域广泛，包括生物学（特别是生态学）、數理生物學、化學、人口学、经济学...

1} 的值（不得是负数、0或1）只有唯一的对数函数。从这个角度看，底数 α {\displaystyle \alpha } 的对数函数是指数函数 y = α x {\displaystyle y=\alpha ^{x}} 的反函数。词语“对数”经常用来称呼对数函数自身和这个函数的1个特定值。 对数(logarithm)...

在機率论和统计学中，機率质量函數（probability mass function，简写作pmf）是离散随机變數在各特定取值上的機率。有时它也被称为离散密度函数。 機率密度函數通常是定义离散機率分布的主要方法，并且此类函数存在于其定义域是离散的标量變數或多元随机變數（英语：Multivariate...

在量子力學裏，量子系統的量子態可以用波函數（英語：Wave function）來描述。薛丁格方程式設定波函數如何隨著時間流逝而演化。 波函數 Ψ ( r , t ) {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)} 是一種複值函數，表示粒子在位置 r {\displaystyle...

是一个实函数，而 f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} 则是一个复数值函数，其函数值作为复数可同时表示振幅和相位。 对于不同种类的函数，有一些不同版本的傅里叶变换的定义。对于定义在欧几里得空间 R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} 上的函数，可给出通常的连续傅里叶变换；对于定义在...

匿名函数（英語：Anonymous Function）在计算机编程中是指一类无需定义标识符（函数名）的函数或子程序，普遍存在于多种编程语言中。 1958年LISP首先采用匿名函数，自此之后，越来越多编程语言陆续采用，主流的编程语言如PHP和C++也陸續采用。 尝试将类按名称排序： a = [10,...

在数学中的最优化问题中，拉格朗日乘数法（英語：Method of Lagrange multiplier，以数学家约瑟夫·拉格朗日命名）是一种寻找多元函数在其变量受到一个或多个条件的约束时的局部极值的方法。 對一個有 n {\displaystyle n} 个变量与 k {\displaystyle k}...

r-\ell }.} 若在求自相关函数之前从信号中减去均值，得出的函数通常称为自协方差函数。 以下以一维自相关函数为例说明其性质，多维的情况可方便地从一维情况推广得到。 对称性：从定义显然可以看出R(i) = R(−i)。连续型自相关函数为偶函数 当f为实函数时，有： R f ( − τ ) =...

凸函数（英文：Convex function）是指函数图形上，任意兩點連成的線段，皆位於圖形的上方的实值函数，如單變數的二次函数和指数函数。二階可導的一元函數 f {\displaystyle f} 為凸，当且仅当其定義域為凸集，且函數的二階導數 f ″ {\displaystyle f''}...

\Gamma \,} 函数（伽瑪函數；Gamma函数），是階乘函數在實數與複數域上的擴展。如果 n {\displaystyle n} 為正整數，則： Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!} 根据解析延拓原理，伽瑪函數可以定義在除去非正整數的整個複數域上：...

函数的导数而改变，因此该算法代表激活函数的反向传播。 术语“多层感知器”不是指具有多层的单感知器，每一层由多个感知器组成。另一种说法是“多层感知器网络”。此外，MLP的“感知器”不是最严格意义上的感知器。真正的感知器在形式上是人工神经元的一个特例，它使用一个阈值激活函数，如阶跃函数...

x} 轴围成的曲边梯形的面积值。 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的不定积分（或原函数）是指任何满足导数是函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的函数 F ( x ) {\displaystyle F(x)} 。一个函数 f ( x ) {\displaystyle...